2018年新人教版初一數(shù)學(xué)下學(xué)期經(jīng)典輔導(dǎo)講義

2018年新人教版初一數(shù)學(xué)下學(xué)期輔導(dǎo)講義第六章 實(shí) 數(shù)一、知識(shí)總結(jié)（一）平方根與立方根1、平方根（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。（2）表示：非負(fù)數(shù)a的平方根記作 ，讀作“正負(fù)根號(hào)a”，（a叫做被開(kāi)方數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)的沒(méi)有平方根。 （4）開(kāi)平方：求平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。 、平方根是開(kāi)平方的結(jié)果；、 開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算。2、算術(shù)平方根 （1）定義：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。 （2）性質(zhì)：（1）一個(gè)數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負(fù)性； 即：0恒成立。 （2）正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個(gè)，且為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0； 負(fù)數(shù)的沒(méi)有算術(shù)平方根。 3、 立方根：（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。（2）表示：a的立方根記作，讀作“三次根號(hào)a”（a叫做被開(kāi)方數(shù)，3叫根指數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是1個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。（二）實(shí)數(shù)1、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)。（一個(gè)無(wú)理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果還是無(wú)理數(shù)）2、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。3、實(shí)數(shù)分類：（1）按定義分（略） （2）按正負(fù)性分（略）4、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。5、實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)：（與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)意義類似）6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：實(shí)數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，正數(shù)及零可以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)于實(shí)數(shù)仍然適用。7、實(shí)數(shù)大小：（1）正數(shù) 0 負(fù)數(shù)； （2）兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而?。唤^對(duì)值小的反而大。（3）數(shù)軸上不同的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。 實(shí)數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法二、解題實(shí)用 1、 2、 3、 3、 典題練習(xí)1、的平方根是 ；的算術(shù)平方根是 ；的立方根是 。2、如果一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是 ；如果一個(gè)有理數(shù)的平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是 。3、一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則與他相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是 。4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是 （填序號(hào)） x 5、當(dāng)x-1時(shí)，-x,和的大小關(guān)系 。6、比較下列各組數(shù)的大小 7、的絕對(duì)值為 ，相反數(shù)為 ，倒數(shù)為 。8、已知，y為4的平方根，求x+y的值。9、已知，求x2+y的平方根。10、如果一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根為2a-1和a-5，則這個(gè)數(shù)是 。11、a為的整數(shù)部分，b為的小數(shù)部分，則a+2b的值為 。12、若，試求的值。（提示：找出題中的隱含條件）第七章 一元一次不等式與不等式組1、 知識(shí)總結(jié)（一）不等式及其性質(zhì)1、不等式：（1）定義用“”(或“”)，“”(或“”)等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.（2）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。（3）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式。不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值。二者的關(guān)系是：解集包括解,所有的解組成了解集。 （4）解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式。2、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。即：如果，那么.性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即：如果，并且，那么；.性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即：如果，并且，那么；.性質(zhì)4：如果，那么.（對(duì)稱性）性質(zhì)5：如果,那么.（傳遞性）（二）一元一次不等式1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式， 叫做一元一次不等式。2.一元一次不等式的解法：根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)； (4)合并同類項(xiàng)；(5)系數(shù)化為1.解不等式應(yīng)注意：去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。 3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左（三）一元一次不等式組 1、定義：有幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組 2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個(gè)不等式解集的公共部分，叫做這個(gè)（一元一次）不等式組的解集。 3、解不等式組：求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。 4、一元一次不等式組的解法 1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集 2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況： 不等式組解集口訣記憶同大取大同小取小大小小大中間找無(wú)解大大小小則無(wú)解（四）一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題 解題的步驟： 審題，找出不等關(guān)系 設(shè)未知數(shù) 列出不等式（組）求出不等式的解集 找出符合題意的值 作答。