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材 料 力 學 講 義第31講 教學方案 能量法（） 基本內容1. 圖乘法。 教學目的1. 掌握單位載荷法與圖乘法之間的關系 。 2. 掌握圖乘法的基本原理與推導過程。 3. 掌握圖乘法的應用條件。4. 能夠熟練地應用圖乘法計算指定截面的位移。5 了解并掌握圖乘法的計算與應用技巧 。重點、難點1. 重點掌握單位載荷法與圖乘法之間的關系 。 2. 重點掌握圖乘法的基本原理與應用條件。 3. 要求熟練掌握圖乘法的計算方法與計算技巧。4. 難點是如何正確理解虛功原理。5 在解決問題時，有時圖乘法非常簡單，有時卻很麻煩。教學安排本次教學計劃學時：2學時。課堂討論：1. 單位載荷法與莫爾積分之間的關系。2. 虛位移與虛功的基本概念。 3. 如何理解莫爾積分的另一種推導方法。4莫爾積分與圖乘法的應用條件有什么區(qū)別？12- 單位載荷法莫爾積分單位載荷法：用于求結構上某一點某方向上位移的方法。如要求圖11-18剛架A點a-a方向的位移，可將該系統(tǒng)（圖11-18a）真實位移作為虛位移，而將單位力（廣義力）作用于同一結構上A點a-a方向的結構作為一個平衡力系（圖11-18b）,則應用虛功原理有： （11-23）其中，是單位力系統(tǒng)的內力，而d(l)，d、d是原系統(tǒng)的變形，現(xiàn)在被看作是虛變形；是原系統(tǒng)上A點沿a-a方向的真實位移。對于以拉壓桿件，則只保留（11-23）式的第一項： （11-24）若桿的內力=常數(shù)，則上式改為：對于有n根桿組成的桁架，則有： （11-25）對于桿以彎曲為主，則可忽略軸力與剪力的影響，有： （11-26）仿照上述推導，如要求受扭桿某一截面的扭轉角，則以單位扭矩作用于該截面，并引起扭矩，以原結構引起微段兩端截面相對扭轉角為虛位移，則： （11-27）以上諸式中。如求出的為正，則表示原結構位移與所加單位力方向一致。若結構材料是線彈性的，則有：則式（11-25）、（11-26）、（11-27）分別化為 （11-28） （11-29） （11-30）這些式子統(tǒng)稱為莫爾定理,式中積分稱為莫爾積分，顯然只適用于線彈性結構。當需要求兩點的相對位移時，如圖11-19a所示截面A與B的相對位移A+B，則只要在A，B兩點的聯(lián)線方向上加一對方向相反的單位力（圖11-19b），然后用單位載荷法計算，即可求得相對位移，因為這時的，即是A，B兩點的相對位移。同理，如需要求兩截面相對轉角，只要在兩截面上加方向相反的一對單位力偶矩即可。莫爾積分還可用另一方法導出：如欲求梁上C點在載荷P1，P2，作用下的位移（圖11-20a），可在C點假想先只有單位力P0=1作用（圖11-20b），由應變能公式（11-12）（對線彈性材料）得P0作用的應變能： （11-31）此后將P1，P2，作用于梁（圖11-20c），由于P1，P2，作用的變形能為。這時，梁的總變形能為：其中是因為已作用在梁上的單位力在P1，P2，作用后引起的位移上所做的功。如果將P1，P2，與P0=1共同作用（圖11-20c），則梁內彎矩為，此時應變能為：此兩最后狀態(tài)的應變能相等，故有：比較以上諸式，不難得到： （11-32）此即（11-28）。例題11-8 圖11-21簡單桁架，兩桿截面積為A，材料應力應變關系為：。試求結點B的垂直位移V。解：由結點B的平衡條件可解得BD桿的應力 、應變 及伸長 分別為：,同樣可求得BE桿的應力，應變 及伸長 分別為：,設B點作用有單位力，則與單位力相應的BD、BE內的軸力分別為：，由單位載荷法莫爾積分，得B點的垂直位移為：若材料是線彈性的，彈性模量為E，則有：,而單位載荷引起的內力不變，故得：。12-4 圖形互乘法莫爾積分（11-28）中的EI（或GI）為常量，可提到積分號外，只需計算積分：,如有一個是x的線性函數(shù)，即可采用圖乘法簡化積分計算。圖11-22表示直桿AB的圖與圖，其中可用直線式表達：則莫爾積分可寫成：右邊積分中，M(x)dx為微面積，整個積分為M(x)所圍面積對y軸的靜矩，若xc為M(x)面積的形心到y(tǒng)軸的距離，則：于是： （11-33）其中是圖中與圖的形心C所對應的縱坐標，故（11-32）可寫成 （11-34）這就是計算莫爾積分的圖乘法。常用的幾種圖形的面積及形心位置計算公式見圖11-23。使用（11-34）時，為了計算方便，可將彎矩分解成幾部分，對每一部分使用如圖11-23的標準圖形疊加求和。有時M(x)為連續(xù)光滑曲線，而圖為折線，則應以折線的轉折點為界，將積分分成幾段，逐段使用圖乘法，然后求和。例題11-9 均布載荷作用下簡支梁如圖11-24，EI為已知常量，試求跨度中點C的撓度fc。解：簡支梁受均布載荷作用彎矩圖為二次拋物線（圖b），求中點