（新課改地區(qū)）2021版高考數(shù)學第九章平面解析幾何9.8.2圓錐曲線的最值問題練習新人教B版.docx

9.8.2 圓錐曲線的最值問題核心考點精準研析考點一幾何法求最值1.設(shè)P是橢圓+=1上一點,M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為()A.9,12B.8,11C.8,12D.10,122.已知點A是拋物線C:y2=4x上的一個動點,點A到直線x-y+3=0的距離為d1,到直線x=-2的距離為d2,則d1+d2的最小值為()A.+2B.2C.+3D.2+1【解析】1.選C.如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點A,B,由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于兩點,此時|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長,分別與圓相交于兩點,此時|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.2.選D.拋物線的焦點為F(1,0),準線為x=-1,則d2=|AF|+1.故d1+d2=|AF|+d1+1.顯然,當點A為點F到直線x-y+3=0的垂線段與拋物線的交點時,|AF|+d1取到最小值d=2.故d1+d2的最小值為2+1.幾何方法求解圓錐曲線中的最值問題,即通過圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)將最值轉(zhuǎn)化,利用平面幾何中的定理、性質(zhì),結(jié)合圖形的直觀性求解最值問題.常用的結(jié)論有:(1)兩點間線段最短;(2)點到直線的垂線段最短.考點二代數(shù)法求最值問題命題精解讀考什么:(1)考查圓錐曲線中相關(guān)最值問題的求解;(2)考查數(shù)學建模、數(shù)學運算以及邏輯推理的核心素養(yǎng)以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法.怎么考:(1)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題;(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題.新趨勢:最值問題與函數(shù)、不等式等其他知識相結(jié)合學霸好方法1.代數(shù)法求解最值問題的解題思路首先需要根據(jù)題目的條件和結(jié)論找出明確的函數(shù)關(guān)系,建立起目標函數(shù),然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解,最值常用基本不等式法、配方法、函數(shù)單調(diào)性法等求解.2.交匯問題求解函數(shù)最值,要根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征靈活變形,采用相應(yīng)的方法求解利用基本不等式求最值【典例】已知橢圓+=1(ab0),F1,F2為它的左、右焦點,P為橢圓上一點,已知F1PF2=60,=,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓方程.(2)已知T(-4,0),過T的直線與橢圓交于M,N兩點,求MNF1面積的最大值.【解題導思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b利用橢圓的定義和幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化已知,建立方程組求解.(2)求M,N兩點坐標的關(guān)系設(shè)直線方程,直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立坐標的關(guān)系式求MNF1的面積利用點F1,把所求三角形的面積用兩個三角形面積之差表示,從而進行坐標運算,建立面積模型求面積的最值根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,通過化簡構(gòu)造基本不等式求解最值【解析】(1)由已知,得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=4c2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,|PF1|PF2|sin 60=,即|PF1|PF2|=4,聯(lián)立解得a2-c2=3.又=,所以c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3,橢圓方程為+=1.(2)根據(jù)題意可知直線MN的斜率存在,且不為0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=my-4,代入橢圓方程整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,則=(-24m)2-436(3m2+4)0,所以m24.y1+y2=,y1y2=,則MNF1的面積=|-|=|TF1|y1-y2|=18=6=6=.當且僅當=,即m2=時(此時適合0的條件)取得等號.故MNF1面積的最大值為.利用函數(shù)單調(diào)性求最值【典例】已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率為,左、右焦點分別為F1,F2,A為橢圓C上一點,AF1與y軸交于點B,|AB|=|F2B|,|OB|=.