2016年陜西省高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 21 頁） 2016 年陜西省高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 0， B=x|2x 1 ，則 AB=（ ） A（ ， 2） （ 1， +） B（ ， 2） 1， +） C 2， 1）D（ 2， +） 2定義： =復(fù)數(shù) z 滿 足 = 1 i，則 z 等于（ ） A 1+i B 1 i C i D 3 i 3等差數(shù)列 ， a4+ 2，則 a6+值為（ ） A 4 B 8 C 4 D 8 4在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 a，再在剩余的三個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 b，則 “ 不是整數(shù) ”的概率為（ ） A B C D 5設(shè)命題 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ；命題 q：關(guān)于 x 的函數(shù) y=（ m 1）a 0 且 a 1）是對數(shù)函數(shù)，則命題 p 成立是命題 q 成立的（ ） A充分不必要條件 B必要不重充分條件 C充要條件 D既不充分也不不要條件 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 S 等于 ，則輸入的 N 為（ ） A 8 B 9 C 10 D 7 7已知拋物線 p 0）的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l， A， B 是拋物線上過 F 的兩個端點(diǎn)，設(shè)線段 中點(diǎn) M 在 l 上的攝影為 N，則 的值是（ ） A B 1 C D 2 8在 ， =5， =3， D 是 中垂線上任意一點(diǎn)，則 的值是（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 第 2 頁（共 21 頁） 9已知 別是雙曲線 =1（ a 0）的左、右焦點(diǎn)， P 為雙曲線上的一點(diǎn)，若 0，則 面積是（ ） A B 4 C 2 D 10已知正四面體的棱長 ，則其外接球的表面積為（ ） A 8 B 12 C D 3 11已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） 且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A 1， 4 B（ ， 0 C（ ， 4 D（ ， 0 1， 4 12把曲線 C： y= x） x+ ）上所有點(diǎn)向右平移 a（ a 0）個單位，得到曲線 C，且曲線 C關(guān)于點(diǎn)（ 0， 0）中心對稱，當(dāng) x ， （ b 為正整數(shù)）時，過曲線 C上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒小于零，則 b 的值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 2 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13（ x ） n 的展開式中只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則它的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 _ 14某師傅用鐵皮制作一封閉的工件，其直觀圖的三視圖如圖示（單位長度： 中水平線與豎線垂直），則制作該工件用去的鐵皮的面積為 _制作過程鐵皮的損耗和厚度忽略不計(jì)） 15若實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 的最大 值是 _ 16已知數(shù)列 ， ，若 =2n+1（ n N*），則數(shù)列 通項(xiàng)公式 _ 第 3 頁（共 21 頁） 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知 ，函數(shù) 的圖象過點(diǎn) （ 1）求 t 的值以及函數(shù) f（ x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （ 2）在 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c若 ，求 f（ A）的取值范圍 18如圖，四棱錐 P ，側(cè)面 正三角形，底面 邊長為 2 的菱形， 20，且側(cè)面 底面垂直， M 為 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值 19 指大氣中直徑小于或等于 米的顆粒物，也稱 為可入肺顆粒物我國 均值在 35 微克 /立方米以下空氣質(zhì)量為 1 級；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在 75 微克 /立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo) 某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市區(qū) 2015 年全年每天的 測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 6 天的數(shù)據(jù)最為樣本，檢測值莖葉圖如圖（十位為莖，個位為葉），若從這 6 天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出 3 天 （ ）求至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率； （ ）若用隨機(jī)變量 X 表示抽出的 3 天中空氣質(zhì)量為一級或二級的天數(shù)，求 X 的分布和數(shù)學(xué)期望 第 4 頁（共 21 頁） 20過橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn) 直線交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)， 其左焦點(diǎn)，已知 周長為 4 ，橢圓的離心率為 