二、解題技巧1、 有解無(wú)解問(wèn)題：（1）（2） （3） 2、 特征解問(wèn)題： 解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡(jiǎn)記為) 當(dāng)作已知數(shù)，去解原式得到原式的解（含)根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于的式子)解出的值。 例：已知的解集為，求的值。 解：解不等式 把當(dāng)作已知數(shù)，去解原式 得 得到原式的解（含) 則 根據(jù)解的特征列出式子 解得 解出的值 三、典題練習(xí)1、 若關(guān)于的不等式有解，則的取值范圍是？若無(wú)解呢？2、已知關(guān)于，的方程組的解滿足，求的取值范圍。3、適當(dāng)選擇a的取值范圍，使1.7xa的整數(shù)解： （1）x只有一個(gè)整數(shù)解； （2）x一個(gè)整數(shù)解也沒(méi)有。4、解不等式（組）（1） （2） （3）（4） 562x3 （5）5、若m、n為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式(m21)xn6、 已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足xy，求p的取值范圍。7、已知關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有3個(gè)，求的取值范圍。8、已知A2x23x2，B2x24x5，試比較A與B的大小。9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x2，求a的值。10、某種商品進(jìn)價(jià)為150元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為225元，由于銷售情況不好，商品準(zhǔn)備降價(jià)出售，但要保證利潤(rùn)不低于10，那么商店最多降價(jià)多少元出售商品?11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。 （1）若此車間每天所獲利潤(rùn)為y(元)，用x的代數(shù)式表示y。 （2）若要使每天所獲利潤(rùn)不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件?12、某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。 （1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客車各需多少錢(qián)? （2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省 租金，請(qǐng)選擇最節(jié)省的租車方案。第八章 整式乘除與因式分解一、知識(shí)總結(jié)（一）冪的運(yùn)算：1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。注：（1）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1； （2）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。 （3）科學(xué)記數(shù)法：或 絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成的形式，其中，n是正整數(shù)，n等于原 數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零）。（二）整式乘法：1、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別 相乘，再把所得的積相加。3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一 個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。（三）完全平方公式與平法差公式1、完全平方公式： 兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加（或減）這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。2、平法差公式： 兩個(gè)數(shù)的平方之差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差之積。（四）整式除法（1）單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。 （2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相除，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這 個(gè)單項(xiàng)式再把所得的商相加。（五）因式分解1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng) 式分解因式。2、分解因式的基本方法： （1）提公因式法 （2）公式法：運(yùn)用完全平方公式和平法差公式 （3）對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法： 1）配方法，2）十字相乘法：公式 例：將因式分解。 方法一：配方法：原式= = 方法二：十字相乘法：= （4）分組分解法3、分解因式的技巧： (1) 因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；(2）因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡(jiǎn)潔 (3)變形技巧： 符號(hào)變形 、 、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 增項(xiàng)變形： 例： 拆項(xiàng)變形：例2、 典題練習(xí)1、計(jì)算題(1) （2) (3) (4) (5) (6)2、快速計(jì)算：（1） （2） （3）3、，求的值。 4、如果成立，那么 , 。5、在括號(hào)內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)（1） （2） 6、化簡(jiǎn)求值：已知，求的值。7、已知，再求的值。8、已知，求代數(shù)式的值：（1） （2）9、因式分解：1） 2） 3）10、比較的大小。11、不解不等式組，求的值。 第九章 分 式1、 知識(shí)總結(jié)（1） 分式及其性質(zhì) 1、分式 （1）定義：一般的，如果a，b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。 （2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。 （3）分式=0分子=0，且分母0 （分式有意義，則分母0） （4）最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒(méi)有公因式的分式。 2、分式的性質(zhì) 分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變 即： （a，b，m都是整式，且） 分式的性質(zhì)是分式化簡(jiǎn)和運(yùn)算的依據(jù)。 3、約分：把一個(gè)式子的分子分母的公因式約去叫做約分。 注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。 約分的方法： 1）若分子、分母均為單項(xiàng)式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)， 再找相同字母最低次冪； 2）若分子、分母有多項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式因式分解，再找分子、分母的公因式。 （二）分式運(yùn)算 1、分式的乘除 1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即： 2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘； 即： 3）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即： ， 2、分式的加減 1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即： 2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质较嗉訙p， 即： （三）分式方程1、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解法： 1）基本思路：分式方程整式方程 2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個(gè)分式最簡(jiǎn)公分母，約去分母。 3）一般步驟：分式方程整式方程解整式方程檢驗(yàn) 注： 檢驗(yàn)的是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗(yàn)的目的是看是否有增根存在。（四）分式應(yīng)用列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：審題設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程 檢驗(yàn)（是否有增根，是否符合題意）得出答案二、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧1、已知，求的值。 （整體思想、構(gòu)造法）2、已知，求的值。 （整體思想、構(gòu)造法）3、已知，求的值。4、已知，求。 （先得到的值，然后按第1題方法做）5、已知，求的值。 （提示：）6、已知，求的值。 （提示：參數(shù)法）7、已知，求的值。 （倒數(shù)求值法）8、已知，求的值。 （提示：由得）9、已知，求的值。（提示：消元代入法，把其中一個(gè)未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）10、計(jì)算：1） （提示：用字母代替數(shù)） 2） （提示：局部通分） 3） (提示：假分式可先變形）三、典題練習(xí)1、如果分式的值為0，那么x的值是 。2、在比例式9:5=4:3x中，x=_ 。3、計(jì)算:=_ 。4、當(dāng)分式的值相等時(shí)，x須滿足 。5、把分式中的x，y都擴(kuò)大2倍，則分式的值 。（填擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)）6、下列分式中，最簡(jiǎn)分式有 個(gè)。7、分式方程的解是 。8、若2x+y=0，則的值為 。9、當(dāng)為何值時(shí)，分式有意義？10、當(dāng)為何值時(shí)，分式的值為零？11、已知分式:當(dāng)x= 時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)x= _時(shí)，分式的值為0；當(dāng)x=2時(shí)，分式的值為_(kāi)。12、當(dāng)a=_時(shí)，關(guān)于x的方程=的解是x=1。13、一輛汽車往返于相距a km的甲、乙兩地，去時(shí)每小時(shí)行m km，返回時(shí)每小時(shí)行n km，則往返一次所用的時(shí)間是_。14、某班a名同學(xué)參加植樹(shù)活動(dòng)，其中男生b名(ba)若只由男生完成，每人需植樹(shù)15棵；若只由女生完成，則每人需植樹(shù) 棵。15、當(dāng) 時(shí)，分式的值與分式的值互為倒數(shù)。16、若方程有增根，則增根是 。17、若，則的值是 。18、已知，求的值。19、已知x+=3，則x2+= _ 。20、已知=3，則分式= 。 21、化簡(jiǎn)求值 （1）（1+）（1），其中x=； （2），其中x=。22、解方程: （1）=2； （2）。23、已知方程，是否存在的值使得方程無(wú)解？若存在，求出滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。24、若，且，求、的值。25、小亮在購(gòu)物中心用12.5元買(mǎi)了若干盒餅干，但他在一分利超市發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購(gòu)物中心每盒便宜0.5元因此當(dāng)他第二次買(mǎi)餅干時(shí)，便到一分利超市去買(mǎi)，如果用去14元，買(mǎi)的餅干盒數(shù)比第一次買(mǎi)的盒數(shù)多，問(wèn)他第一次在購(gòu)物中心買(mǎi)了幾盒餅干？ 第十章 相交線、平行線與平移1、 知識(shí)總結(jié)（1） 相交線1、對(duì)頂角：兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線的角叫對(duì)頂角。 對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等2、垂直：（1）定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說(shuō)明兩條直線相互垂直。記作；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它們的交點(diǎn)叫做垂足；連接直線外一點(diǎn)與垂足形成的線段叫做垂線段。注：1）垂直是相交的一種特殊的情況； 2）兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長(zhǎng)線上。（2）性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直。3、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。 在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短。2、 垂線的畫(huà)法： 略（2） 平行線1、定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作ABCD。 在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒(méi)有其他。2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。3、性質(zhì)： 基本性質(zhì)：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線。 其他性質(zhì)： 兩直線平行，同位角相等； 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 兩直線位置關(guān)系角的關(guān)系 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 4、平行判定： 同位角相等，兩直線平行； 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； 角的關(guān)系兩直線位置關(guān)系 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5、平行線的畫(huà)法： 略（3） 平移1、定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這個(gè)圖形的變換叫做平移。2、性質(zhì)：1）一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移后所得到的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段平行 （或在同一直線上）且相等； 2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。3、確定平移的要素： 1）方向； 2）距離。 二、典題練習(xí)1、如圖所示，下列判斷正確的是( )1212 121 2 A、圖中1和2是一組對(duì)頂角 B、圖中1和2是一組對(duì)頂角C、圖中1和2是一對(duì)鄰補(bǔ)角 D、圖中1和2互為鄰補(bǔ)角2、下列說(shuō)法中正確的是（ ） A、有且只有一條直線垂直于已知直線； B、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離； C、互相垂直的兩條直線一定相交； D、直線外一點(diǎn)A與直線