2018中考數(shù)學(xué)專題突破導(dǎo)學(xué)練第19講圖形的相似試題.docx

第19講 圖形的相似【知識梳理】1.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的判定方法: 根據(jù)相似圖形的特征來判斷。（對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等） 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似； 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似； 如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似； 如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；3.直角三角形相似判定定理:斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 4.相似三角形的性質(zhì):相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。相似三角形周長的比等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。5.相似多邊形的性質(zhì)和判定:（1）相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)線段的比等于相似比。相似多邊形的周長比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。（2）相似多邊形的判定：所有的邊對應(yīng)成比例，所有的角對應(yīng)相等的兩個多邊形相似。6.位似圖形：位似圖形，首先必須是相似圖形，其次對應(yīng)點(diǎn)的連線（或延長線）必交于一點(diǎn)?！究键c(diǎn)解析】考點(diǎn)一：比例線段和圖形的相似【例1】（2017張家界）如圖，D，E分別是ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果ADE的周長是6，則ABC的周長是（）A6B12C18D24【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KX：三角形中位線定理【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出AD=AB、AE=AC的長，根據(jù)三角形中位線定理求出DE=AB，根據(jù)三角形周長公式計(jì)算即可【解答】解：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AD=AB，AE=AC，DE=BC，ABC的周長=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=26=12故選B考點(diǎn)二、相似三角形的判定和性質(zhì)【例2】如圖，把ABC沿著BC的方向平移到DEF的位置，它們重疊部分的面積是ABC面積的一半，若BC=，則ABC移動的距離是（）ABCD【分析】移動的距離可以視為BE或CF的長度，根據(jù)題意可知ABC與陰影部分為相似三角形，且面積比為2：1，所以EC：BC=1：，推出EC的長，利用線段的差求BE的長【解答】解：ABC沿BC邊平移到DEF的位置，ABDE，ABCHEC，=（）2=，EC：BC=1：，BC=，EC=，BE=BCEC=故選：D【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于證ABC與陰影部分為相似三角形考點(diǎn)三、利用相似解決實(shí)際問題【例3】考點(diǎn)四、位似圖形【例4】（2017山東濱州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為C（2，3）、D（1，0），現(xiàn)以原點(diǎn)為位似中心，將線段CD放大得到線段AB若點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B在x軸上且OB=2，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，6）或（4，6）【考點(diǎn)】SC：位似變換；D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】根據(jù)位似變換的定義，畫出圖形即可解決問題，注意有兩解【解答】解：如圖，由題意，位似中心是O，位似比為2，OC=AC，C（2，3），A（4，6）或（4，6），故答案為（4，6）或（4，6）考點(diǎn)五、結(jié)合相似解決新定義問題【例5】【中考熱點(diǎn)】如圖，在等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=30（1）求證：ABDDCE；（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長【分析】（1）根據(jù)兩角相等證明：ABDDCE；（2）如圖1，作高AF，根據(jù)直角三角形30的性質(zhì)求AF的長，根據(jù)勾股定理求BF的長，則可得BC的長，根據(jù)（1）中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式，并確定取值；（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2，由（1）可知：此時(shí)ABDDCE，則AB=CD，即2=2x；當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖3，則ED=EC，即y=（2y）；當(dāng)AD=AE時(shí)，AED=EDA=30，EAD=120，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在【解答】證明：（1）ABC是等腰三角形，且BAC=120，ABD=ACB=30，ABD=ADE=30，ADC=ADE+EDC=ABD+DAB，EDC=DAB，ABDDCE；（2）如圖1，AB=AC=2，BAC=120，過A作AFBC于F，AFB=90，AB=2，ABF=30，AF=AB=1，BF=，BC=2BF=2，則DC=2x，EC=2y，ABDDCE，化簡得：y=x+2（0x2）；（3）當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2，由（1）可知：此時(shí)ABDDCE，則AB=CD，即2=2x，x=22，代入y=x+2，解得：y=42，即AE=42，當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖3，EAD=EDA=30，AED=120，DEC=60，EDC=90，則ED=EC，即y=（2y），解得：y=，即AE=，當(dāng)AD=AE時(shí)，AED=EDA=30，EAD=120，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，此情況不存在，當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，AE=42或【點(diǎn)評】本題是相似形的綜合題，考查了三角形相似的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30角的性質(zhì)，本題的幾個問題全部圍繞ABDDCE，解決問題；難度適中【達(dá)標(biāo)檢測】一選擇題：1.2. （2017湖南株洲）如圖示，若ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足PAC=PBA=PCB，則點(diǎn)P為ABC的布洛卡點(diǎn)三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocard