相速度與群速度

6-4 光的相速度和群速度折射率是光在真空中和介質(zhì)中傳播速度的比值，即，通?？梢酝ㄟ^(guò)測(cè)定光線方向的改變并應(yīng)用折射定律來(lái)求它，但原則上也可分別實(shí)測(cè)和來(lái)求它們的比值，用近代實(shí)驗(yàn)室方法，不難以任何介質(zhì)中的光速進(jìn)行精確的測(cè)定，例如水的折射率為1.33，用這兩種方法測(cè)得的結(jié)果是符合的，但對(duì)二硫化碳，用光線方向的改變的折射法測(cè)得的折射率為1.64，而1885年邁克耳孫用實(shí)測(cè)光速求得的比值則為1.75，其間差別很大，這絕不是由實(shí)驗(yàn)誤差所造成的，瑞利找到了這種差別的原因，他對(duì)光速概念的復(fù)雜性進(jìn)行了說(shuō)明，從而引出了相速度和群速度的概念。按照波動(dòng)理論，這種通常的光速測(cè)定法相當(dāng)于測(cè)定由下列方程所決定的波速的數(shù)值： 不難看出，這里所代表的是單色平面波的一定的位相向前移動(dòng)的速度，因?yàn)槲幌嗖蛔兊臈l件為 由此得到 或 (6-1)所以這個(gè)速度稱為位相速度（簡(jiǎn)稱相速），這速度的量值可用波長(zhǎng)和頻率來(lái)計(jì)算。波的表達(dá)式部是t 和r的函數(shù),可以寫(xiě)成下列形式： 式中 和都是不隨 t 和 r 而改變的量，故位相不變的條件為=常量由此得 或 (6-2)（6-2）式表示的位相速度乃是嚴(yán)格的單色波地(有單一的確定值)所特有的一種速度，單色波以t和r的余弦函數(shù)表達(dá),為常量，這種嚴(yán)格的單色波的空間延續(xù)和時(shí)間延續(xù)都是無(wú)窮無(wú)盡的余弦（或正弦）波，但是這種波僅是理想的極限情況，實(shí)際所到的永遠(yuǎn)是形式不同的脈動(dòng)，這種脈動(dòng)僅在空間某一有限范圍內(nèi)、在一定的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生，在時(shí)間和空間上都是有起點(diǎn)和終點(diǎn)的，任何形式的脈動(dòng)都可看成是由無(wú)限多個(gè)不同頻率、不同振幅的單色正弦波或余弦波疊加而成的，即可將任何脈動(dòng)寫(xiě)成傅里葉級(jí)數(shù)或傅里葉積分的形式，在無(wú)色散介質(zhì)中所有這些組成脈動(dòng)的單色平面波都以同一相速度傳播，那么該脈動(dòng)在傳播過(guò)程中將永遠(yuǎn)保持形狀不變，整個(gè)脈動(dòng)也永遠(yuǎn)以這一速度向前傳播，但是除真空以外，任何介質(zhì)通常都具有色散的特征，就是說(shuō)，各個(gè)單色平面波各以不同的相速傳播，其大小隨頻率而變，所以由它們疊加而成的脈動(dòng)在傳播過(guò)程中將不斷改變其形狀，在這種情況下，關(guān)于脈動(dòng)的傳播速度問(wèn)題就變得比較復(fù)雜了，觀察種脈動(dòng)時(shí)，可以先認(rèn)定它上面的某一特殊點(diǎn)，例如振幅最在大的一點(diǎn)，而把這一點(diǎn)在空間的傳播速度看作是代表整個(gè)脈動(dòng)的傳播速度，但是由于脈動(dòng)形狀的改變，所選定的這一特殊點(diǎn)在脈動(dòng)范圍內(nèi)也將不斷改變其位置，因而該點(diǎn)的傳播速度和任何一個(gè)作為組成部分的單針平面波的相速都將有所不同，按照瑞利的說(shuō)法，這脈動(dòng)稱為波群，因而脈動(dòng)的傳播速度稱為群速度，簡(jiǎn)稱群速，現(xiàn)在僅就一個(gè)簡(jiǎn)化的例子來(lái)討論兩種速度的關(guān)系。假設(shè)脈動(dòng)由兩個(gè)頻率相近且振幅相等的單色簡(jiǎn)諧波疊加而成，在這簡(jiǎn)化的例子中，現(xiàn)象的主要特征仍然保留無(wú)遺，這兩個(gè)單色余弦波可用下列兩式表示 這時(shí)假設(shè)兩個(gè)單色波的頻率和波長(zhǎng)彼此相差很小，可以認(rèn)為 脈動(dòng)為 和 之和，即引入符號(hào) 使該脈動(dòng)的形式仍舊寫(xiě)為 應(yīng)當(dāng)注意現(xiàn)在 不是常數(shù)，而是隨時(shí)間和空間在改變，但改變得很緩慢，因?yàn)?