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文檔簡介
第二講 映射及映射法知識、方法、技能1映射的定義設(shè)A,B是兩個集合,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有惟一的元素和它對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射,記作(1)映射是特殊的對應(yīng),映射中的集合A,B可以是數(shù)集,也可以是點集或其他集合,這兩個集合有先后次序,從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.(2)原象和象是不能互換的,互換后就不是原來的映射了.(3)映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的對應(yīng)法則f,三者缺一不可.(4)對于一個從集合A到集合B的映射來說,A中的每一個元素必有惟一的,但B中的每一個元素都不一定都有原象.如有,也不一定只有一個.2一一映射一般地,設(shè)A、B是兩個集合,是集合A到集合B的映射,如果在這個映射下,對于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一個元素都有原象,那么個這個映射叫做A到B上的一一映射.3逆映射如果f是A與B之間的一一對應(yīng),那么可得B到A的一個映射g:任給,規(guī)定,其中a是b在f下的原象,稱這個映射g是f的逆映射,并將g記為f1.顯然有(f1)1= f,即如果f是A與B之間的一一對應(yīng),則f1是B與A之間的一一對應(yīng),并且f1的逆映射是f.事實上,f1是B到A的映射,對于B中的不同元素b1和b2,由于它們在f下的原象不同,所以b1和b2在f1下的像不同,所以f1是11的.任給,則.這說明A中每個元素a在f1都有原象.因此,f1是映射上的.這樣即得f1是B到A上的11映射,即f1是B與A之間一一對應(yīng).從而f1有逆映射由于任給,其中b是a在f1下的原象,即f1(b)=a,所以,f(a)=b,從而,這即是f1的逆映射是f.賽題精講映射關(guān)映射的高中數(shù)學(xué)競賽題是常見題型之一,請看下述試題.例1:設(shè)集合映射f:FZ.使得的值.【思路分析】應(yīng)從入手,列方程組來解之.【略解】由f的定義和已知數(shù)據(jù),得將兩式相加,相減并分別分解因式,得顯然,的條件下,對應(yīng)可知同理,由對應(yīng)地,于是有以下兩種可能:() ()由()解出x=1,y=9,u=8,v=6;由()解出y=12,它已超出集合M中元素的范圍.因此,()無解.【評述】在解此類問題時,估計的可能值是關(guān)鍵,其中,對它們的取值范圍的討論十分重要.例2:已知集合求一個A與B的一一對應(yīng)f,并寫出其逆映射.圖121【略解】從已知集合A,B看出,它們分別是坐標(biāo)平面上兩直線所夾角形區(qū)域內(nèi)的點的集合(如圖121).集合A為直線所夾角內(nèi)點的集合,集合B則是第一、三象限內(nèi)點的集合.所要求的對應(yīng)實際上可使A區(qū)域拓展成B區(qū)域,并要沒有“折疊”與“漏洞”.先用極坐標(biāo)表示集合A和B: 令在這個映射下,極徑?jīng)]有改變,輻角之間是一次函數(shù),因而之間是一一對應(yīng),其中所以,映射f是A與B的一一對應(yīng). 逆映射極易寫,從略.【評述】本題中將下角坐標(biāo)問題化為極坐標(biāo)問題,頗具特色.應(yīng)注意理解掌握.映射法應(yīng)用映射知識往往能巧妙地解決有關(guān)集合的一些問題.例3:設(shè)X=1,2,100,對X的任一非空子集M,M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征,記為求X的所有非空子集的特征的平均數(shù).【略解】設(shè)于是是X的非空子集的全體(子集組成的集),Y到X自身的滿射,記X的非空子集為A1,A2,An(其中n=21001),則特征的平均數(shù)為由于A中的最大數(shù)與A中的最小數(shù)的和為101,A中最小數(shù)與A中的最大數(shù)的和也為101,故從而特征平均數(shù)為 如果A,B都是有限集合,它們的元素個數(shù)分別記為對于映射來說,如果f是單射,則有;如果f是滿射,則有;如果f是雙射,則有.這在計算集合A的元素的個數(shù)時,有著重要的應(yīng)用.即當(dāng)比較難求時,我們就找另一個集合B,建立一一對應(yīng),把B的個數(shù)數(shù)清,就有.