《機械工程控制基礎(chǔ)》(楊叔子主編)第三章+系統(tǒng)時間響應(yīng)分析

.,1,第三章系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析,.,2,引言,在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性，時間響應(yīng)分析（也稱之為：時域分析）是重要的方法之一。時域分析給系統(tǒng)施加一輸入信號，通過研究系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）來評價系統(tǒng)的性能。如何評價一個系統(tǒng)性能的好壞，有一些動態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能指標可以參考。,.,3,3.1時間響應(yīng)及其組成,例1,.,4,3.1時間響應(yīng)及其組成,化簡得：,.,5,3.1時間響應(yīng)及其組成,由輸入引起的強迫響應(yīng),系統(tǒng)的初態(tài)為0，僅有輸入引起的響應(yīng)。,.,6,此方程的解為通解（即自由響應(yīng)）與特解（即強迫響應(yīng)）所組成，即：,3.1時間響應(yīng)及其組成,.,7,3.1時間響應(yīng)及其組成,這是因為：在定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，由于已指明了系統(tǒng)的初態(tài)為零，故取決于系統(tǒng)的初態(tài)的零輸入響應(yīng)為零。,.,8,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,9,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,10,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,11,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,12,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,13,3.1時間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）,.,14,3.2典型輸入信號,控制系統(tǒng)性能的評價分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩大類，為了求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)必須了解系統(tǒng)輸入信號（即外作用）的解析表達式（也就是確定性信號），然而，在一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號具有隨機性而無法預(yù)先確定，因此需要選擇若干確定性信號作為典型輸入信號。何謂確定性信號呢？就是其變量和自變量之間的關(guān)系能夠用某一確定性函數(shù)描述的信號。,.,15,典型輸入信號1.階躍函數(shù),式中,R為常數(shù),當R1時,xi(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)，其拉氏變換的表達式為：,3.2典型輸入信號,階躍函數(shù)的時域表達式為:,.,16,3.2典型輸入信號,2.斜坡函數(shù)(等速度函數(shù))斜坡函數(shù),也稱等速度函數(shù)(見圖)，其時域表達式為,式中,R為常數(shù)。當R1,xi(t)=t為單位斜坡函數(shù)。其拉氏變換的表達式為：,通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)因為dx(t)/dt=R,所以階躍函數(shù)為斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。,.,17,3.2典型輸入信號,3.拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）拋物線函數(shù)(見圖)的時域表達式為,式中，R為常數(shù)。當R1時,xi(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。其拉氏變換的表達式為：,通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)因為dxi(t)/dt=Rt,所以斜坡函數(shù)為拋物線函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)。,.,18,3.2典型輸入信號,4.脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)(見圖)的時域表達式為,式中，h稱為脈沖寬度,脈沖的面積為1。若對脈沖的寬度取趨于零的極限,則有,稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù)(見圖)。其拉氏變換的表達式為：,.,19,3.2典型輸入信號,5.正弦函數(shù)正弦函數(shù)(如圖所示）的時域表達式為,式中,A為振幅,為角頻率。當A1時，其拉氏變換的表達式為：,6.隨機信號,.,20,3.3一階系統(tǒng),一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。,（也稱為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)），表達了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性。,.,21,如果將該指數(shù)曲線衰減到初值的2（或5）之前的過程定義為過渡過程，則可算得相應(yīng)的時間為4T（或3T）。稱此時間（4T/3T）為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為ts。由此可見，系統(tǒng)得時間常數(shù)T愈小，則過渡過程的持續(xù)時間愈短。這表明系統(tǒng)的慣性愈小，系統(tǒng)對輸入信號反應(yīng)的快速性能愈好。（注意，在實際應(yīng)用時，理想的脈沖信號是不可能得到的。）,3.3一階系統(tǒng),.,22,3.3一階系統(tǒng),幾點重要說明：1.在這里有兩個重要的點：A點與0點（都與時間常數(shù)T有密切的關(guān)系）。2.系統(tǒng)的過渡過程時間ts。,.,23,3.3一階系統(tǒng),一階系統(tǒng)G（s）的實驗求法：,通過以上分析可知，若要求用實驗方法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，（1）我們就可以先對系統(tǒng)輸入一單位階躍信號，并測出它的響應(yīng)曲線。（2）然后從響應(yīng)曲線上找出0.632xou（）處所對應(yīng)點的時間t。這個t就是系統(tǒng)的時間常數(shù)T?；蛲ㄟ^找到t0時xou（t）的切線斜率，這個斜率的倒數(shù)也是系統(tǒng)的時間常數(shù)T。（3）再參考（一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)），求出w（t）。（4）最后再結(jié)合G（s）Lw(t)，求得G（s），即得到一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,.,24,3.3一階系統(tǒng),穩(wěn)態(tài)分量tT也是一個斜坡函數(shù)，與輸入信號斜率相同，但在時間上滯后一個時間常數(shù)T。,對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)，說明一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)在過渡過程結(jié)束后存在常值誤差，其值等于時間常數(shù)T。（跟蹤單位斜坡輸入信號時，穩(wěn)態(tài)誤差為T。）,.,25,對比一階系統(tǒng)的單位響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)，可知道他們之間的關(guān)系為：通過觀察其輸入信號也有同樣的關(guān)系。因此，在此一并指出：一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個輸入信號積分的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的積分。基于上述性質(zhì)，對于線性定常系統(tǒng)，只需討論一種典型信號的響應(yīng)，就可以推知另一種信號。,3.3一階系統(tǒng),.,26,3.3一階系統(tǒng),例1：已知某線性定常系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為：,試求其單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。