高思導(dǎo)引-四年級第十七講-數(shù)列與數(shù)表教師版

第17講數(shù)列與數(shù)表內(nèi)容概述通過觀察數(shù)列或數(shù)表中的已知數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進(jìn)行填補(bǔ)與計(jì)算的問題，注意數(shù)表形式的多樣性，計(jì)算時(shí)常常考慮周期性，或進(jìn)行合理估算.典型問題興趣篇11，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，100請觀察上面數(shù)列的規(guī)律，問：(1)這個(gè)數(shù)列一共有多少項(xiàng)?(2)這個(gè)數(shù)列所有數(shù)的總和是多少?答案：67；1783解析：間隔是是等差數(shù)列。2觀察數(shù)組(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的規(guī)律，求：(1)第20組中三個(gè)數(shù)的和；(2)前20組中所有數(shù)的和答案：120；1260解析：（39，40，42），運(yùn)用等差數(shù)列求和公式。3一個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是l，之后的每一項(xiàng)是這樣得到的：如果前一項(xiàng)是一位數(shù)，接著的一項(xiàng)就等于前一項(xiàng)的兩倍；如果前一項(xiàng)是兩位數(shù)，接著的一項(xiàng)就等于前一項(xiàng)個(gè)位數(shù)字的兩倍請問：(1)第100項(xiàng)是多少?(2)前100項(xiàng)的和是多少?答案：8；975解析：按規(guī)律寫：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期4. 如圖17-1，方格表中的數(shù)是按照一定規(guī)律填人的請觀察方格表，并填出“?”處的數(shù)答案：105解析：四周數(shù)的差是一個(gè)等差數(shù)列。5如圖17-2，數(shù)陣中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，請問：(1)100在第幾行、第幾列?(2)第20行第3列的數(shù)是多少?答案：（1）第25行第6列；（2）79解析：兩行為一個(gè)周期。觀察除以8的余數(shù)與在第幾列之間的關(guān)系。6如圖17-3，從4開始的自然數(shù)是按某種規(guī)律排列的，請問：(1)100在第幾行，第幾列?(2)第5行第20列的數(shù)是多少?答案：（1）第1第25列；（2）81解析：兩列為一個(gè)周期。7. 如圖17-4所示，把偶數(shù)2、4、6、8，排成5列各列從左到右依次為第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，請問： (1)100在第幾行，第幾列?(2)第20行第2列的數(shù)是多少?答案：（1）第15行第2列；（2）138解析：八個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，可以把每個(gè)數(shù)先除以2轉(zhuǎn)化成簡單數(shù)列。8如圖17-5，從1開始的自然數(shù)按某種方式排列起來，請問：(1)100在第幾行?100是這一行左起第幾個(gè)數(shù)?(2)第25行左起第5個(gè)數(shù)是多少?答案：（1）第14行左起第9個(gè)數(shù)；（2）321解析：觀察1，6，15這樣的數(shù)都是1加到行數(shù)之和。3，10也是1一直加到行數(shù)之和。9. 如圖17-6，把從1開始的自然數(shù)排成數(shù)陣試問：能否在數(shù)陣中放人一個(gè)33的方框，使得它圍住的九個(gè)數(shù)之和等于：(1)1997；(2)2016；(3)2349如果可以，請寫出方框中最大的數(shù)答案：只有2349是可以的，最大為269.解析：和一定是9的倍數(shù)，而且中心數(shù)必須是第二列到第6列的數(shù)。10. 如圖17-7，將1至400這400個(gè)自然數(shù)順次填人20 x20的方格表中，請問：(1)246在第幾行，第幾列?(2)第14行第13列的數(shù)是多少? (3)所有陰影方格中數(shù)的總和是多少?答案：（1）13行16列；（2）273；（8020）解析：周期問題拓展篇11，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，0請觀察上面數(shù)列的規(guī)律，請問：(1)這個(gè)數(shù)列中有多少項(xiàng)是2？