這是我們解某些題時常用的方法.請看下述兩例.例4:把ABC的各邊n等分,過各分點分別作各邊的平行線,得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形,試計算這些平等四邊形的個數(shù).【略解】如圖122所示,我們由對稱性,先考慮邊不行于BC的小平行四邊形.把AB邊和AC邊各延長一等分,分別到B,C,連接BC.將AB的n條平行線分別延長,與BC相交,連同B,C共有n+2個分點,從B至C依次記為1,2,n+2.圖中所示的小平行四邊形所在四條線分別交BC于i,j,k,l.記 A=邊不平行于BC的小平行四邊形, 把小平行四邊形的四條邊延長且交邊于四點的過程定義為一個映射:.下面我們證明f是A與B的一一對應(yīng),事實上,不同的小平行四邊形至少有一條邊不相同,那么交于的四點亦不全同.所以,四點組亦不相同,從而f是A到B的11的映射.任給一個四點組,過i,j點作AB的平行線,過k,l作AC的平行線,必交出一個邊不平行于BC的小平行四邊形,所以,映射f是A到B的滿射. 總之f是A與B的一一對應(yīng),于是有加上邊不平行于AB和AC的兩類小平行四邊形,得到所有平行四邊形的總數(shù)是例5:在一個66的棋盤上,已經(jīng)擺好了一些12的骨牌,每一個骨牌都恰好覆蓋兩上相鄰的格子,證明:如果還有14個格子沒有被覆蓋,則至少能再放進一個骨牌.【思路分析】還有14個空格,說明已經(jīng)擺好了11塊骨牌,如果已經(jīng)擺好的骨牌是12塊,圖123所示的擺法就說明不能再放入骨牌.所以,有14個空格這一條件是完全必要的.我們要證明當(dāng)還有14個空格時,能再放入一個骨牌,只要能證明必有兩個相鄰的空格就夠了.如果這種情況不發(fā)生,則每個空格的四周都有骨牌,由于正方形是對稱的,當(dāng)我們選定一個方向時,空格和骨牌就有了某種對應(yīng)關(guān)系,即可建立空格到骨牌的一種映射,通過對空格集合與骨牌集合之間的數(shù)量關(guān)系,可以得到空格分布的一個很有趣的結(jié)論,從而也就證明了我們的命題.【略解】我們考慮下面56個方格中的空.如果棋盤第一行(即最上方的一行)中的空格數(shù)多于3個時,則必有兩空格相鄰,這時問題就得到解決. 現(xiàn)設(shè)第一行中的空格數(shù)最多是3個,則有,另一方面全部的骨牌數(shù)為11,即所以必有事實上這是一個一一映射,這時,將發(fā)生一個很有趣的現(xiàn)象:最下面一行全是空格,當(dāng)然可以放入一個骨牌.【評述】這個題目的證明是頗具有特色的,從內(nèi)容上講,這個題目具有一定的綜合性,既有覆蓋與結(jié)構(gòu),又有計數(shù)與映射,尤其是利用映射來計數(shù),在數(shù)學(xué)競賽中還較少見. 當(dāng)然這個題目也可以用其他的方法來解決.例如,用抽屜原則以及用分組的方法來討論其中兩行的結(jié)構(gòu),也能比較容易地解決這個問題,請讀者作為練習(xí).例6:設(shè)N=1,2,3,論證是否存一個函數(shù)使得,對一切成立,格,即除去第一行后的方格中的空格.對每一個這樣的空格,考察它上方的與之相鄰的方格中的情況.(1)如果上方的這個方格是空格,則問題得到解決.(2)如果上方的這個方格被骨牌所占,這又有三種情況.(i)骨牌是橫放的,且與之相鄰的下方的另一個方格也是空格,則這時有兩空格相鄰,即問題得到解決;(ii)骨牌是橫放的,與之相鄰的下方的另一個方格不是空格,即被骨牌所覆蓋;(iii)骨牌是豎放的. 現(xiàn)在假設(shè)僅發(fā)生(2)中的(ii)和(iii)時,我們記X為下面56個方格中的空格集合,Y為上面56個方格中的骨牌集合,作映射,由于每個空格(X中的)上方都有骨牌(Y中的),且不同的空格對應(yīng)于不同的骨牌.所以,這個映射是單射,于是有,對一切成立.【解法1】存在,首先有一條鏈.123581321 鏈上每一個數(shù)n的后繼是,f滿足 即每個數(shù)是它產(chǎn)面兩個數(shù)的和,這種鏈稱為f鏈.對于中的數(shù)mn,由遞增易知有 我們證明自然數(shù)集N可以分析為若干條f鏈,并且對任意自然數(shù)mn,成立(從而),并且每兩條鏈無公共元素).方法是用歸納法構(gòu)造鏈(參見單壿著數(shù)學(xué)競賽研究教程江蘇教育出版社)設(shè)已有若干條f鏈,滿足,而k+1是第一個不在已有鏈中出現(xiàn)的數(shù),定義 這鏈中其余的數(shù)由逐一確定.對于mn,如果m、n同屬于新鏈,顯然成立,設(shè)m、n中恰有一個屬于新鏈.若m屬于新鏈,在m=k+1時,設(shè)對于m
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