和 比起和 k來(lái)都是很小的量（這和頻率相近的兩個(gè)振動(dòng)疊加時(shí)形成的拍相類似），因此，如果不用嚴(yán)格的措詞，則可認(rèn)為該脈動(dòng)是一個(gè)振幅變化緩慢的簡(jiǎn)諧波，(圖68)圖6-8（）表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧波（一個(gè)用實(shí)踐，一個(gè)用虛線表示）的疊加，圖6-8（）中虛線表示合振動(dòng)緩慢的變化，形成一個(gè)脈動(dòng)。設(shè)在該脈動(dòng)上選定一個(gè)具體有一定數(shù)值的點(diǎn)（例如最大值），而計(jì)算這一點(diǎn)向前移動(dòng)的速度，這個(gè)速度就代表脈動(dòng)的傳播速度（群速），它既是波的一定振幅向前推進(jìn)的速度，因而也就是在一定的條件下運(yùn)動(dòng)著的脈動(dòng)所具有的能量的傳播速度。(圖69)圖6-9表示（6-3）式的這兩個(gè)余弦波，波長(zhǎng)分別為 和，分別以速度 和 沿同一方向傳播，并假設(shè)，在某瞬時(shí)，空間某一點(diǎn)A處兩波的波峰和 重合，因而這時(shí)里出現(xiàn)一個(gè)最大值的振幅，經(jīng)過(guò)了時(shí)間t后，波長(zhǎng)為的波超前了一段路程，在空間另一點(diǎn)B處兩波的波峰和重合，在這一段時(shí)間里最大值振幅已從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，也就是說(shuō)AB這一段距離和時(shí)間 t 的比值給出群速度 u ，從圖中可直接看出 或?qū)τ谌我粋€(gè)波從圖中還可以看出豎直雙線處 從上兩式中消去t，即得 這個(gè)關(guān)系式稱為瑞利公式，從已知的相速度和 的值就可算出群速度 u 的值。事實(shí)上，在脈動(dòng)中不選定最大值而選定任一個(gè)指定的合振幅 也可同樣算得相同的群速度，按（6-4）式,不變的條件為 注意和是不隨t 和r 而變的，故在不同時(shí)刻和不同地點(diǎn) A 保持不變的條件為 而這里的 是指群速度，于是u由此可見(jiàn)，單色波的特征在于用相速 表示一定位相的推進(jìn)速度，而任何脈動(dòng)的一般特征在于用群速 u 表示一定振幅的推進(jìn)速度。對(duì)于任何脈動(dòng)，u 和v 之間的一般關(guān)系式也不難找到，（6-2）式表示任何一個(gè)嚴(yán)格單色波的相速度 v 與及 k之間的關(guān)系，在考慮群速度 u 時(shí)，必須注意各個(gè)成分波（嚴(yán)格單色波）的相速度是隨波長(zhǎng)而變的，即 v 是 k 的函數(shù)，按（6-2）式， 或 ，于是 又因 故 于是 最后得任何脈動(dòng)的一般瑞利公式 (6-7)上式給出群速u 和相速 v之間的關(guān)系，由此可以看出，群速與相速大小的差值與和 有關(guān)， 表示相速隨波長(zhǎng)的變化率，由于折射率的定義為 ，是相速之比，并隨入射波長(zhǎng)不同而不同，所以 和 有密切關(guān)系，只有在有色散介質(zhì)中，才必須區(qū)分群速和相速，真空中二者是沒(méi)有區(qū)別的。如果知道了 的函數(shù)，還可用作圖法來(lái)求出群速度，（圖610）圖6-10所示的曲線表示某一假定的這種函數(shù)，曲線上一步P的橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為 v ，P點(diǎn)的切線 的斜率為 ，從圖直接可以看出 欲求相當(dāng)于某波長(zhǎng)附近的群速度，只要在圖中曲線上該點(diǎn)作切線和 v 軸相交于一點(diǎn)R， 的長(zhǎng)度即等于所求的群速度。瑞利指出，在測(cè)定光速的各種實(shí)驗(yàn)方法中，就實(shí)質(zhì)來(lái)看，所用的都不是一列延綿不斷的波，而是把波分割成許多小脈動(dòng)，在測(cè)定光速的羅默法中，光的分割是由周期蝕造成的；在遮斷法中是由齒輪或其它遮斷器造成的；在旋轉(zhuǎn)鏡法中，當(dāng)鏡子的轉(zhuǎn)動(dòng)角度足夠大時(shí)，光就達(dá)不到觀察者，在所有這些情況下，實(shí)際在色散物質(zhì)中測(cè)量到的都是群速而不是相速，光只有在真空中才沒(méi)有色散，即 ，因而其群速和相速相等。邁克耳孫在水和二硫化碳的實(shí)驗(yàn)中所測(cè)量到的是群速的比值，不是相速的比值，但在他的測(cè)定范圍內(nèi)水的 非