n階行列式的計(jì)算方法.doc

江西師范大學(xué)09屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文n階行列式的計(jì)算方法姓 名： 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院： 專 業(yè)： 指導(dǎo)老師： 完成時(shí)間： IIIn階行列式的計(jì)算方法【摘要】本文主要針對(duì)行列式的特點(diǎn)，應(yīng)用行列式的性質(zhì)，提供了幾種計(jì)算行列式的常用方法。例如：利用行列式定義直接計(jì)算法，根據(jù)行列式性質(zhì)化為三角形列式法，按一行（列）展開以及利用已知公式法，數(shù)學(xué)歸納法與遞推法，加邊法，利用多項(xiàng)式性質(zhì)法，拉普拉斯定理的應(yīng)用。但這幾種方法之間不是相互獨(dú)立，而是相互聯(lián)系的.一個(gè)行列式可能有幾種解法，或者在同一個(gè)行列式的計(jì)算中將同時(shí)用到幾種方法以簡(jiǎn)便計(jì)算。這就要求我們?cè)谡莆樟诵辛惺降慕夥ㄖ?，靈活運(yùn)用，找到一種最簡(jiǎn)便的方法，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化?！娟P(guān)鍵詞】 n階行列式 行列式的性質(zhì) 數(shù)學(xué)歸納法遞推法 加邊法Some methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics of determinant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method目錄1引言12 計(jì)算行列式的基礎(chǔ)方法22.1利用行列式的定義來計(jì)算22.2化為三角形法32.3把各行(或各列)統(tǒng)統(tǒng)加到某一行(或列)42.4逐行(列)處理53加邊法64 展開85利用已知行列式公式計(jì)算法10(1)三角形公式10(2)范德蒙公式10(3)爪型行列式公式11(4)ab行列式公式136 數(shù)學(xué)歸納法137遞推法168 拆項(xiàng)法189 利用多項(xiàng)式的性質(zhì)2110 利用矩陣分塊理論211 乘法公式的應(yīng)用222 定理2223 定理32311 小結(jié)25參考文獻(xiàn)26致謝261引言行列式是研究線性代數(shù)的一個(gè)重要的工具，在線性方程組、矩陣、二次型中要用到行列式，在數(shù)學(xué)的其他分支里也常常要用到行列式。n階行列式的計(jì)算是研究生考試的一個(gè)重點(diǎn)，對(duì)于很多學(xué)生來說，n階行列式的計(jì)算又是一個(gè)難點(diǎn)。很多人不能非常熟練的掌握，而且教材也沒有題及到。因此行列的計(jì)算問題顯得尤其的重要。 引例：對(duì)于二元線性方程組，若，則，對(duì)于低元的方程組，對(duì)應(yīng)的低階行列式比較好計(jì)算。但是我們?yōu)榱私鈔元方程組那就不得不要面臨計(jì)算 對(duì)于這種n階的行列式計(jì)算方法，除了定義法，我們還能通過那些其他的方法來計(jì)算呢？2 計(jì)算行列式的基礎(chǔ)方法 計(jì)算行列式的基礎(chǔ)方法主要是指，利用行列式的定義和基本性質(zhì)來計(jì)算行列式的方法。行列式的定義在下面2.1節(jié)會(huì)具體的介紹。下面本文現(xiàn)介紹下幾個(gè)行列式的基本性質(zhì)。性質(zhì)1 （對(duì)稱性）行列式的轉(zhuǎn)置行列式與原行列式相等?！驹u(píng)注】從這個(gè)性質(zhì)可以知道如果行列式對(duì)行而言具有的性質(zhì)，則對(duì)列而言也具有相同的性質(zhì)。反過來也是如此，因此下面的幾個(gè)性質(zhì)只對(duì)列來敘述。