(2)這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的總和是多少?答案：（1）26項(xiàng)；（2）2652解析：間隔數(shù)是等差數(shù)列。2一列由兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)組： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，請問：(1)第100組內(nèi)的兩數(shù)之和是多少?(2)前55組中“5”這個(gè)數(shù)出現(xiàn)了多少次?答案：23；11次。解析：數(shù)對前面的數(shù)規(guī)律為1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，后面的規(guī)律為：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，3有一列數(shù)，第一個(gè)數(shù)是3，第二個(gè)數(shù)是4，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的和的個(gè)位數(shù)從這列數(shù)中取出連續(xù)的50個(gè)數(shù)，并求出它們的和，所得的和最大是多少?如果從中取出連續(xù)的500個(gè)數(shù)，500個(gè)數(shù)的和最大又是多少?答案：257；2510解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,112個(gè)個(gè)數(shù)為一個(gè)周期。50個(gè)數(shù)是4個(gè)周期加上9,8最大。500個(gè)數(shù)求最大是41個(gè)周期加上8個(gè)最大的數(shù)，不加1,2,3,4即可。4如圖17-8，把從1開始的自然數(shù)填在圖上，1在射線OA上，2在射線OB上，3在射線OC上，4在射線OD上，5在射線OE上，6在射線OF上，7在射線OG上，8在射線OH上，9又回到射線OA上，如此循環(huán)下去，問：78在哪條射線上?射線OE上的第30個(gè)數(shù)是多少?答案：射線OF上；237.解析：八個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，每條線上的數(shù)又組成一個(gè)等差數(shù)列。5如圖17-9，將從5開始的連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律填人數(shù)陣中，請問：(1)123應(yīng)該排在第幾列?(2)第2行第20列的數(shù)是多少?答案：第24列；101.解析：周期問題，等差數(shù)列。6如圖17-10所示，將自然數(shù)有規(guī)律地填入方格表中，請問：(1)500在第幾行，第幾列?(2)第100行第2列是多少?答案：第111行，第5列；448.解析：周期問題。7如圖17-11所示，數(shù)陣中的數(shù)字是按一定規(guī)律排列的這個(gè)數(shù)陣中第60行左起第4個(gè)數(shù)字是多少?答案：9解析：第60行左起第4個(gè)數(shù)字是第476個(gè)數(shù)字。1-9 9個(gè)10-99 180個(gè)100-194 285個(gè)9+180+285=474個(gè) 所以第60行左起第4個(gè)數(shù)字是98中國古代的紀(jì)年方法叫“干支紀(jì)年”，是在“十天干”和“十二地支”的基礎(chǔ)上建立起來的天干共十個(gè)，其排列順序?yàn)椋杭住⒁?、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二個(gè)，其排列順序?yàn)椋鹤印⒊?、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，天干在前，地支在后，每對干支表示一年在干支紀(jì)年中，每六十年紀(jì)年方式循環(huán)一次公元紀(jì)年則是國際通行的紀(jì)年方式圖17-12是1911年到1926年的公元紀(jì)年與干支紀(jì)年的對照表請問：(1)中國近代史上的“辛亥革命”發(fā)生在公元1911年，是干支紀(jì)年的辛亥年，請問公元2049年是干支紀(jì)年的什么年?(2)21世紀(jì)的甲子年是公元紀(jì)年的哪一年?(3)“戊戌變法”發(fā)生在19世紀(jì)末的戊戌年，這一年是公元紀(jì)年的哪一年?