高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)教材第二講.doc

第二講 映射及映射法知識、方法、技能1映射的定義設(shè)A，B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有惟一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射，記作（1）映射是特殊的對應(yīng)，映射中的集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點集或其他集合，這兩個集合有先后次序，從A到B的映射與從B到A的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互換的，互換后就不是原來的映射了.（3）映射包括集合A和集合B，以及集合A到B的對應(yīng)法則f，三者缺一不可.（4）對于一個從集合A到集合B的映射來說，A中的每一個元素必有惟一的，但B中的每一個元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一個.2一一映射一般地，設(shè)A、B是兩個集合，是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下，對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么個這個映射叫做A到B上的一一映射.3逆映射如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，那么可得B到A的一個映射g：任給，規(guī)定，其中a是b在f下的原象，稱這個映射g是f的逆映射，并將g記為f1.顯然有（f1）1= f，即如果f是A與B之間的一一對應(yīng)，則f1是B與A之間的一一對應(yīng)，并且f1的逆映射是f.事實上，f1是B到A的映射，對于B中的不同元素b1和b2，由于它們在f下的原象不同，所以b1和b2在f1下的像不同，所以f1是11的.任給，則.這說明A中每個元素a在f1都有原象.因此，f1是映射上的.這樣即得f1是B到A上的11映射，即f1是B與A之間一一對應(yīng).從而f1有逆映射由于任給，其中b是a在f1下的原象，即f1(b)=a，所以，f(a)=b，從而，這即是f1的逆映射是f.賽題精講映射關(guān)映射的高中數(shù)學(xué)競賽題是常見題型之一，請看下述試題.例1：設(shè)集合映射f：FZ.使得的值.【思路分析】應(yīng)從入手，列方程組來解之.【略解】由f的定義和已知數(shù)據(jù)，得將兩式相加，相減并分別分解因式，得顯然，的條件下，對應(yīng)可知同理，由對應(yīng)地，于是有以下兩種可能：（） （）由（）解出x=1，y=9，u=8，v=6；由（）解出y=12，它已超出集合M中元素的范圍.因此，（）無解.【評述】在解此類問題時，估計的可能值是關(guān)鍵，其中，對它們的取值范圍的討論十分重要.例2：已知集合求一個A與B的一一對應(yīng)f，并寫出其逆映射.圖121【略解】從已知集合A，B看出，它們分別是坐標(biāo)平面上兩直線所夾角形區(qū)域內(nèi)的點的集合（如圖121）.集合A為直線所夾角內(nèi)點的集合，集合B則是第一、三象限內(nèi)點的集合.所要求的對應(yīng)實際上可使A區(qū)域拓展成B區(qū)域，并要沒有“折疊”與“漏洞”.先用極坐標(biāo)表示集合A和B： 令在這個映射下，極徑?jīng)]有改變，輻角之間是一次函數(shù)，因而之間是一一對應(yīng)，其中所以，映射f是A與B的一一對應(yīng). 逆映射極易寫，從略.【評述】本題中將下角坐標(biāo)問題化為極坐標(biāo)問題，頗具特色.應(yīng)注意理解掌握.映射法應(yīng)用映射知識往往能巧妙地解決有關(guān)集合的一些問題.例3：設(shè)X=1，2，100，對X的任一非空子集M，M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征，記為求X的所有非空子集的特征的平均數(shù).【略解】設(shè)于是是X的非空子集的全體（子集組成的集），Y到X自身的滿射，記X的非空子集為A1，A2，An（其中n=21001），則特征的平均數(shù)為由于A中的最大數(shù)與A中的最小數(shù)的和為101，A中最小數(shù)與A中的最大數(shù)的和也為101，故從而特征平均數(shù)為 如果A，B都是有限集合，它們的元素個數(shù)分別記為對于映射來說，如果f是單射，則有；如果f是滿射，則有；如果f是雙射，則有.這在計算集合A的元素的個數(shù)時，有著重要的應(yīng)用.