高中數(shù)學不等式知識點.doc

不等式知識點歸納:一、不等式的概念與性質1、實數(shù)的大小順序與運算性質之間的關系： 2、不等式的性質：（1） ， （反對稱性）（2） ， （傳遞性）（3），故 （移項法則）推論： （同向不等式相加）（4），推論1：推論2：推論3：不等式的性質是解、證不等式的基礎，對于這些性質，關鍵是正確理解和熟練運用，要弄清每一個條件和結論，學會對不等式進行條件的放寬和加強。3、常用的基本不等式和重要的不等式（1） 當且僅當（2）（3），則（4）4、最值定理:設（1）如積（2）如積即:積定和最小，和定積最大。運用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5、均值不等式:兩個正數(shù)的均值不等式：三個正數(shù)的均值不等是：n個正數(shù)的均值不等式：6、四種均值的關系：兩個正數(shù)的調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術平均數(shù)、均方根之間的關系是小結:在不等式的性質中，要特別注意下面4點： 1、不等式的傳遞性：若ab,bc, 則ac,這是放縮法的依據(jù)，在運用傳遞性時，要注意不等式的方向，否則易產(chǎn)生這樣的錯誤：為證明ac,選擇中間量b,在證出ab,cb,后，就誤認為能得到ac。 2、同向不等式可相加但不能相減，即由ab,cd，可以得出a+cb+d, 但不能得acbd。 3、不等式兩邊同時乘以一個數(shù)或式時，只有該數(shù)或式保證為正，才能得到同向的不等式，否則不能保證所乘之數(shù)或式為正，則不等式兩邊同時乘以該數(shù)或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注意不等式的兩邊必須是正。不等式的應用范圍十分廣泛，在數(shù)學中，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。二、不等式的證明方法（1）比較法：作差比較：作差比較的步驟：作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差。變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和。判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）綜合法：由因導果由已知的不等式出發(fā),不斷地用必要條件代替前面的不等式,直到推導出前面的不等式。常用的基本不等式有均值不等式；若，則；若，則；柯西不等式（3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證只需證，只需證“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件?！胺治龇ā弊C題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。（4）反證法：正難則反直接證明難，就用反證。（5）放縮法：將不等式一側適當?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的放縮法的方法有：添加或舍去一些項，如：；將分子或分母放大（或縮?。├没静坏仁?，如：；利用常用結論：、；、 ； （程度大）、 ； （程度?。?）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設；已知，可設()；已知，可設；已知，可設；（7）構造法：通過構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設、題斷的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點。數(shù)學歸納法法證明不等式將在數(shù)學歸納法中專門研究。例1已知a，bR，且a+b=1。 求證：。 證法一：（比較法） 即（當且僅當時，取等號）。證法二：（分析法） 因為顯然成立，所以原不等式成立。 點評：分析法是基本的數(shù)學方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件。證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）。證法四：（反證法）假設，則 。由a+b=1，得，于是有所以，這與矛盾。所以。證法五：（放縮法） 左邊右邊。 點評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式。證法六：（均值換元法），所以可設，左邊右邊當且僅當t=0時，等號成立。 點評：形如a+b=1結構式的條件，一般可以采用均值換元證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）設y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因為，所以，即。故。例2 ，求證：。證：，同樣地，利用均值不等式，我們可以得到，即。例3 已知,求證。證：例4 已知，求的最大值。解：由題可得當且僅當即時等式成立。同理，可得；故而可知其最大值為6.例5 已知，求證證：令，且，于是。例6 已知是正整數(shù)，求證：證：當時，有于是 小結： 1、掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結合內(nèi)容的方方面面。如與數(shù)列的結合，與“二次曲線”的結合，與“三角函數(shù)”的結合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點。2、在不等式證明中還要注意數(shù)學方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法等，還要注意一些數(shù)學技巧，如數(shù)形結合、放縮、分類討論等。3、比較法是證明不等式最常用最基本的方法當欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常用差值比較法當欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時常用商值比較法，即欲證4、基本思想、基本方法：用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉化的數(shù)學思想的換元的基本方法。用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學問題的一種重要的數(shù)學思想方法。 “分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習慣上用“”來表達 分析法是數(shù)學解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結論向條件追溯。簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復雜的問題轉化為較簡單的問題，在證明較復雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉化，得到一個較易證明的不等式。凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法。換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉化成簡單的三角問題。含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關于某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件。有些不等式若恰當?shù)剡\用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度。三、解不等式1、解不等式問題的分類(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對數(shù)不等式；解帶絕對值的不等式；解不等式組2、解不等式時應特別注意下列幾點：(1)正確應用不等式的基本性質(2)正確應用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3、不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)與g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 與f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)；g(x)0同解(9)當a1時，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解，當0a1時，af(x)ag(x)與f(x)g(x)同解4、零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法 步驟：形式：首項系數(shù)符號0標準式，若系數(shù)含參數(shù)時，須判斷或討論系數(shù)的符號，化負為正判斷或比較根的大小小結：1、帶等號的分式不等式求解時，要注意分母不等于0，二次函數(shù)的值恒大于0的條件是且；若恒大于或等于0，則且。若二次項系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函。是二次函數(shù)時，必須考慮二次項系數(shù)為0這一特殊情形。 2、忽略對定義域的考慮以及變形過程的不等價，是解無理不等式的常見錯誤，因此要強化對轉化的依據(jù)的思考。3、數(shù)形結合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用圖形驗證，解題的結果。4、解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法。底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論。化同底是解不等式的前提取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍。當所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否變向”這一問題斟酌再三。5、解含參數(shù)的不等式時，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對參數(shù)進行分類討論。分類的標準要通過理解題意（例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含條件），根據(jù)方法（例如利用單調性解題時，抓住使單調性發(fā)生變化的參數(shù)值），按照解答的需要（例如進行不等式變形時必須具備的變形條件）等方面來決定，要求做到不重復、不遺漏。四、含絕對值的不等式1、解絕對值不等式的基本思想:解絕對值不等式的基本思想是去絕對值，常采用的方法是討論符號和平方。2、注意利用三角不等式證明含有絕對值的問題|a|b|a+b|a|+|b|;|a|b|ab|a|+|b|;并指出等號條件。3、(1)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)（無論g(x)是否為正）。（3）含絕對值的不等式性質（雙向不等式） 左邊在時取得等號，右邊在時取得等號。五、簡單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點P（x0，y0）。B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方。對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)。當B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域。2線性規(guī)劃:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案。例1 求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積。分析：依據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積。解：x1+y12可化為或或或其平面區(qū)域如圖。面積S=44=8。點評：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注