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）設(shè) P 為橢圓 C 的下頂點(diǎn)，橢圓 C 與直線 y=kx+m 相交于不同的兩點(diǎn) M， N，當(dāng) |，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =3x+2） ）求 f（ x）的極值； （ ）若對任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 選修 4何證明選講 22如圖，在 ， C=90， 分 點(diǎn) E，點(diǎn) D 在 ， （ 1）證明：直線 外接圓相切； （ 2）求 長 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知曲線 參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程是 = 4 （ 1）求曲線 點(diǎn)的直角坐標(biāo)； （ 2） A、 B 兩點(diǎn)分別在曲線 ，當(dāng) |大時，求 面積 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x|， g（ x） = |x 4|+m （ ）解關(guān)于 x 的不等式 gf（ x） +2 m 0； （ ）若函數(shù) f（ x）的圖象恒在函數(shù) g（ x）圖象的上方，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年陜西省高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知全集 U=R，集合 A=x| 2 x 0， B=x|2x 1 ，則 AB=（ ） A（ ， 2） （ 1， +） B（ ， 2） 1， +） C 2， 1）D（ 2， +） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 B 中不等式的解集確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 B 中不等式變形得： 2x 1 =2 2，得到 x 1 2， 解得： x 1，即 B=（ ， 1）， A= 2， 0）， AB= 2， 1）， 故選： C 2定義： =復(fù)數(shù) z 滿足 = 1 i，則 z 等于（ ） A 1+i B 1 i C i D 3 i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 利用新定義直接化簡 = 1 i，則 ，求出復(fù)數(shù) z，它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)行化簡可得答案 【解答】 解：根據(jù)定義 = i= 1 i， 則 ， 故選： C 3等差數(shù)列 ， a4+ 2，則 a6+值為（ ） A 4 B 8 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由等差數(shù)列性質(zhì)得 a4+ 2，解得 1，由此能求出結(jié)果 【解答】 解： 等差數(shù)列 ， a4+ 2， a4+ 2，解得 1， a6+=4 故選： A 第 6 頁（共 21 頁） 4 在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 a，再在剩余的三個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 b，則 “ 不是整數(shù) ”的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出 “ 不是整數(shù) ”包含的基本事件個數(shù)，由此能求出 “ 不是整數(shù) ”的概率 【解答】 解： 在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 a， 再在剩余的三個數(shù)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)記為 b， 基本事件總數(shù) n=4 3=12， “ 不是整數(shù) ”包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 8 個， “ 不是整數(shù) ”的概率 p= = 故選： C 5設(shè)命題 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ；命題 q：關(guān)于 x 的函數(shù) y=（ m 1）a 0 且 a 1）是對數(shù)函數(shù)，則命題 p 成立是命題 q 成立的（ ） A充分不必要條件 B必要不重充分條件 C充要條件 D既不充分也不不要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 命題 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ，利用向量共線定理即可得出 題 q：關(guān)于 x 的函數(shù) y=（ m 1） a 0 且 a 1）是對數(shù)函數(shù)，可得 m 1=1，x 0，解得 m即可判斷出結(jié)論 【 解答】 解： 命題 p： =（ m， m+1）， =（ 2， m+1），且 ， 2（ m+1） m（ m+1）=0，和化為（ m+1）（ m 2） =0，解得 m= 1 或 2； 命題 q：關(guān)于 x 的函數(shù) y=（ m 1） a 0 且 a 1）是對數(shù)函數(shù)， m 1=1， x 0，解得 m=2 則命題 p 成立是命題 q 成立的必 要不充分條件 故選： B 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 S 等于 ，則輸入的 N 為（ ） 第 7 頁（共 21 頁） A 8 B 9 C 10 D 7 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，可得當(dāng) k=8 時， S= + + + = ，由題意，此時應(yīng)該不滿足條件 k N，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 ，從而可得輸入的 N 為為 8 【解答】 解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得 