必修四2.4.平面向量的數(shù)量積(教案).doc

學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考 2.4 平面向量的數(shù)量積教案 A第1課時教學(xué)目標(biāo) 一、知識與技能1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；二、過程與方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識三、情感、態(tài)度與價值觀通過問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際操作能力；培養(yǎng)學(xué)生的交流意識、合作精神；培養(yǎng)學(xué)生敘述表達(dá)自己解題思路和探索問題的能力教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.教學(xué)關(guān)鍵：平面向量數(shù)量積的定義的理解教學(xué)方法本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識 學(xué)習(xí)方法通過類比物理中功的定義，來推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備: 多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備: 練習(xí)本、尺規(guī).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課在物理課中，我們學(xué)過功的概念，即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計(jì)算： W=| F | | s | cos， 其中是F與s的夾角我們知道力和位移都是向量，而功是一個標(biāo)量（數(shù)量） 故從力所做的功出發(fā)，我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念二、主題探究，合作交流提出問題ab的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么？由所學(xué)知識可以知道，任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律，數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？ 師生活動:已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即ab=|a|b|cos（0）其中是a與b的夾角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影在教師與學(xué)生一起探究的活動中，應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意:（1）兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；（2）零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即a0=0；（3）符號“”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替；（4）當(dāng)00，從而ab0；當(dāng)時，cos0，從而ab0，則ABC是銳角三角形；在ABC中，若0，則ABC為鈍角三角形；ABC為直角三角形的充要條件是=0；ABC為斜三角形的充要條件是0其中為真命題的是（ ）A B C D3設(shè)|a|=8，e為單位向量，a與e的夾角為60，則a在e方向上的投影為（ ）A4 B4 C42 D8+4設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，有下列四個命題:（ab）c-（ca）b=0； |a|-|b| Bm Dm3若a=（cos，sin），b=（cos，sin），則（ ）Aab Bab C（a+b）（a-b） D（a+b）（a-b）4與a=（u，v）垂直的單位向量是（ ）A（） B（）C（） D（）或（）5已知向量a=（cos23，cos67），b=（cos68，cos22），u=a+tb（tR），求u的模的最小值6已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角7已知ABC的三個頂點(diǎn)為A（1，1），B（3，1），C（4，5），求ABC的面積參考答案：1C 2D 3C 4D5|a|=1，同理有|b|=1又ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=，|u|2=（a+tb）2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=（t+）2+當(dāng)t=時，|u|min=6由已知（a+3b）（7a-5b）（a+3b）（7a-5b）=07a2+16ab-15b2=0又 （a-4b）（7a-2b）（a-4b）（7a-2b）=07a2-30ab+8b2=0 -得46ab=23b2，即ab=將代入，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，若記a與b的夾角為，則cos=又0，180，=60，即a與b的夾角為607分析：SABC=|sinBAC，而|，|易求，要求sinBAC可先求出cosBAC解：=（2，0），=（3，4），|=2，|=5，cosBAC=sinBAC=SABC=|sinBAC=25=4教案 B第一課時教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2. 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算二、過程與方法體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力三、情感、態(tài)度與價值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動參與、積極探究，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)問題探究的樂趣和成功的喜悅，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角教學(xué)難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教 具多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律教學(xué)流程概念引入概念獲得簡單運(yùn)用運(yùn)算律探究理解掌握反思提高教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置：問題1：回憶一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是與的夾角（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識功這個物理量所涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進(jìn)行分析）二、新課講解1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果還是向量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量）注意：兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分符號“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因?yàn)槠渲衏osq有可能為0（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c（b0），則ab=bc a=c但是在向量的數(shù)量積中，ab = bc 推導(dǎo)不出a = c .如下圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. （5）在實(shí)數(shù)中，有（ab）c = a（bc），但是在向量中，（ab）c a（bc） 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線（ “投影”的概念）：作圖2定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為 |b|；當(dāng)q = 180時投影為 -|b|3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積例1 已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,從而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.與的夾角為120，與的夾角為90，與的夾角為150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 點(diǎn)評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點(diǎn)相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120,而不是60.探究1：非零向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正，何時為0 ，何時為負(fù)？當(dāng)0 90時ab為正；當(dāng) =90時ab為零；90 180時ab為負(fù).探究2：兩個向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號，那么它們共線或垂直時，數(shù)量積有什么特殊性呢？4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量（1）ab ab = 0（2）當(dāng)a與b同向時，ab = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式變形：cosq =探究3：對一種運(yùn)算自然會涉及運(yùn)算律，回憶過去研究過的運(yùn)算律，向量的數(shù)量積應(yīng)有怎樣的運(yùn)算律？（引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律，老師作補(bǔ)充說明）向量a、b、c 和實(shí)數(shù)，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a（b） （3）（a +b） c = a c+ b c（進(jìn)一步）你能證明向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？（引導(dǎo)學(xué)生證明（1）、（2）例2 判斷正誤：a00；0a；0-；aa；若a0，則對任一非零有a；a，則a與中至少有一個為0；對任意向量a，都有（a）（）；a與是兩個單位向量，則a上述8個命題中只有正確；例3 已知a，當(dāng)a，a，a與的夾角是60時，分別求a解：當(dāng)a時，若a與同向，則它們的夾角，aacos036118；若a與反向，則它們的夾角180，aacos18036（-1）-18；當(dāng)a時，它們的夾角90，a；當(dāng)a與的夾角是60時，有aacos60369評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當(dāng)a時，有0或180兩種可能評述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律三、課堂練習(xí)1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（a-b） .4已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求ab；（2）若a、b的夾角為45，求|a+b|；（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角參考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，則ab=；若a、b方向相反，則ab=；（2）|a+b|=（3）45四、知識小結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？（2）關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁習(xí)題24 A組 1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識的形成過程和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動是以學(xué)生為主體的活動，沒有學(xué)生積極參與的課堂教學(xué)是失敗的本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)按照“問題討論解決”的模式進(jìn)行，并以學(xué)生為主體，教師以課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、評價者、組織者和參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運(yùn)算律的形成與發(fā)展過程始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”第2課時教學(xué)目標(biāo) 一、知識與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用二、過程與方法1.通過平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，體會向量的代數(shù)性和幾何性.2.從具體應(yīng)用體會向量數(shù)量積的作用三、情感、態(tài)度與價值觀學(xué)會對待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用.教 具多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標(biāo)表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來了極大的方便上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題二、探究新知： 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量，試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即2 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)，則或如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）（2）向量垂直的判定設(shè)，則（3）兩非零向量夾角的余弦（） cosq =三、例題講解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求滿足xa = 9與xb = -4的向量x解：設(shè)x = （t， s）， 由 . x = （2，-3）.例2 已知a（，），b（，-），則a與b的夾角是多少？ 分析：為求a與b夾角，需先求ab及ab，再結(jié)合夾角的范圍確定其值解：由a（，），b（，-）.有ab（-），a，b記a與b的夾角為，則.又，.評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定例3 如圖，以原點(diǎn)和A（5， 2）為頂點(diǎn)作等腰直角OAB，使B = 90，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo)解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)（x， y），則= （x， y），= （x-5， y-2）. x（x-5） + y（y-2） = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2