答案：己巳年；2044年；1889年解析：（1）【10,12】=602049-1911=13813860=218 己巳年（2）1924+602=2044(3)余數(shù)特征9如圖17-13所示，將1至400這400個(gè)自然數(shù)填入下面的小三角形中，每個(gè)小三角形內(nèi)填有一個(gè)數(shù). “l(fā)”所處的位置為第1行；“2，3，4”所處的位置為第2行；請問：(1)第15行正中間的數(shù)是多少?(2)第12行中所有空白三角形內(nèi)的數(shù)之和是多少?(3)前8行中陰影三角形內(nèi)的各數(shù)之和比空白三角形內(nèi)的各數(shù)之和大多少?答案：211；1463；176解析：(1)規(guī)律為N(N-1)帶入(2)123+125+127+143=1463(3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3) +(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=17610如圖17-14，把從1開始的自然數(shù)按某種方式排列起來請問：(1)150在第幾行，第幾列?(2)第5行第10列的數(shù)是多少?答案：第6行第13列；86解析：（1）最右側(cè)數(shù)是行數(shù)的平方（2）第9行最左側(cè)數(shù)是81，所以81+5=8611如圖17-15，把從l開始的自然數(shù)按某種方式排列起來請問：(1)200排在第幾行，第幾列?(2)第18行第22列的數(shù)是多少?答案：第10行第11列；759。解析：（1）1+2+3+19=190200-190=10行；21-10=11列（2）18+22-1=39；第39行第一個(gè)數(shù)是780,780-21=75912如圖17-16所示，把自然數(shù)按規(guī)律排列起來如果用“土”字型陰影覆蓋出8個(gè)數(shù)并求和，且和為798這8個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是多少?(“土”字不能旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn))答案：112解析：設(shè)方程的方法，設(shè)方格中任意一個(gè)數(shù)為X，用含有X的式子表示其他的方格內(nèi)數(shù)，他們的和為798，解方程再帶入最大求值。超越篇1下面的數(shù)組是按一定順序排列的：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，請問：(1)其中第70個(gè)括號內(nèi)的數(shù)分別是多少?(2)前50個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和是多少?答案：解：（1）把（1，1）看作第一組；（1，2），（2，1）看作第二組；依次類推每一個(gè)括號內(nèi)的兩個(gè)數(shù)字之和是它所在組的序號加1.前十一組共有66括號，所以第70個(gè)括號一定屬于第十二組。 （2）第一組的和為12；第二組的和為22；以此類推前50個(gè)括號內(nèi)的各數(shù)之和為122334910511385.2. 桌子上有一堆球，如果球的總數(shù)量是10的倍數(shù)，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的總數(shù)量不是10的倍數(shù)，就添加不多于9個(gè)球，使球數(shù)變?yōu)?0的倍數(shù)，再平均分成10堆并拿走其中9堆這個(gè)過程稱為一次“操作”若球僅為一個(gè)，則不做“操作”如果最初有754321個(gè)球，那么經(jīng)過多少次“操作”后僅余下一個(gè)球?解：每操作一次，數(shù)位會減少1，當(dāng)數(shù)位減少至一位時(shí)是“2”，還可以再進(jìn)行一次操作，所以，最初的球數(shù)有多少數(shù)位就可以進(jìn)行多少次操作。192(99101)3(9991001)4(194910001)6689（次）。3在圖17-17所示的數(shù)陣中，將滿足下面條件的兩個(gè)數(shù)分為一組：它們上下相鄰，且和為391問：在所有這樣的數(shù)組中，哪一組內(nèi)的兩個(gè)數(shù)乘積最小?解：兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，它們的差越大，乘積越小。由數(shù)陣中規(guī)律可知，上下相鄰的兩個(gè)數(shù)差最大為29.