第一節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布

1,第二章,本章用定量的方法，從整體上來研究隨機(jī)現(xiàn)象。,隨機(jī)變量及其分布,2,1隨機(jī)變量及其概率分布,在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.,1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)(本身就是一個(gè)數(shù)).,例如，擲一顆色子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；,八月份杭州的最高溫度；,每天從杭州下火車的人數(shù)；,昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；,一、隨機(jī)變量的概念和例,3,2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.,例1拋一枚硬幣，觀察正反面的出現(xiàn)情況.,我們引入記號(hào)：,顯然，該試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：,X就是一個(gè)隨機(jī)變量。,4,定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是，若對(duì)于每一個(gè)e,有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng),即X=X()是定義在上的單值實(shí)函數(shù)，稱它為隨機(jī)變量(randomvariable,簡(jiǎn)記為r.v.)。,X(),R,這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？,.,5,（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.,（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.,隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母等表示.,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn).,6,隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究，并可以用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛深入的研究和討論。,分類：實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量有,7,如果隨機(jī)變量X只取有限或可列無窮多個(gè)值，,二、離散型隨機(jī)變量的概率分布,則稱X為離散型隨機(jī)變量.,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，關(guān)鍵是要確定：,1）所有可能的取值是什么？,2）取每個(gè)可能值的概率是多少？,稱之為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。,8,或?qū)懗扇缦碌谋砀裥问剑?9,袋中有2只藍(lán)球3只紅球，非還原抽取3只，記X為抽得的藍(lán)球數(shù)，求X的分布律。,X可能取的值是0,1,2，,例1,解,所以X的分布律為,或表示為,10,設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過三組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以0.5的概率允許或禁止汽車通過。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù)(設(shè)各盞信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的)，求X的概率分布.,依題意,X可取值0,1,2,3.,設(shè)Ai=第i個(gè)路口遇紅燈,i=1,2,3,例2,解,11,12,不難看出,所以X的分布列為,13,在下列情形下，求其中的未知常數(shù)a，已知隨機(jī)變量的概率分布為：,例3,解,(1)由規(guī)范性,(2),14,三、隨機(jī)變量的分布函數(shù),為了對(duì)各類隨機(jī)變量作統(tǒng)一研究，下面給出既適合于離散型隨機(jī)變量又適合于連續(xù)型隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的分布函數(shù)。,定義設(shè)X為隨機(jī)變量，稱實(shí)函數(shù),為X的分布函數(shù)。,a,x,b,15,分布函數(shù)的基本性質(zhì)：,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，分布律為,則,16,例4,解,設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:,求X的分布函數(shù)F(x).,17,故,下面我們從圖形上來看一下.,18,分布函數(shù)的圖形,一般，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)呈階梯形.,19,四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。,由定義，根據(jù)高等數(shù)學(xué)變限積分的知識(shí)知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。,20,概率密度函數(shù)f(x)的基本性質(zhì)：,這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量的概率密度的充要條件.,21,概率密度函數(shù)f(x)的其它性質(zhì)：,22,(1)連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個(gè)指定值的概率為0.,即,對(duì)于任意常數(shù)c,有,(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量,則,說明：,而X=c并非不可能事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.,可見，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出,23,例5,解,已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,確定系數(shù)A，并求X的概率分布函數(shù)F(x).,24,25,例6三個(gè)同一種電氣元件串聯(lián)在一個(gè)電路中，元件的壽命是隨機(jī)變量(小時(shí))，假設(shè)其概率密度為,且三個(gè)元件的工作狀態(tài)相互獨(dú)立試求，,(1)該電路在使用了150小時(shí)后，三個(gè)元件仍都能正常工作的概率；(2)該電路在使用了300小時(shí)后，至少有一個(gè)元件損壞的概率,26,解,(1)該電路在使用了150小時(shí)后