(1)求橢圓C的方程.(2)過右焦點F2的直線y=k(x-2)(k0)交橢圓于P、Q兩點,若PQ的中點為N,O為原點,直線ON交直線x=3于點M.求的最大值.【解題導思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b利用橢圓的幾何性質(zhì),轉(zhuǎn)化已知,建立方程組求解(2)求N點坐標直線和橢圓方程聯(lián)立方程組,消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系求N點坐標求M點坐標求直線ON方程,與直線x=3聯(lián)立,即可求得M點坐標求利用坐標分別表示出兩條線段的長度,構(gòu)建目標函數(shù)求最值根據(jù)目標函數(shù)結(jié)構(gòu)特征,通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題求解【解析】(1)連接AF2,由題意得|AB|=|F2B|=|F1B|,所以BO為F1AF2的中位線,又因為BOF1F2,所以AF2F1F2,且|AF2|=2|BO|=,又e=,a2=b2+c2,得a2=6,b2=2,故所求橢圓方程為+=1.(2)聯(lián)立 ,可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=,所以PQ的中點N的坐標為,|PQ|=,因此直線ON的方程為y=-x,從而點M為,|MF2|=,設(shè)I=,令u=3k2+1,則I=8=-=-,因此當u=4,即k=1時取得最大值.1.已知橢圓C的左、右焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直線x-y-9=0的距離等于橢圓的短軸長.(1)求橢圓C的方程.(2)若圓P的圓心為P(0,t)(t0),且經(jīng)過F1,F2,Q是橢圓C上的動點且在圓P外,過點Q作圓P的切線,切點為M,當|QM|的最大值為時,求t的值.【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為+=1(ab0).依題意可知,2b=4,所以b=2.又c=1,故a2=b2+c2=5,故橢圓C的方程為+=1.(2)由題意,圓P的方程為x2+(y-t)2=t2+1.設(shè)Q(x0,y0),因為PMQM,所以|QM|= .若-4t-2, 即t,當y0=-2時,|QM|取得最大值,|QM|max=,解得t=-2,即0t|FF|=2,由橢圓的定義知,2a=4,c=1,所以動點P的軌跡方程E為+=1.(2)設(shè)P點坐標為(m,n)(n0),則Q點的坐標為(m,-n),且3m2+4n2=12,所以直線QA:y=(x-4),即nx-(4-m)y-4n=0,直線PF:y=(x-1),即nx-(m-1)y-n=0.聯(lián)立方程組解得xB=,yB=,則+=+=1,所以點B恒在橢圓E上.設(shè)直線PF:x=ty+1,P(x1,y1),B(x2,y2),則由消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,所以|y1-y2|=,從而SPAB=|FA|y1-y2|=.令=(1),則函數(shù)g()=3+在1,+)上單調(diào)遞增,故g()min=g(1)=4,所以SPAB=,即當t=0時,PAB的面積取得最大值,且最大值為.1.(2019菏澤模擬)拋物線E:x2=2py(0p,過P作圓C的兩條切線分別交y軸于M,N兩點,求PMN面積的最小值,并求出此時P點坐標.【解析】(1)由題意知,F,C(0,1),因為0p,所以1,設(shè)兩切線斜率為k1,k2,則k1+k2=,k1k2=,所以SPMN=|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|x0|=|k1-k2|,因為|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2=-=,所以|k1-k2|=,則SPMN=, 令2y0-1=t(t0),則y0=,所以SPMN=f(t)=+1,而+12+1=2, 當且僅當=,即t=1時,“=”成立.所以SPMN的最小值為2,此時P(,1).2.(2020濟南模擬)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點為F1,F2,長軸端點為A,B,O為橢圓中心,=1,斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點,這兩點在x軸上的射影恰好是橢圓C的兩個焦點.(1)求橢圓C的方程.(2)若拋物線y2=4x上存在兩個點M,N,橢圓C上存在兩個點P,Q,滿足M,N,F2三點共線,P,Q,F2三點共線,且PQMN,求四邊形PMQN面積的最小值.【解析】(1)已知橢圓方程為:+=1(ab0),利用數(shù)量積運算=1,可得a2-c2=1,直線l的方程為y=x,當x=c時,y=c,代入橢圓方程可得+=1,聯(lián)立解得a2=2,c2=1,橢圓方程為+y2=1.(2)當直線MN的斜率不存在時,直線PQ的斜率為0,得到|MN|=4,|PQ|=2,S四邊形PMQN=4.當直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN方程為y=k(x-1)(k0),與拋物線y2=4x聯(lián)立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=