,解：因為單位階躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)分別為單位斜坡函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，故系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)分別為單位斜坡響應(yīng)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。,即：單位階躍響應(yīng)為：,單位脈沖響應(yīng)為：,.,27,3.3一階系統(tǒng),例2:一階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？,解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,這是一個典型一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3秒。若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒，可設(shè)反饋系數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,.,28,例3：已知某元部件的傳遞函數(shù)為：，,KH,-,Xo(s),Xi(s),K0,解：原系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為,引入負反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,若將調(diào)節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，則：,采用圖示方法引入負反饋，將調(diào)節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，試選擇KH、K0的值。,3.3一階系統(tǒng),.,29,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,凡是以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)：稱之為二階系統(tǒng)。,一般控制系統(tǒng)均為高階系統(tǒng)，但在一定準確度條件下，可以忽略某些次要因素近似的用一個二階系統(tǒng)來表示。也就是說，在一定條件下，高階系統(tǒng)一般也可以近似用二階系統(tǒng)的性能指標來表征。,.,30,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,一、二階系統(tǒng)的各種狀態(tài)典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，它是一個由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負反饋系統(tǒng)。,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:,令,則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標準形式：,式中，稱為阻尼比,n稱為無阻尼自然振蕩角頻率。,二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,.,31,因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可化簡為如下圖所示：,所以,系統(tǒng)的兩個特征根(極點)為,二階系統(tǒng)的特征方程為：,二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖,隨著阻尼比取值不同,二階系統(tǒng)特征根(極點)也不相同。,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,.,32,是一對共軛復(fù)數(shù)根,如圖所示。,1.欠阻尼狀態(tài)(01)當01時,兩特征根為,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,.,33,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,2.臨界阻尼狀態(tài)(=1)當=1時,特征方程有兩個相同的負實根,即s1,2=-n如圖所示。,二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,.,34,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,為兩個不同的負實根,如圖所示：,3.過阻尼狀態(tài)(1)當1時,兩特征根為：,二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,.,35,二階系統(tǒng)閉環(huán)極點分布,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,如圖所示:,4.無阻尼狀態(tài)(=0)當=0時,特征方程有一對共軛純虛數(shù)根,即:,.,36,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,記：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率,.,37,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,.,38,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,當取不同值，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖所示。欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是減幅的正玹振蕩曲線，且愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于,因為其倒數(shù)稱為時間衰減常數(shù)，記為。,.,39,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,.,40,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,.,41,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,.,42,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,由圖可知，當1時，二階系統(tǒng)的過渡過程具有單調(diào)上升的特性。,從過渡過程的持續(xù)時間來看，在無振蕩單調(diào)上升的曲線中，在1時的過渡時間ts最短。,在欠阻尼系統(tǒng)中，當0.40.8時，不僅其過渡過程時間比1時的更短，而且振蕩不太嚴重。,.,43,因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在0.40.8的欠阻尼狀態(tài)，因為這個工作狀態(tài)有一個振蕩特性適度而且過渡過程持續(xù)時間又較短。,3.4二階系統(tǒng)（的時域分析）,在根據(jù)給定的性能指標設(shè)計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)。這是因為二階系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時間（ts)，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。,.,44,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,三、二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標,穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。在許多情況下，系統(tǒng)所需要的性能指標一般以時域量值的形式給出。,通常，系統(tǒng)的性能指標，根據(jù)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)給出？（1）產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)也比較容易求得對任何輸入的響應(yīng)。（2）一般認為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)的作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也令人滿足。,.,45,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,注意：因為完全無振蕩的單調(diào)過程的過渡過程時間太長，所以除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，其目的是為了獲得較短的過渡過程時間。