k=1， S=0 S= ， 滿足條件 k N， k=2， S= + ， 滿足條件 k N， k=3， S= + + ， 滿足條件 k N， k=8， S= + + + =（ 1 ） +（ ） +（ ）=1 = ， 由題意，此時應(yīng)該不滿足條件 k N，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 ，故輸入的 N 為為 8 故選： A 7已知拋物線 p 0）的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l， A， B 是拋物線上過 F 的兩個端點(diǎn)，設(shè)線段 中點(diǎn) M 在 l 上的攝影為 N，則 的值是（ ） A B 1 C D 2 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)拋物線的性質(zhì)和梯形的中位線定理可得出 | （ | = | 【解答】 解：過 A 作 l 于 P，過 B 作 l 于 Q， 則 | | M 為 中點(diǎn)， | （ | = （ | = | = 故選： A 第 8 頁（共 21 頁） 8在 ， =5， =3， D 是 中垂線上任意一點(diǎn)，則 的值是（ ） A 16 B 8 C 4 D 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 設(shè) 點(diǎn)為 M，利用 表 示出 ， ，代入數(shù)量積公式計(jì)算 【解答】 解：設(shè) 點(diǎn)為 M，則 =（ ） = = （ ） （ ） = （ ） = （ 25 9） =8 故選： B 9已知 別是雙曲線 =1（ a 0）的左、右焦點(diǎn)， P 為雙曲線上的一點(diǎn)，若 0，則 面積是（ ） A B 4 C 2 D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 第 9 頁（共 21 頁） 【分析】 由題意可得 ， 0）， ， 0），由余弦定理可得 6，由 S= 即可求得 面積 【解答】 解：由題意可得 ， 0）， ， 0）， 在 ，由余弦定理可得 6+42=（ 2+ 即有 6 可得 S = 16 =4 故選： B 10已知正四面體的棱長 ，則其外接球的表面積為（ ） A 8 B 12 C D 3 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 將正四面體補(bǔ)成一個正方體，正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長，即可得出結(jié)論 【解答 】 解：將正四面體補(bǔ)成一個正方體，則正方體的棱長為 1，正方體的對角線長為 ， 正四面體的外接球的直徑為正方體的對角線長， 正四面體的外接球的半徑為 外接球的表面積的值為 4 =3 故選： D 11已知函數(shù) f（ x） = ，若函數(shù) g（ x） =f（ x） 且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A 1， 4 B（ ， 0 C（ ， 4 D（ ， 0 1， 4 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 若函數(shù) g（ x） =f（ x） 且只有一個零點(diǎn)，則函數(shù) f（ x）與函數(shù) y=圖象只有一個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案 【解答】 解：若函數(shù) g（ x） =f（ x） 且只有一個零點(diǎn)， 則函數(shù) f（ x）與函數(shù) y=圖象只有一個交點(diǎn)， 在同在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象如下圖所示： 第 10 頁（共 21 頁） f（ x） = ， 故當(dāng) m （ ， 0 1， 4時，兩個函數(shù)圖象有且只有一個交點(diǎn)， 即函數(shù) g（ x） =f（ x） 且只有一個零點(diǎn)， 故選： D 12把曲線 C： y= x） x+ ）上所有點(diǎn)向右平移 a（ a 0）個單位，得到曲線 C，且曲線 C關(guān)于點(diǎn)（ 0， 0）中心對稱，當(dāng) x ， （ b 為正整數(shù)）時，過曲線 C上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒小于零，則 b 的值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 2 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 運(yùn)用二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式，可得 y= 由平移和中心對稱可得 y= 得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由有余弦函數(shù)的圖象可得減區(qū)間，再由 b 為整數(shù)，即可得到b=1 或 2 【解答】 解： y= x） x+ ） =x+ ） x+ ） = 2x+ ） = 由題意可得曲線 C： y= 2x 2a）， 曲線 C關(guān)于點(diǎn)（ 0， 0）中心對稱，可得 2a=， k N， 即有 y= 由 y= 導(dǎo)數(shù)為 y= 第 11 頁（共 21 頁） 由 0，可得 2x 2， 2 當(dāng) x ， （ b 為正整數(shù)）， 過曲線 C上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒小于零， 即有 y 0 恒成立，可得 ， ， ， 即有 b=1 或 2； 由 y= 導(dǎo)數(shù)為 y= 由 0，可得 2x 2， 2 當(dāng) x ， （ b 為正整數(shù)）， 過曲線 C上任意兩點(diǎn)的直線的斜率恒小于零， 即有 y 0 恒成立， 則 ， 2， 2不恒成立 綜上可得 b=1 或 2 故選： D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13（ x ） n 的展開式中只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則它的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 