數(shù)列中公共項問題的研究.doc

專題：數(shù)列中公共項問題的研究一、問題提出問題1：（1）兩個集合和都各有100個元素，且每個集合中元素從小到大都組成等差數(shù)列，則集合中元素的最大值是多少？（2）若將中元素按從小到大的順序排列成數(shù)列，試求數(shù)列的通項公式.問題2：若數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為設(shè)集合，若等差數(shù)列任一項是中的最大數(shù)，且，求的通項公式對任意，是中的最大數(shù)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又是一個以為公差等差數(shù)列，二、思考探究探究1：已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為若將數(shù)列，中相同的項按從小到大的順序排列后看作數(shù)列，（1）求的值；961（2）求數(shù)列的通項公式. 解：設(shè)，考察模7的余數(shù)問題；若時經(jīng)驗證可得：當時，存在滿足條件的存在故中的項目依次為：可求得數(shù)列的通項公式為： 探究2：已知數(shù)列和的通項公式分別為，.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為.（1）試寫出，的值，并由此歸納數(shù)列的通項公式； （2）證明你在（1）所猜想的結(jié)論. 解：（1），由此歸納：.（2） 由，得，由二項式定理得，當為奇數(shù)時，有整數(shù)解， .類型：（1）兩個等差數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：公式法）隔三差五問題（2）一個等差數(shù)列和一個指數(shù)數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：余數(shù)分析法）（3）一個等差數(shù)列和一個二次型數(shù)列取交集數(shù)列問題（方法：二項式定理） 探究3：已知數(shù)列xn和yn的通項公式分別是xnan和yn(a1)nb(nN*)（1）當a3，b5時，試問x2，x4分別是數(shù)列yn中的第幾項？記cnx，若ck是數(shù)列yn中的第m項(k，mN*)，試問ck1是數(shù)列yn中的第幾項？請說明理由；（2）對給定自然數(shù)a2，試問是否存在b1，2，使得數(shù)列xn和yn有公共項？若存在，求出b的值及相應(yīng)的公共項組成的數(shù)列zn；若不存在，說明理由解(1)由條件可得xn3n，yn4n5.令x29ym4m5，得m1，故x2是數(shù)列yn中的第1項令x481yk4k5，得k19，故x4是數(shù)列yn中的第19項(2分)由題意知，cn32n，由ck為數(shù)列yn中的第m項，則有32k4m5，那么ck132(k1)932k9(4m5)36m454(9m10)5，因9m10N*，所以ck1是數(shù)列yn中的第9m10項(8分)(2)設(shè)在1，2上存在實數(shù)b使得數(shù)列xn和yn有公共項，即存在正整數(shù)s，t使as(a1)tb，t，因自然數(shù)a2，s，t為正整數(shù)，asb能被a1整除當s1時，tN*，當s2n(nN*)時，當b1時，1(a)(a)2(a)2n1(a1)1a2a4a2n2N*，即asb能被a1整除此時數(shù)列xn和yn有公共項組成的數(shù)列zn；顯然，當b2時，N*，即asb不能被a1整除當s2n1(nN*)時，t，由知，a2n1能被a1整除，若a2，則，故此時tN*，若a2，當且僅當ba2時，ab能被a1整除，此時tN*，此時數(shù)列xn和yn有公共項組成的數(shù)列zn綜上所述，a2時，存在b=1或b=2，使得數(shù)列xn和yn有公共項組成的數(shù)列zn，且當b1時，數(shù)列zn4n(nN*)；當b2時，zn22n1(nN*)；a2時，存在b=1，使得數(shù)列xn和yn有公共項組成的數(shù)列zn，數(shù)列zna2n(nN*)(16分)【搶分秘訣】1求解數(shù)列的通項公式時，應(yīng)該先根據(jù)已知條件確定數(shù)列的性質(zhì)，然后通過條件的靈活變形構(gòu)造或者直接轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項公式問題進行求解，所以要熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)，才能簡化運算過程2數(shù)列求和問題的關(guān)鍵是數(shù)列通項公式的求解，數(shù)列求和的方法取決于其通項公式的形式，基本思路是將其轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題進行求解探究4：設(shè)數(shù)列an的通項公式為，數(shù)列bn的通項公式為bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*將集合AB中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，則cn的通項公式為_.解：因為 ， ； 所以 ， 即當時，；當，當時，當時， 所以的通項公式是即：三、反思提升四、反饋檢測1. 已知數(shù)列，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；（3）設(shè)，其中為常數(shù)，且，求.解：=，為常數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列取數(shù)列的連續(xù)三項， ，即，數(shù)列中不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列； -9分當時，此時；當時，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時；當時，此時；-12分當時，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)， 的解只有一個從而當且僅當時，即，此時；當時，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）從而當且僅當時，即，此時；綜上，當，或時，；當時，當時，。 -16分2. 設(shè)數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且對任意nN*都有a13a23a33an3Sn22Sn，其中Sn 為數(shù)列an的前n項和（1）求a1，a2；（2）求數(shù)列an的通項公式；（3）bn，cn，試找出所有即在數(shù)列bn中又在數(shù)列cn中的項解：（1）令n1，則a13 S132S1，即a13 a122a1，所以a12或a11或a10又因為數(shù)列an的各項都是正數(shù)，所以a12令n2，則a13a23 S222S2，即a13a23(a1a2)22(a1a2)，解得a23或a22或a20又因為數(shù)列an的各項都是正數(shù)，所以a23（2）因為a13a23a33an3Sn22Sn (1) 所以a13a23a33an13Sn122Sn1(n2) (2)由(1)(2)得an3( Sn22Sn)(Sn122Sn1)(SnSn1)( Sn Sn12)an( SnSn12)，因為an0,所以an2SnSn12 (3)所以an12Sn1Sn22(n3) (4) 由(3)(4)得an2an12anan1，即anan11(n3)，又a2a11，所以anan11(n2)所以數(shù)列an是一個以2為首項，1為公差的等差數(shù)列所以ana1(n1)dn1（3）Sn，所以bn,cn不妨設(shè)數(shù)列bn中的第n項bn和數(shù)列cn中的第m項cm相同，則bncm即，即1o 若，則n23n180，所以1n3，n1時,，無解；n2時，即52m5m532m3m3，所以2m4m4，m1,2,3,4時2m4m4；m5時,令f(m)2m4m4,則f(m1)f(m)2m40，所以f(m)單調(diào)增，所以f(m)f(5)80,所以2m4m4無解；n3時，即2m2m2，m1,2時，2m2m2；m3時，2m2m2；m4時，2m2m2；m5時，2m4m42m2所以，m3，n32o 若 ，即2m2m2由1知，當m3時，2m2m2。因此，當2m2m2時，m1或2當m1時，0無解，當m2時,無解綜上即在數(shù)列bn中又在數(shù)列cn中的項僅有b3c3【說明】本題考查數(shù)列的綜合運用 第