第五節(jié)-對(duì)坐標(biāo)的曲面積分.ppt

第11.5節(jié),一、有向曲面及曲面元素的投影,二、第二型（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分的概念與性質(zhì),三、第二型（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分的計(jì)算法,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,第二型（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分類,雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),曲面分左側(cè)和右側(cè),(單側(cè)曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0為前側(cè)0為右側(cè)0為上側(cè)0為下側(cè),外側(cè)內(nèi)側(cè),設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定,指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、第二型（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分的概念與性質(zhì),1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為,求單位時(shí)間流過有向曲面的流量.,分析:若是面積為S的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,對(duì)一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”,對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的,速度場(chǎng),進(jìn)行分析可得,則,設(shè)為光滑的有向曲面,在上定義了一個(gè),意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作,P,Q,R叫做被積函數(shù);,叫做積分曲面.,或第二型曲面積分.,下列極限都存在,向量場(chǎng),若對(duì)的任,2.定義.,引例中,流過有向曲面的流體的流量為,稱為Q在有向曲面上對(duì)z,x的曲面積分;,稱為R在有向曲面上對(duì)x,y的曲面積分.,稱為P在有向曲面上對(duì)y,z的曲面積分;,若記正側(cè)的單位法向量為,令,則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式,3.性質(zhì),(1)若,之間無公共內(nèi)點(diǎn),則,(2)用表示的反向曲面,則,三、第二型（對(duì)坐標(biāo)的）曲面積分的計(jì)算法,定理:設(shè)光滑曲面,取上側(cè),是上的連續(xù)函數(shù),則,證:,取上側(cè),若,則有,若,則有,(前正后負(fù)),(右正左負(fù)),說明:,如果積分曲面取下側(cè),則,例1.計(jì)算,其中是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為a的正立方,體的整個(gè)表面的外側(cè).,解:,利用對(duì)稱性.,原式,的頂部,取上側(cè),的底部,取下側(cè),解:把分為上下兩部分,思考:下述解法是否正確:,例2.計(jì)算曲面積分,其中為球面,外側(cè)在第一和第五卦限部分.,例3.設(shè)S是球面,的外側(cè),計(jì)算,解:,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,令,向量形式,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,例4.設(shè),是其外法線與z軸正向,夾成的銳角,計(jì)算,解:,例5.計(jì)算曲面積分,其中,解