1120 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由題意求得 n=8，在二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式中，再令 x 的冪指數(shù)等于 0，求得 可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值 【解答】 解：（ x ） n 的展開式中只有第 5 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故 n 為偶數(shù)， 展開式共有 9 項(xiàng)，故 n=8 （ x ） n 即（ x ） 8，它的展開式的通項(xiàng)公式為 = = （ 2）r2r， 令 8 2r=0，求得 r=4，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 （ 2） 4=1120 故答案為： 1120 14某師傅用鐵皮制作一封閉的工件，其直觀圖的三視圖如圖示（單位長度： 中水平線與豎線垂直），則制作該工件用去的鐵皮的面積為 制作過程鐵皮的損耗和厚度忽略不計(jì)） 第 12 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 本題以實(shí)際應(yīng)用題為背景考查立體幾何中的三視圖由三視圖可知，該幾何體的形狀如圖，它是底面為正方形， 各個側(cè)面均為直角三角形 的四棱錐，用去的鐵皮的面積即該棱錐的表面積 【解答】 解：由三視圖可知，該幾何體的形狀如圖，它是底面為正方形，各個側(cè)面均為直角三角形的四棱錐，用去的鐵皮的面積即該棱錐的表面積，其底面邊長為 10，故底面面積為10 10=100 與底面垂直的兩個側(cè)面是全等的直角，兩直角連年長度分別為 10， 20，故它們的 面積皆為100 另兩個側(cè)面也是全等的直角三角形，兩直角邊中一邊是底面正方形的邊長 10，另一邊可在與底面垂直的直角三角形中求得，其長為 =10 ，故此兩側(cè)面的面積皆為 50故此四棱錐的表面積為 故答案為： 15若實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 的最大值是 2 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合 的幾何意義求出其最大值即可 【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： 第 13 頁（共 21 頁） ， 由 ，解得 A（ 1， 2）， 而 的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn) 0 的斜率， 顯然 斜率最大， 故 的最大值是 2， 故答案為： 2 16已知數(shù)列 ， ，若 =2n+1（ n N*），則數(shù)列 通項(xiàng)公式 an=n2n 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 =2n+1（ n 1），變形為 =1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 【解答】 解： =2n+1（ n 1）， =1， 數(shù)列 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 1，公差為 1 =1+（ n 1） =n， an=n2n 故答案為： n2n 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 第 14 頁（共 21 頁） 17已知 ，函數(shù) 的圖象過點(diǎn) （ 1）求 t 的值以及函數(shù) f（ x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （ 2）在 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c若 ，求 f（ A）的取值范圍 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ 1）由向量和三角函數(shù)公式可得 f（ x） =2x ），由周期公式可得周期，解可得單調(diào)增區(qū)間； （ 2）由題意和正弦定理以及三角函數(shù)公式可得 ，進(jìn)而可得 A 的范圍，由三角函數(shù)值域可得 【解答】 解：（ 1）由題意可得， 點(diǎn) 在函數(shù) f（ x）的圖象上， ， 解得 ， f（ x） =2x ）， ， 解 可得 x ， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間 為 ； （ 2） ， 由正弦定理可得 B+C） =2 A （ 0， ）， 0， B （ 0， ）， ， ， ， ， ， f（ A）的取值范圍是 第 15 頁（共 21 頁） 18如圖，四棱錐 P ，側(cè)面 正三角形，底面 邊長為 2 的菱形， 20，且側(cè)面 底面垂直， M 為 中點(diǎn) （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 D B 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明 （ 2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可 【解答】 證明（ 1）由底面 邊長為 2 的菱形， 20，且側(cè)面 底面垂直， ， ，則 建立以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 別為 x， y， z 軸的空間直角坐標(biāo)系如圖： 則 A（ 3， 0， 0）， P（ 0， 0， 3）， D（ 0， ， 0）， B（ 3， 2 ， 0）， C（ 0， ， 0）， M 為 中點(diǎn) M（ ， ， ）， =（ ， 2 ， ）， =（ 3， 0， 3）， =（ 0， 2 ， 0）， 則 = 3+2 0 3=0， =0， 則 M=D， 平面 （ 2） =（ ， 0， ）， =（ 3， ， 0）， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則由 =0， =0，得 ， 令 x=1，則 y= ， z= 1，則 =（ 1， ， 1）， 同理可得平 面 法向量為 = =（ 3， 0， 3）， 則 ， = = = ， 