這就是在設(shè)計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼0.40.8狀態(tài)下工作的原因。,下面我們就以欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過渡過程為例來討論二階系統(tǒng)的性能指標。,.,46,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,為了說明欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程的特性，通常是采用下列性能指標來表示。,.,47,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,階躍響應(yīng)曲線從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時間為上升時間。,注：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率,.,48,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,響應(yīng)曲線達到第一峰值所需的時間定義為峰值時間。,注：稱為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率,用求導(dǎo)數(shù)極值法求解。,.,49,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,阻尼比越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差,證明？,.,50,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,就是系統(tǒng)曲線在振蕩衰減過程中，系統(tǒng)的振蕩范圍達到規(guī)定的振蕩范圍時（2，5），第一個點對應(yīng)的時刻。,（過渡過程時間）,.,51,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,所以在具體設(shè)計時，通常都是根據(jù)對最大超調(diào)量Mp的要求來確定阻尼。,故，二階系統(tǒng)的特征參數(shù)Wn和決定了系統(tǒng)的調(diào)整時間ts，和最大超調(diào)量Mp;反過來，根據(jù)對ts和Mp的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)wn，。,所以調(diào)整時間ts主要是根據(jù)系統(tǒng)的Wn來確定的。,.,52,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,在過渡過程時間0tts內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。,.,53,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,在上述動態(tài)性能指標中，tr和tp放映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，Mp和N放映了系統(tǒng)的運行平穩(wěn)性和阻尼程度，一般認為ts能同時放映響應(yīng)速度和阻尼程度。,.,54,具體來說：1）阻尼比越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差；當=0時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：為頻率為n的等幅振蕩，系統(tǒng)無法進入平衡工作狀態(tài)，不能正常工作。另外，在一定時，n越大，系統(tǒng)的振蕩頻率d越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性較差。故大，n小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,2）調(diào)節(jié)時間ts的計算公式為近似表達式，事實上，小，系統(tǒng)響應(yīng)時收斂速度慢，調(diào)節(jié)時間長，若過大，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時間也較長。因此應(yīng)取適當?shù)臄?shù)值，=0.707時的典型二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，此時超調(diào)量為4.3%,調(diào)節(jié)時間為3/n。,.,55,例1：設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：根據(jù)題意,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,.,56,3.4二階系統(tǒng)（性能指標）,解二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：,因0，擾動不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)誤差為0。,3.6系統(tǒng)誤差分析與計算,可見，開環(huán)傳遞函數(shù)G(0)H(0)越大，由階躍擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。,.,86,n(t)=1(t)時，穩(wěn)態(tài)偏差為：,系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差為,例7：對于圖示系統(tǒng)，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。,解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,在r(t)=t，穩(wěn)態(tài)偏差,在擾動信號作用下的誤差表達式為：,3.6系統(tǒng)誤差分析與計算,系統(tǒng)為1型二階系統(tǒng)，是穩(wěn)定的。,.,87,一.用MATLAB求系統(tǒng)時間響應(yīng),例1已知系統(tǒng)框圖如圖所示,3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng),系統(tǒng)方框圖,其中，,試用MATLAB程序，求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。,通過MATLAB提供的函數(shù)step()和impulse(),可以方便地求出各階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。lsim()用于對生成對任意輸入的時間響應(yīng)。,.,88,clearallnum=77;den=conv(conv(10,13),145);g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);y,t,x=step(gg);plot(t,y);,系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線,3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng),MATLAB程序：,P69,conv：可以用來實現(xiàn)多項式之間的乘法運算,.,89,例2系統(tǒng)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)在時間常數(shù)不同取值時的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和任意輸入響應(yīng)。,接下來的主要工作：,3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng),.,90,clearall;t=0:0.01:0.8;%仿真時間區(qū)域的劃分%三種tao值下的系統(tǒng)模型nG=50;tao=0;dG=0.051+50*tao50;G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=0.051+50*tao50;G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=0.051+50*tao50;G3=tf(nG,dG)%系統(tǒng)脈沖，階躍時間響應(yīng)y1,T=impulse(G1,t);y1a,T=step(G1,t);y2,T=impulse(G2,t);y2a,T=step(G2,t);y3,T=impulse(G3,t);y3a,T=step(G3,t);,1,MATLAB程序：,3.8利用MATLAB分析時間響應(yīng),.,91,%生成圖形subplot(121),plot(T,y1,-,T,y2,-.,T,y3,-)legend(tao=0,tao=0.0125,tao=0.025)%標注圖例xlabel(t(sec