即當(dāng)比較難求時，我們就找另一個集合B，建立一一對應(yīng)，把B的個數(shù)數(shù)清，就有.這是我們解某些題時常用的方法.請看下述兩例.例4：把ABC的各邊n等分，過各分點分別作各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形，試計算這些平等四邊形的個數(shù).【略解】如圖122所示，我們由對稱性，先考慮邊不行于BC的小平行四邊形.把AB邊和AC邊各延長一等分，分別到B，C，連接BC.將AB的n條平行線分別延長，與BC相交，連同B，C共有n+2個分點，從B至C依次記為1，2，n+2.圖中所示的小平行四邊形所在四條線分別交BC于i，j，k，l.記 A=邊不平行于BC的小平行四邊形， 把小平行四邊形的四條邊延長且交邊于四點的過程定義為一個映射：.下面我們證明f是A與B的一一對應(yīng)，事實上，不同的小平行四邊形至少有一條邊不相同，那么交于的四點亦不全同.所以，四點組亦不相同，從而f是A到B的11的映射.任給一個四點組，過i，j點作AB的平行線，過k，l作AC的平行線，必交出一個邊不平行于BC的小平行四邊形，所以，映射f是A到B的滿射. 總之f是A與B的一一對應(yīng)，于是有加上邊不平行于AB和AC的兩類小平行四邊形，得到所有平行四邊形的總數(shù)是例5：在一個66的棋盤上，已經(jīng)擺好了一些12的骨牌，每一個骨牌都恰好覆蓋兩上相鄰的格子，證明：如果還有14個格子沒有被覆蓋，則至少能再放進一個骨牌.【思路分析】還有14個空格，說明已經(jīng)擺好了11塊骨牌，如果已經(jīng)擺好的骨牌是12塊，圖123所示的擺法就說明不能再放入骨牌.所以，有14個空格這一條件是完全必要的.我們要證明當(dāng)還有14個空格時，能再放入一個骨牌，只要能證明必有兩個相鄰的空格就夠了.如果這種情況不發(fā)生，則每個空格的四周都有骨牌，由于正方形是對稱的，當(dāng)我們選定一個方向時，空格和骨牌就有了某種對應(yīng)關(guān)系，即可建立空格到骨牌的一種映射，通過對空格集合與骨牌集合之間的數(shù)量關(guān)系，可以得到空格分布的一個很有趣的結(jié)論，從而也就證明了我們的命題.【略解】我們考慮下面56個方格中的空.如果棋盤第一行（即最上方的一行）中的空格數(shù)多于3個時，則必有兩空格相鄰，這時問題就得到解決. 現(xiàn)設(shè)第一行中的空格數(shù)最多是3個，則有，另一方面全部的骨牌數(shù)為11，即所以必有事實上這是一個一一映射，這時，將發(fā)生一個很有趣的現(xiàn)象：最下面一行全是空格，當(dāng)然可以放入一個骨牌.【評述】這個題目的證明是頗具有特色的，從內(nèi)容上講，這個題目具有一定的綜合性，既有覆蓋與結(jié)構(gòu)，又有計數(shù)與映射，尤其是利用映射來計數(shù)，在數(shù)學(xué)競賽中還較少見. 當(dāng)然這個題目也可以用其他的方法來解決.例如，用抽屜原則以及用分組的方法來討論其中兩行的結(jié)構(gòu)，也能比較容易地解決這個問題，請讀者作為練習(xí).例6：設(shè)N=1，2，3，論證是否存一個函數(shù)使得，對一切成立，格，即除去第一行后的方格中的空格.對每一個這樣的空格，考察它上方的與之相鄰的方格中的情況.（1）如果上方的這個方格是空格，則問題得到解決.（2）如果上方的這個方格被骨牌所占，這又有三種情況.（i）骨牌是橫放的，且與之相鄰的下方的另一個方格也是空格，則這時有兩空格相鄰，即問題得到解決；（ii）骨牌是橫放的，與之相鄰的下方的另一個方格不是空格，即被骨牌所覆蓋；（iii）骨牌是豎放的. 現(xiàn)在假設(shè)僅發(fā)生（2）中的（ii）和（iii）時，我們記X為下面56個方格中的空格集合，Y為上面56個方格中的骨牌集合，作映射，由于每個空格（X中的）上方都有骨牌（Y中的），且不同的空格對應(yīng)于不同的骨牌.所以，這個映射是單射，于是有，對一切成立.【解法1】存在，首先有一條鏈.123581321 鏈上每一個數(shù)n的后繼是，f滿足 即每個數(shù)是它產(chǎn)面兩個數(shù)的和，這種鏈稱為f鏈.對于中的數(shù)mn，由遞增易知有 我們證明自然數(shù)集N可以分析為若干條f鏈，并且對任意自然數(shù)mn，成立（從而），并且每兩條鏈無公共元素）.方法是用歸納法構(gòu)造鏈（參見單壿著數(shù)學(xué)競賽研究教程江蘇教育出版社）設(shè)已有若干條f鏈，滿足，而k+1是第一個不在已有鏈中出現(xiàn)的數(shù)，定義 這鏈中其余的數(shù)由逐一確定.對于mn，如果m、n同屬于新鏈，顯然成立，設(shè)m、n中恰有一個屬于新鏈.若m屬于新鏈，在m=k+1時，設(shè)對于m