中考專題復習輔助線的添加.doc

輔助線的添加【知識要點】 平面幾何是中學數(shù)學的一個重要組成部分，證明是平面幾何的重要內容。許多初中生對幾何證明題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證明題，往往束手無策。在這里我們介紹添加輔助線在平面幾何中的運用。一 、三角形中常見輔助線的添加1. 與角平分線有關的 可向兩邊作垂線。 可作平行線，構造等腰三角形 在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形2. 與線段長度相關的 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可 補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可 倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。 遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3. 與等腰等邊三角形相關的 考慮三線合一 旋轉一定的度數(shù)，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數(shù)，等邊旋轉二 、四邊形 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.1、和平行四邊形有關的輔助線作法 平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形.利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形利用兩組對邊平行構造平行四邊形利用對角線互相平分構造平行四邊形2、和菱形有關的輔助線的作法 和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題. 作菱形的高；連結菱形的對角線.3、與矩形有輔助線作法 和矩形有關的題型一般有兩種：. 計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題；證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.4、與正方形有關輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.5、與梯形有關的輔助線的作法 和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構成三角形；（5）作兩腰的平行線等.三 、圓1遇到弦時（解決有關弦的問題時）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。 作用： 利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關量。2遇到有直徑時 常常添加（畫）直徑所對的圓周角。 作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形。3遇到90度的圓周角時 常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點。 作用：利用圓周角的性質，可得到直徑。4遇到弦時常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點。作用：可得等腰三角形； 據(jù)圓周角的性質可得相等的圓周角。5遇到有切線時 （1）常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點） 作用：利用切線的性質定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加連結圓上一點和切點 作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。6遇到證明某一直線是圓的切線時 （1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。 作用：若OA=r，則l為切線。 （2） 若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑） 作用：只需證OAl，則l為切線。 （3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線7 遇到兩相交切線時（切線長）常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點。 作用：據(jù)切線長及其它性質，可得到： 角、線段的等量關系； 垂直關系； 全等、相似三角形。8遇到三角形的內切圓時連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段。 作用：利用內心的性質，可得：內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；內心到三角形三條邊的距離相等。9遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點 作用：外心到三角形各頂點的距離相等。10遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。 作用：利用切線的性質； 利用解直角三角形的有關知識。11遇到兩圓相交時常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等。 作用： 利用連心線的性質、解直角三角形有關知識； 利用圓內接四邊形的性質； 利用兩圓公共的圓周的性質； 垂徑定理。12遇到兩圓相切時常常作連心線、公切線。 作用： 利用連心線性質； 切線性質等。13遇到三個圓兩兩外切時常常作每兩個圓的連心線。 作用：可利用連心線性質。14遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質。【歷年考卷形勢分析及中考預測】平面幾何是歷年來中考和競賽的必考內容，其題目的靈活性遠遠是代數(shù)題目所不能比擬的，從簡單的選擇填空到較為復雜的中考壓軸題甚至競賽中的壓軸題，出題范圍極為廣泛，難易程度差距較大，對于學生的數(shù)學知識綜合運用能力考察較多?？v觀近6年廣州市的中考試題，分值分布大約在60分左右，其中簡單的題目大約占43分，其余的17分較難，每年必有一道幾何壓軸題，分值14分，經(jīng)常和實際問題，動點問題及函數(shù)問題結合，難度較大，應引起同學們的高度重視。題目難主要難在輔助線的添加，尤其像特殊四邊形及圓中的問題，從中考考綱來看，2011年廣州市中考命題，同往年相比，變化不大，壓軸題中可能會以三角形或四邊形結合動點問題給出，或者以圓中相關知識為背景，結合動點，函數(shù)問題給出，區(qū)分度較大。