河南新鄉(xiāng)長垣第十中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)課件 新人教A選修21

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì),07.01.05,前面我們已學(xué)過橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì),它們都是通過標準方程的形式研究的,現(xiàn)在請大家想想拋物線的標準方程、圖形、焦點及準線是什么?,一、復(fù)習(xí)回顧：,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標軸上）,開口向右,開口向左,開口向上,開口向下,一、拋物線的幾何性質(zhì),拋物線在y軸的右側(cè)，當x的值增大時，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。,1、范圍,由拋物線y2=2px（p0）,所以拋物線的范圍為,2、對稱性,定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的頂點。,由y2=2px（p0）當y=0時,x=0,因此拋物線的頂點就是坐標原點（0，0）。,注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。,、頂點,4、離心率,拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。,下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質(zhì)。,5、開口方向,拋物線y2=2px（p0）的開口方向向右。,+X，x軸正半軸，向右,-X，x軸負半軸，向左,+y，y軸正半軸，向上,-y，y軸負半軸，向下,特點：,1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;,2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;,3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;,4.拋物線的離心率是確定的,為1;,思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.,（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì),y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,x0yR,x0yR,y0 xR,y0 xR,(0,0),x軸,y軸,1,例：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（，），求它的標準方程，并用描點法畫出圖形。,所以設(shè)方程為：,因此所求拋物線標準方程為：,（三）、例題講解：,作圖：,(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）,(2)描點：,(3)連線：,變式題：求并頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點M（，），拋物線的標準方程。,（三）、例題講解：,（三）、例題講解：,練習(xí)：頂點在坐標原點，焦點在y軸上，并且經(jīng)過點M（4,)的拋物線的標準方程為,（三）、例題講解：,練習(xí)2：頂點在坐標原點，對稱軸是X軸，點M（-5,)到焦點距離為6,則拋物線的標準方程為,變式題2：已拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在X軸的正半軸上,若拋物線上一動點P到A(2,1/3),F兩點的距離之和最小值為4,求拋物線的標準方程。,（三）、例題講解：,斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長。,（三）、例題講解：,課本例題推廣：直線l經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點,且與拋物線相交于A，B兩點，則線段AB的長|AB|=x1+x2+P.,練習(xí)3：已知過拋物線y2=9x的焦點的弦長為12,則弦所在直線的傾斜角是,（三）、例題講解：,練習(xí)4：若直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線相交于A，B兩點,且線段AB的中點的橫坐標為2,求線段AB的長.,（三）、例題講解：,已知拋物線的方程為y2=4x,直線l經(jīng)過點P(-2,1),斜率為k.當k為何值時,直線與拋物線:只有一個公共點;有兩個公共點:沒有公共點.,（三）、例題講解：,變式題3：已知直線y=(a+1)x與曲線y2=ax恰有一個公共點,求實數(shù)a的值.,（三）、例題講解：,練習(xí)5：已知直線y=kx+2與拋物線y2=8x恰有一個公共點,則實數(shù)k的值為,（三）、例題講解：,例4：已知過點Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直線方程.,（三）、例題講解：,練習(xí)6：求以Q(1,-1)為中點的拋物線y2=8x的弦AB所在的直線方程.,（三）、例題講解：,變式題4：求過點P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程.,（三）、例題講解：,例5：求拋物線y2=64x上的點到直線4x+3y+46=0的距離的最小值,并求取得最小值時的拋物線上的點的坐標.,（三）、例題講解：,練習(xí)7：拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是,（三）、例題講解：,練習(xí)8：拋物線y2=x和圓(x-3)2+y2=1上最近的兩點之間的距離是(),（三）、例題講解：,例6：已知拋物線y=2x2上兩點A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對稱,若x1x2=-1/2,則m的值為(),（三）、例題講解：,變式題6：已知直線y=x+b與拋物線x2=2y交于A,B兩點,且OAOB(O為坐標原點),求b的值.,（三）、例題講解：,正三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=2px(p0)上,求這個三角形的邊長.,分析:觀察圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長.,（三）、例題講解：,正三角形的一個頂點位于拋物線y2=2px(p0)焦點,另外兩個頂點在拋物線上,求這個三角形的邊長.,分析:觀察圖,正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長.,課堂練習(xí)：,求適合下列條件的拋物線的方程：,（1）頂點在原點，焦點F為（0，5）;（2）頂點在原點，關(guān)于x軸對稱,并且經(jīng)過點M(5,-4).,例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口圓的直徑為60cm,燈深40cm，求拋物線的標準方程及焦點的位置。,F,y,x,O,解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標系，使反光鏡的頂點與原點重合，x軸垂直于燈口直徑。,A,B,設(shè)拋物線的標準方程是：由已知條件可得點A的坐標是（40，30），代入方程可得,所求的標準方程為焦點坐標為,補充（1）通徑：,通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。,|PF|=x0+p/2,F,P,通徑的長度：2P,P越大,開口越開闊,（2）焦半徑：,連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。,焦半徑公式：,（標準方程中2p的幾何意義）,利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖。,1、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線3x-4