2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何檢測（A）（含解析）新人教A版選修.docx

第三章檢測(A)(時間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1在空間四邊形ABCD,連接AC,BD,若BCD為正三角形,且E為其中心,則化簡AB+12BC-32DE-AD的結(jié)果是()A.ABB.2BDC.0D.2DE解析:如圖,F是BC的中點,E為DF的三等分點,于是32DE=DF,12BC=BF,則AB+12BC-32DE-AD=AB+BF-DF-AD=AF+FD-AD=AD-AD=0.故選C.答案:C2設(shè)平面內(nèi)的兩個向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),則下列向量中是的法向量的是()A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),則x+2y+z=0,-x+y+2z=0,取y=1,得n=(-1,1,-1).答案:B3如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A.55B.53C.255D.35解析:不妨設(shè)CB=1,則B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1).cos=BC1AB1|BC1|AB1|=0+4-153=55.故選A.答案:A4若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b夾角的余弦值為89,則x等于()A.2B.-2C.-2或255D.2或-255解析:cos=ab|a|b|=6-x35+x2=89,解得x=-2或x=255.答案:C5如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為正方體的棱AA1的中點,F為棱AB上的一點,若C1EF=90,則點F的坐標(biāo)為()A.2,14,0B.2,13,0C.2,12,0D.2,23,0解析:由題意可得E(2,0,1),C1(0,2,2),設(shè)F(2,y,0),則EC1=(-2,2,1),EF=(0,y,-1).因為C1EF=90,所以EC1EF=2y-1=0,解得y=12,則點F的坐標(biāo)為2,12,0,故選C.答案:C6已知點A(-3,4,3),O為坐標(biāo)原點,則OA與坐標(biāo)平面yOz所成角的正切值為()A.34B.35C.53D.1解析:點A在平面yOz上射影為B(0,4,3),且|OB|=5,OA與平面yOz所成角滿足tan=|AB|OB|=35.答案:B7如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,若A1AB=A1AD=60,且A1A=3,則A1C的長為()A.5B.22C.14D.17答案:A8在邊長為1的菱形ABCD中,ABC=60.將菱形沿對角線AC折起,使折起后BD=1,則二面角B-AC-D的余弦值為()A.13B.12C.233D.32解析:設(shè)菱形對角線AC與BD相交于點O,則BOD為二面角B-AC-D的平面角,由余弦定理可得cosBOD=13.答案:A9如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分別是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心,則E,F兩點間的距離為()A.1B.52C.62D.32解析:以點A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2+(1-1)2+2-222=62,故選C.答案:C10已知正三角形ABC,BC平面,點A在上的射影為點A,BAC=90,則平面ABC與平面所成的二面角的正弦值等于()A.63B.134C.195D.306解析:如圖所示,過點A作ADBC,垂足為D,連接AD,則易知ADA為所求二面角的平面角,令BC=a,則AB=AC=a,AB=AC=22a,AA=22a.又AD=AA+AC+CD=AA+AC+12CB=AA+AC+12(AB-AC)=AA+12AB+12AC,sinADA=ADAA|AD|AA|=63.答案:A二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11若空間三點A(1,5,-2),B(2,4,1),C2p,3,q2共線,則p+q=_.解析:由已知,得AB=(1,-1,3),AC=2p-1,-2,q2+2.ABAC,2p-11=-2-1=q2+23,p=32,q=8.故p+q=192.答案:19212在空間四邊形OABC中,若OB=OC,AOB=AOC=3,則cos的值是_.解析:cos=OABC|OA|BC|=OA(OC-OB)|OA|BC|=|OA|OC|cos3-|OA|OB|cos3|OA|BC|=0.答案:013已知正三棱柱ABC-DEF的側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M是BC的中點,若直線CF上有一點N,使MNAE,則CNCF=_.解析:如圖,設(shè)CN=mCF,則AE=AB+BE,MN=MC+CN=12BC+mCF=12BC+mAD.因為MNAE,所以AEMN=0,因此1211-12+4m=0,解得m=116,所以CNCF=116.答案:11614如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點,則異面直線A1M與DN所成的角的大小是.解析:如圖,以點D為原點,以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則MA1=(2,-1,2),DN=(0,2,1),MA1DN=0,故異面直線A1M與ND所成的角為90.答案:9015已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,將矩形ABCD沿對角線AC折起,使平面ABC與平面ACD垂直,則點B與點D之間的距離為_.解析:如圖,過點B,D分別向AC作垂線,垂足分別為M,N.則可求得AM=12,BM=32,CN=12,DN=32,MN=1.因為BD=BM+MN+ND,所以|BD|2=(BM+MN+ND)2=|BM|2+|MN|2+|ND|2+2(BMMN+MNND+BMND)=322+12+322+2(0+0+0)=52,故|BD|=102.