【考點精析】考點1. 三角形：例1 如圖，AB=CD，E為BC中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。ABECD12ACDB例2 如圖，ABAC, 1=2，求證：ABACBDCD。例3 如圖95，設O是正三角形ABC內一點，已知AOB=115，BOC=125。求以線段OA，OB，OC為邊構成的三角形的各角。圖95BACOABCDMN例4 如圖所示，ABC是邊長為4的正三角形，BDC是頂角BDC=120的等腰三角形，以D為頂點作一個60的角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N兩點，連結MN，求AMN的周長.【舉一反三】1、如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點，求AD的取值范圍。ABCD682、如圖，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。BDCA 3如圖921，設O是正三角形ABC內一點，已知AOB=80，BOC=135，求以線段OA、OB、OC為邊構成的三角形的各角。BOAC圖921考點2. 四邊形：例5 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形. 求證:OE與AD互相平分.例6 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC. 例7 如圖7，已知矩形ABCD內一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.例8 如圖，在正方形ABCD中，E為內部一點且是正三角形，求的度數(shù)ABCDE例9 如圖，ABCD，M、N分別為AD、BC中點，MN交AC、BD于G、H點。 求證：GH=（CDAB）ADCBMNHG【舉一反三】1. 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.2. 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.3如圖：正方形ABCD，AE+CF=EF，求證：AEBFCD4、如圖，已知梯形ABCD中，AD=1.5cm，BC=3.5cm，對角線ACBD，且BD=3cm，AC=4cm，求梯形ABCD的面積?？键c3. 圓：例10 （2010江蘇泰州，18，3分）如圖O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為，則試求弦AC、BD所夾的銳角 例11 (2010年安徽蕪湖市)如圖所示，在圓O內有折線OABC，其中OA8，AB12， AB60，試求BC的長為.例12（2010山東臨沂）如圖,是半圓的直徑,為圓心,、是半圓的弦，且.(1)判斷直線是否為的切線，并說明理由；(2)如果，求的長。例13（2010江蘇宿遷）（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑， P為AB延長線上任意一點，C為半圓ACB的中點，PD切O于點D，連結CD交AB于點EPBAEOCD求證：（1）PD=PE；（2）【舉一反三】1（番禺一模） 圖12已知：如圖12，在中，點在上，以為圓心，長為半徑的圓與分別交于點，且（1）判斷直線與的位置關系，并證明你的結論；（2）若，求的面積2.（天河一模）如圖，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE。 （1）求證：ACAE；ACBDE （2）求ACD外接圓的半徑。3（荔灣十校一模）如圖，已知AB為O的弦，C為O上一點，C=BAD，且BDAB于B. （1）求證：AD是O的切線；（2）若O的半徑為3，AB=4，求AD的長.綜合例14（2010寧夏回族自治區(qū)）在ABC中，BAC=45，ADBC于D，將ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M(1)判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明(2)若BD=1，CD=2，試求四邊形AEMF的面積圖14-1連桿滑塊滑道例15（2010 河北）觀察思考某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖14-1，圖14-2是它的示意圖其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動在擺動過程中，兩連桿的接點P在以OP為半徑的O上運動數(shù)學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數(shù)學知識，過點O作OHl于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米PBAEOCD解決問題（1）點Q與點O間的最小距離是 分米；點Q與點O間的最大距離是 分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米（2）如圖14-3，小明同學說：“當點Q滑動到點H的位置時，PQ與O是相切的”你認為他的判斷對嗎？為什么？HlOPQ圖14-2（3）小麗同學發(fā)現(xiàn)：“當點P運動到OH上時，點P到l的距離最小”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此時，點P到l的距離是 分米；當OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù) HlO圖14-3P（Q）【舉一反三】EA DB CNM1.（2010年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM. 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最??；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.2（廣雅一模）平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B、C不重合）如圖,將COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB邊上選取適當?shù)狞cE，將BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直線DG，DF重合（1）圖中，若COD翻折后點F落在OA邊上，寫出 D、E點坐標，并且求出直線DE的解析式（2）設（1）中所求直線DE與x軸交于點M，請你猜想過點M、C且關于y軸對稱的拋物線與直線DE的公共點的個數(shù)，在圖的圖形中，通過計算驗證你的猜想（3）圖中，設E（10，b），求b的最