由和差問題公式，較大數(shù)（和+差）2=（391+29）2=210，較小數(shù)=391210=181，所以，這一組的兩個(gè)數(shù)為181和210.4圖17-18中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，郡么第6行第23列的數(shù)字是多少?解：前22列的數(shù)字個(gè)數(shù)為1+2+22=253，從1至120的數(shù)字個(gè)數(shù)為9+290+321=252，所以，第23列的第1行是121中的“2”，那么第6行就是123中的“1”。所以，第6行第23列的數(shù)字是“1”。5將“白、旦、田、由、甲、申”這六個(gè)字按如圖17-19所示的方式排列請問：(1)第1行從左往右數(shù)的第15個(gè)字是多少?(2)第1列從上往下數(shù)的第25個(gè)字是多少?(3)第25行的第15個(gè)字是多少?解：（1）1+2+15=120，第1行從左向右的第15個(gè)字是整個(gè)圖中第120個(gè)字，文字排列周期為6，1206=20。所以第120個(gè)字是“申”。 （2）1+2+24+1=301，第1列從上往下數(shù)的第25個(gè)字是整個(gè)圖中第301個(gè)字，3016=501，所以第301個(gè)字是“白”。 （3）第25行的第15個(gè)字和第39行的第1個(gè)字都屬于第39斜行，第39行的第1個(gè)字是整個(gè)圖中第1+2+38+1=742個(gè)，7426=1234，所以，第39行的第1個(gè)字為“由”，再往后數(shù)14個(gè)即為第25行的第15個(gè)字，為“申”。6將自然數(shù)從1開始，順次排成如圖17-20所示的螺旋形，其中2，3，5，7，處為拐點(diǎn)，請問：(1)第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是多少?(2)前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是多少?解：（1）1+1+1+2+2+3+3+4+4+15+15=241，第30個(gè)拐點(diǎn)處的數(shù)是241. （2）230+129+（228+227+326+325+424+423+522+521+152+151） =60+29+552+513+474+435+153 =2630 前30個(gè)拐點(diǎn)處的各數(shù)之和是2630.7如圖17-2l，把從1開始連續(xù)的自然數(shù)按照一定的順序排成數(shù)表，如果這個(gè)數(shù)表有40行，請通過計(jì)算回答下列問題：(1)第1行的數(shù)是多少?(2)第20行中的最大數(shù)與最小數(shù)之和是多少?(3)第35行中的最大數(shù)與最小數(shù)之和是多少?解：（1）行數(shù)除以3余1時(shí)，整個(gè)圖形可以看成是1和一堆由數(shù)字組成的三角形（一個(gè)比一個(gè)大）組成的。除了1以外，有13個(gè)三角形，最小的是由2，3，4，5，6，7，8，9，10組成的，總共9個(gè)數(shù)字第2個(gè)三角形有18個(gè)數(shù)字，一個(gè)比一個(gè)多9個(gè)數(shù)字，最大的三角形117個(gè)數(shù)字。最大的三角形頂點(diǎn)在第1行，底在40行。 117個(gè)數(shù)字第2大的三角形頂點(diǎn)在第3行，底在39行。 108個(gè)數(shù)字第6大的三角形頂點(diǎn)在第11行，底在35行。 72個(gè)數(shù)字第10大的三角形頂點(diǎn)在第19行，底在31行。 36個(gè)數(shù)字最小的三角形頂點(diǎn)在第25行，底在28行。 9個(gè)數(shù)字容易得出，第1行的數(shù)是1+（9+18+27+117）-39=781.（2）第20行最小的數(shù)字在第10大的三角形中。從最小的三角形到第11大的三角形，一共3個(gè)三角形，再加上1，一共是1+9+18+27=55個(gè)數(shù)字，因?yàn)榈?0大的三角形有36個(gè)數(shù)字，所以第20行最小的數(shù)字是55+12+12-1=78，最大800，最大數(shù)與最小數(shù)之和為878.（3）每個(gè)三角形里的最小數(shù)字都是那個(gè)三角形的底從左數(shù)第2個(gè)數(shù)字，從最小的三角形到第7大的三角形，一共7個(gè)三角形，再加上1，一共是1+9+18+27+36+45+54+63=253個(gè)數(shù)字，所以第6大的三角形從254開始，也就是第35行最小的數(shù)字是254，最大815，所