性質(zhì)2 （多重線性）行列式的多重線性是指下面兩條（1）（2）性質(zhì)3 （交錯(cuò)性） 對(duì)換行列的任意兩列所得行列式與原行列式絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。性質(zhì)4 如果行列式的一列是另一列的a倍，則行列式為零。特別是，如果行列式有一列為零，或者有不同的兩列相同，則行列式為零。性質(zhì)5（初等變換性質(zhì)） 通常說的初等變換有三種：一列乘以非零數(shù)；對(duì)換不同的兩列；這兩中前面都提到了 ，下面一種是：一列乘以非零數(shù)加到另一列。2.1利用行列式的定義來計(jì)算一般來說利用行列式的定義求解n階行列值很繁瑣，但是對(duì)一些特殊的有規(guī)律的行列式還是很有用的，往往能夠收到意想不到的效果。對(duì)于這種行列式一般有一些很好的特征，例如: (1) 只有對(duì)角線的元素不為零，或者行列式為上、下（反上、下）三角形行列式；(2) 中必有一個(gè)元素等于零,或者有很多項(xiàng)為零; (3)等等。1、定義（1）其中為排列的逆序數(shù)。例1：計(jì)算n行列式=解：根據(jù)行列式的定義，行列式展開后每一項(xiàng)都有n個(gè)元素相乘，而且這n個(gè)元素要位于中不同的行與不同的列。因此中只有一個(gè)123（n-1）n!這一項(xiàng)行標(biāo)為自然順序，列標(biāo)構(gòu)成的排列為n(n-1)21,其反序數(shù)為 ，故例2：計(jì)算行列式 =解：根據(jù)行列式的定義，行列式的展開式等于= = 2.2化為三角形法即通過行列式的行變換和列變換，使得行列式變成如下形式：位于主對(duì)角線一側(cè)的所有元素全等于0，這樣得到的行列式等于主對(duì)角線元素的乘積，對(duì)于次對(duì)角線的情形，行列式的值等于與次對(duì)角線上所有元素的乘積。化三角法一般只能針對(duì)一些有規(guī)律的、能通過簡(jiǎn)單初等行列變換變成三角形行列式，或變成爪型行列式、平行線形行列式、主次對(duì)角行列式等。其它的一些行列式就不是很適用。例1：計(jì)算n階行列式=解：從第2行起，每行減去第一行=（）（）（）從第二列開始，每一列都加到第一列，化成上三角形行列式=（）（）（）=（）（）（）（）2.3把各行(或各列)統(tǒng)統(tǒng)加到某一行(或列) 把各行(或各列)統(tǒng)統(tǒng)加到某一行(或列),再通過行列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到結(jié)果。能適用這種方法的行列式一般有一個(gè)很好的特征：各行（列）和相等，或成比例。這樣相加之后就能提取公因式了。例1：計(jì)算n階行列式=解：把從第2列以后每一列都加到第一列=把從第2行以后每一行都減去第一行= =2.4逐行(列)處理這是指逐行或逐列以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)相加或相減。有一些行列式能通過逐行相加減得到很多的零。這樣就使得行列式計(jì)算變得簡(jiǎn)便的多。例1：計(jì)算n階行列式=解：從第n-1行開始，直至第一行，每一行乘以（）加到下一行得到=再將其它各列統(tǒng)統(tǒng)加到第一列得到=從第（n-1）列開始，兩兩對(duì)換，換到第一列，第n-2列兩兩對(duì)換，換到第列，從第列起都加到第一列得3加邊法有的時(shí)候，適當(dāng)?shù)丶有屑恿?，把n階行列式增加一行一列邊為n+1階行列式，雖然把行列式的階變大了，但是反而能更容易實(shí)施某些常用的算法或能變成某些熟悉的行列式來計(jì)算。適用這種方法的行列式一般每行每列有很多的元素相等，或成比例。例1：計(jì)算n階行列式=解：加邊，是變成n+1階行列式，即=例2：計(jì)算n階行列式=，其中。解：加邊得=（）4 展開將行列式展開也是計(jì)算行列式的重要的方法。這種方法常在某一行（列）元素零比較多時(shí)。