point）是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（ALCrelle 17801855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意，1875年，布洛卡點(diǎn)被一個數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布洛卡（Brocard 18451922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名問題：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，若點(diǎn)Q為DEF的布洛卡點(diǎn)，DQ=1，則EQ+FQ=（）A5B4CD【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；JB：平行線的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形【分析】由DQFFQE，推出=，由此求出EQ、FQ即可解決問題【解答】解：如圖，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，=，DQ=1，F(xiàn)Q=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故選D3. 如圖，在中，的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的長為（ ）A B C D【考點(diǎn)】角平分線，相似，直角三角形內(nèi)切圓半徑【分析】先求出直角三角形內(nèi)切圓半徑=2，再利用相似求【解答】解：延長FE交AB于點(diǎn)D，作EDBC，EHAC則ED=EG=EH=2設(shè)EF=FC=xADFABC即x=故選C4. 經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”如圖，線段CD是ABC的“和諧分割線”，ACD為等腰三角形，CBD和ABC相似，A=46，則ACB的度數(shù)為113或92【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)；KH：等腰三角形的性質(zhì)【分析】由ACD是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即ACCD，分兩種情形討論當(dāng)AC=AD時(shí)，當(dāng)DA=DC時(shí)，分別求解即可【解答】解：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，當(dāng)AC=AD時(shí)，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，當(dāng)DA=DC時(shí)，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案為113或92二填空題：5.6.7.8.三解答題：9. （2017湖南株洲）如圖示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF求證：DAEDCF； 求證：ABGCFG【考點(diǎn)】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KW：等腰直角三角形；LE：正方形的性質(zhì)【分析】由正方形ABCD與等腰直角三角形DEF，得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS即可得證；由第一問的全等三角形的對應(yīng)角相等，根據(jù)等量代換得到BAG=BCF，再由對頂角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證【解答】證明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延長BA到M，交ED于點(diǎn)M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG10. 已知，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點(diǎn)，將ABD沿BD所在直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處（1）如圖1，若點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接PC寫出BP，BD的長；求證：四邊形BCPD是平行四邊形（2）如圖2，若BD=AD，過點(diǎn)P作PHBC交BC的延長線于點(diǎn)H，求PH的長【考點(diǎn)】LO：四邊形綜合題【分析】（1）分別在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解決問題；想辦法證明DPBC，DP=BC即可；（2）如圖2中，作DNAB于N，PEAC于E，延長BD交PA于M設(shè)BD=AD=x，則CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得=，由此求出AM，由ADMAPE，可得=，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解決問題【解答】解：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=2，AD=CD=2，BD=2，由翻折可知，BP=BA=2如圖1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四邊形BCPD是平行四邊形（2）如圖2中，作DNAB于N，PEAC于E，延長BD交PA于M設(shè)BD=AD=x，則CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得=，=，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得=，=，AE=，EC=ACAE=4=，易證四邊形PECH是矩形，PH=EC=11. （2017綏化）如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分DEB，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接AF，BF，過點(diǎn)E作EHBC分別交AF，CD于G，H兩點(diǎn)（1）求證：DE=DC；（2）求證：AFBF；（3）當(dāng)AFGF=28時(shí)，請直接寫出CE的長【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到DCE=DEC，進(jìn)而得出DE=DC；（2）連接DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DFC=90，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出BF=CF=EF=EC，再根據(jù)SAS判定ABFDCF，即可得出AFB=DFC=90，據(jù)此可得AFBF；（3）根據(jù)等角的余角相等可得BAF=FEH，再根據(jù)公共角EFG=AFE，即可判定EFGAFE，進(jìn)而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4【解答】解：（1）四邊形ABCD是矩形，ABCD，DCE=CEB，EC平分DEB，DEC=CEB，DCE=DEC，DE=DC；（2）