即二面角 D B 的余弦值是 第 16 頁（共 21 頁） 19 指大氣中直徑小于或等于 米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物我國 均值在 35 微克 /立方米以下空氣質(zhì)量為 1 級；在 35 微克 /立方米 75 微克 /立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在 75 微克 /立方米及其以上空氣質(zhì)量為超標(biāo) 某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市區(qū) 2015 年全年每天的 測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取 6 天的數(shù)據(jù)最為樣本，檢測值莖葉圖如圖（十位為莖，個位為葉），若 從這 6 天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出 3 天 （ ）求至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率； （ ）若用隨機(jī)變量 X 表示抽出的 3 天中空氣質(zhì)量為一級或二級的天數(shù)，求 X 的分布和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)的對立事件是 3 天空氣質(zhì)量都超標(biāo)，由此利用對立事件概率計(jì)算公式能求出至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率 （ ）由題意知 X 的可能取值為 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率 ，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）設(shè) “至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo) ”為事件 A， “3 天空氣質(zhì)量都超標(biāo) ”為事件 B， 則 P（ B） =0， 至多有 2 天空氣質(zhì)量超標(biāo)的概率 P（ A） =1 P（ B） =1 （ ）由題意知 X 的可能取值為 1， 2， 3， P（ X=1） = = ， 第 17 頁（共 21 頁） P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列為： X 1 2 3 P =2 20過橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn) 直線交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)， 其左焦點(diǎn)，已知 周長為 4 ，橢圓的離心率為 （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）設(shè) P 為橢圓 C 的下頂點(diǎn)，橢圓 C 與直線 y=kx+m 相交于不同的兩點(diǎn) M， N，當(dāng) |，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）利用 周長為 4 ，橢圓的離心率為 ，確定幾何量，從而可得橢圓的方程； （ 2）設(shè) A 為弦 中點(diǎn)，直線與橢圓方程聯(lián)立得（ 3） （ 1） =0，由于直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，可得 3， |可得 此可推導(dǎo)出m 的取值范圍 【解答】 解：（ 1） 周長為 4 ，橢圓的離心率為 ， a= ， c= b=1， 橢圓的方程為： =1； （ 2）設(shè) A（ M（ N（ A 為弦 中點(diǎn)， 直線 y=kx+m 與橢圓方程聯(lián)立，消去 y 可得（ 3） （ 1） =0， 直線與橢圓相交， =（ 62 12（ 3）（ 1） 0， 3， 由韋達(dá)定理， 可得 A（ ， ） | 第 18 頁（共 21 頁） 2m=3 把 代入 得 2m 得 0 m 2 2m=3 1， m m 2 當(dāng) k=0 時， m= ，也成立 綜上可得 m 的范圍是 ， 2） 21已知函數(shù) f（ x） =3x+2） ）求 f（ x）的極值； （ ）若對任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可； （ ）問題轉(zhuǎn)化為 a a 成立 ，設(shè) h（ x） =ln= g（ x） =根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍即可 【解答】 解：（ ） 函數(shù)的定義域是（ ， +）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x ，令 f（ x） 0，解得： x ， f（ x）在（ ， ）遞增，在（ ， +）遞減， f（ x） 極大值 =f（ ） =； （ ）對任意 x 1， 2，不等式 |a ln|f（ x） +3x| 0 恒成立， a a 成立 ， 設(shè) h（ x） = g（ x） = 由題意得： a h（ x）或 a g（ x）在 x 1， 2恒成立， a h（ x） a g（ x） h（ x） = 0， g（ x） = 0， 第 19 頁（共 21 頁） h（ x）， g（ x）在 1， 2遞增，要使不等式 恒成立， 當(dāng)且僅當(dāng) a h（ 2）或 a g（ 1）， 即 a a 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 選修 4何證明選講 22如圖，在 ， C=90， 分 點(diǎn) E，點(diǎn) D 在 ， （ 1）證明：直線 外接圓相切； （ 2）求 長 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明 【分析】 （ 1）取 中點(diǎn)為 O，連接 角平分線的定義和兩直線平行的判定和性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的定義，即可得證； （ 2）設(shè) 外接圓的半徑為 r，運(yùn)用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性質(zhì)，即可得到所求 長 【解