展開在解題當(dāng)中有兩種方式：（1）按某一行（或列）展開（2）按拉普拉斯定理展開。即在n階行列式D中任取k行（），由這k行（或k列）所組成的一切k級(jí)子式與他們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。例1：計(jì)算n階行列式=解：用第一行的（-1）倍分別加到其他各行得=再按第一列展開得=例2：計(jì)算n階行列式=解：這是平行線行列式，按第一列展開得=例3：計(jì)算n階行列式=解：根據(jù)拉普拉斯定理，取前k行，由這k行所組成的一切k級(jí)子式與他們的代數(shù)余子式的乘積，其中只有不等于零。因此=5利用已知行列式公式計(jì)算法某些行列式可以通過適當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們已知的行列式形式。利用已知的行列式公式，能大大的?jiǎn)便我們計(jì)算量，又能節(jié)約我們寶貴的時(shí)間。這對(duì)我求解行列式的值也有指導(dǎo)的作用。我們已知的公式大致有這么一些：(1)三角形公式=這個(gè)公式是計(jì)算行列式值的基本公式之一，是必須掌握的。這個(gè)公式的例子與化三角相同，不必再舉例再說明。(2)范德蒙公式某些行列式可以歸結(jié)為范德蒙行列式來計(jì)算，但是通常要一定的技巧。下面有幾個(gè)相關(guān)的例子。例1：計(jì)算n+1階行列式=（）解：（間接地變換成范德蒙行列式計(jì)算）把的第i行提取因式（）得=例2：計(jì)算n階行列式=解：本題雖然第一行元素為1，但是后行與前行比不相同。若從第i（i=2,3,n）行中提取公因子后，第一列全為1，是范德蒙行列式的形式，即=(3)爪型行列式公式爪型行列式也是計(jì)算行列式值的一個(gè)非常重要而且常用的公式，它的最主要的特是在行列式中，除了第一行，第一列，主對(duì)角線上的元素不等于0外，其它元素都等于0。設(shè)其中結(jié)果是將第2列乘以統(tǒng)統(tǒng)加到第一列，化成三角形行列式得出的。例1：計(jì)算n階行列式=解 加邊得=從第二行起，每行都減去第一行 =再由爪型行列式公式得到=例2：計(jì)算n階行列式=解：加邊得=從第二行起，第i行都減去第一行倍得=再由爪型行列式公式得到=(4)ab行列式公式盡管這個(gè)公式不是非常的常用，但是在計(jì)算一些當(dāng)ab取具體的值時(shí)候，還是計(jì)算起來非常方便的。證明： 在2.3 例題1。例1：計(jì)算n階行列式A=在上面公式中令a=0,b=1得。A= = 6 數(shù)學(xué)歸納法利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行行列式計(jì)算的最普遍的方法，也是最重要的手段，主要利用不完全歸納法尋找行列式的猜想值，再進(jìn)行證明。但是這種方法對(duì)學(xué)者的猜想能力有很高的要求。例1：計(jì)算n階行列式= 解：很容易可計(jì)算出 因此猜測(cè)證明：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立了。設(shè)時(shí)，猜測(cè)也成立，則當(dāng)n=k時(shí)當(dāng)n=k時(shí)，猜測(cè)也成立。例2：計(jì)算n階范德蒙行列式=分析 運(yùn)用歸納法，為了使得降階后的行列式仍能具有原來的形式，不能用第一的若干倍加到其它各行的辦法，而應(yīng)該通過把第一列變出一排零來降階。解：= =于是我們猜測(cè)=運(yùn)用第二歸納法，設(shè)=把行列式的第行的倍加到第n行，第行的倍加到第，等等直到把第一行的倍加到第2行，得到=例3：計(jì)算n行列式=解：由于因而猜想現(xiàn)在用第二歸納法來證明。歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)小于都成立，再證n時(shí)，對(duì)按最后一列展開得7遞推法如果行列式在形式上很有規(guī)律，通過利用n級(jí)行列式的性質(zhì)，給定的行列式變換成用同樣的形式的級(jí)（或更低級(jí)）表示出來的行列式，就可以得到遞推關(guān)系。