答案:102三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(8分)已知a=(1,2,-2).(1)求與a共線的單位向量b;(2)若a與單位向量c=(0,m,n)垂直,求m,n的值.分析:(1)a與b共線,則b=(,2,-2),根據(jù)|b|=1,可求得;(2)ac,則ac=0,且|c|=1,注意討論解的情況.解:(1)設(shè)b=(,2,-2),而b為單位向量,|b|=1,即2+42+42=92=1,=13.b=13,23,-23或b=-13,-23,23.(2)由題意,知ac=0,|c|=110+2m-2n=0,m2+n2+02=1,解得m=22,n=22或m=-22,n=-22.17(8分)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)棱CC1上一點,CP=m.試確定m使得直線AP與平面BDD1B1所成角為60.解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).則BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).又由ACBD=0,ACBB1=0知,AC為平面BB1D1D的一個法向量.設(shè)AP與平面BB1D1D所成的角為,則sin=|cos|=|APAC|AP|AC|=22+m22.依題意得22+m22=sin60=32,解得m=63.故當(dāng)m=63時,直線AP與平面BDD1B1所成角為60.18(9分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC=1,PA=2.(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值;(2)求點P到平面DEF的距離.解: (1)如圖所示,以A為原點,AB,AC,AP所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1.設(shè)平面DEF的法向量n=(x,y,z),則nDE=0,nDF=0,即(x,y,z)0,12,0=0,(x,y,z)-12,12,1=0,解得x=2z,y=0.取z=1,則平面DEF的一個法向量n=(2,0,1).設(shè)PA與平面DEF所成的角為,則sin=|PAn|PA|n|=55,故直線PA與平面DEF所成角的正弦值為55.(2)PF=0,12,-1,n=(2,0,1),點P到平面DEF的距離d=|PFn|n|=55.19(10分)如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1.(1)求證:AF平面BDE;(2)求證:CF平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.(1)證明如圖,設(shè)AC與BD交于點G,連接EG.EFAG,且EF=1,AG=12AC=1,四邊形AGEF為平行四邊形,AFEG.EG平面BDE,AF平面BDE,AF平面BDE.(2)證明正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,CE平面ABCD.如圖,以C為原點,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),F22,22,1.CF=22,22,1,BE=0,-2,1,DE=-2,0,1,CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.CFBE,CFDE.又BEDE=E,CF平面BDE.(3)解由(2)知,CF=22,22,1是平面BDE的一個法向量,設(shè)平面ABE的法向量n=(x,y,z),則nBA=0,nBE=0.即(x,y,z)(2,0,0)=0,(x,y,z)(0,-2,1)=0.x=0,z=2y.令y=1,則z=2.n=(0,1,2),從而cos=nCF|n|CF|=32.二面角A-BE-D為銳角,二面角A-BE-D的大小為6.20(10分)如圖,在四面體A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22.M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.(1)證明:PQ平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小為60,求BDC的大小.方法一(1)證明:取BD的中點O,在線段CD上取點F,使得DF=3FC.連接OP,OF,FQ,因為AQ=3QC,所以QFAD,且QF=14AD.因為O,P分別為BD,BM的中點,所以O(shè)P是BDM的中位線,所以O(shè)PDM,且OP=12DM.又點M為AD的中點,所以O(shè)PAD,且OP=14AD.從而OPFQ,且OP=FQ,所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:作CGBD于點G,作CHBM于點H,連接GH.因為AD平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG.又CGBD,ADBD=D,故CG平面ABD.又BM平面ABD,所以CGBM.又GHBM,CGGH=G,故BM平面CGH,所以GHBM,CHBM.所以CHG為二面角C-BM-D的平面角,即CHG=60.設(shè)BDC=.在RtBCD中,CD=BDcos=22cos,CG=CDsin=22cossin,BG=BCsin=22sin2.在RtBDM中,HG=BGDMBM=22sin23.在RtCHG中,tanCHG=CGHG=3cossin=3.所以tan=3.從而=60.即BDC=60.方法二(1)證明:如圖,取BD的中點O,以O(shè)為原點,OD,OP所在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0,y0,0).因為AQ=3QC,所以Q34x0,24+34y0,12.因為M為AD的中點,故M(0,2,1).又P為BM的中點,故P0,0,12,所以PQ=34x0,24+34y0,0.又平面BCD的一個法向量為u=(0,0,1),故PQu=0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的一個法向量.由CM=