然后這種行列式就可以根據(jù)遞推關(guān)系求出。若n階行列式滿足如下的關(guān)系式:則作特征方程式（1） 若，則方程有兩個(gè)不等的根，則其中A,B為待定系數(shù)，可令n=1,n=2得出。（2） 若，則方程有兩個(gè)不等的根，則 其中A,B為待定系數(shù)，可令n=1,n=2求出例1：計(jì)算n階行列式=解: 按第一行展開得 所以 =例2：計(jì)算n階行列式解: 按第一行展開得 即 作特征方程 ，解得 那么當(dāng) n=1時(shí)，,當(dāng) n=2時(shí)，,解得 因此 例3：計(jì)算n階行列式解: (1) 當(dāng) 時(shí)， 。（2）當(dāng) 時(shí)，按第一列展開得，即 作特征方程解得 。（i）當(dāng) 時(shí)，則 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 解得 所以 （ii）當(dāng) 且時(shí)，則 ，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， ，解得 8 拆項(xiàng)法利用行列式的性質(zhì)，將所給行列式拆成兩個(gè)行列式之和，再利用遞推，化三角形等方法計(jì)算出行列式的值。一般有如下情形可采用拆行（列）法：（1）行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；（2）行列式中有某行（列）只有個(gè)別元素是兩項(xiàng)之和，或者某行（列）不是兩項(xiàng)之和的形式，這是可以作恒等變形，使得某行（列）全部為兩項(xiàng)之和的形式。對(duì)于一個(gè)n階行列式來說，如果其每行（列）均為兩項(xiàng)之和的形式，則原行列式可以拆成個(gè)n階行列式之和，所以用此法計(jì)算行列式一般繁瑣，要看情況選擇。例1：計(jì)算n階行列式解：按第一列拆項(xiàng)得即 將y與z 互換，行列式的值不變。同理有由于，由兩式消去得 例2：計(jì)算n階行列式 解：先加邊得再拆項(xiàng)得=9 利用多項(xiàng)式的性質(zhì)一個(gè)n次多項(xiàng)式至多有n個(gè)根。如果兩兩不等的數(shù)是多項(xiàng)式的根，那么 是的因式，即。利用這個(gè)性質(zhì)有時(shí)可以確定出行列式的因子形式，然后利用待定系數(shù)法確定系數(shù)；這方法稱為因子法。例 1 計(jì)算n階范德蒙行列式=解 把看作的多項(xiàng)式，它的次數(shù)小于或等于；如果中有兩個(gè)彼此相等。則由行列式的性質(zhì)得到，設(shè)兩兩不等，由行列式性質(zhì)。所以其中是待定系數(shù)，它也是的的系數(shù)。把行列式按最后一列展開，就知道的系數(shù)就是的位置的代數(shù)余子式，即階范德蒙行列式。因此。對(duì)用同樣的方法，遞推即可得10 利用矩陣分塊理論 利用矩陣分塊的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法，利用矩陣分塊理論也能解決很多行列式的計(jì)算問題。1 乘法公式的應(yīng)用定理 1 矩陣 ，則例1：計(jì)算n階行列式 事實(shí)上有因?yàn)?從而例2：計(jì)算n階行列式 我們知道因此等號(hào)的左端可以表示為2 定理2 A，B都是n階方陣，則有 證明：例1：計(jì)算2n階行列式 令則3 定理3設(shè)例是n階行列式，其中分別是階矩陣，則（1） 若可逆，則（2） 若可逆，則證明：（1）同理，（2）也可以同樣證明。例1：計(jì)算n+1階行列式，其中解：令，則可逆，且，所以例2：計(jì)算n+1階行列式 且所以11 小結(jié) n階行列式計(jì)算的方法多種多樣，每種方法都有各自的特點(diǎn)，每種方法都只適合