2016年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 一、選擇題 (本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ) 1設(shè) i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A 3i B 3i C 3 D 3 2記集合 A=x|x a 0， B=y|y=x R，若 0 AB，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C 0， +） D（ 0， +） 3某空間幾何體的三視圖中，有一個(gè)是正方形， 則該空間幾何體不可能是（ ） A圓柱 B圓錐 C棱錐 D棱柱 4二項(xiàng)式（ x 2） 5 展開式中 x 的系數(shù)為（ ） A 5 B 16 C 80 D 80 5已知數(shù)列的前 4 項(xiàng)為 2， 0， 2， 0，則依次歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 6考生甲填報(bào)某高校專業(yè)意向，打算從 5 個(gè)專業(yè)中挑選 3 個(gè)，分別作為 第一、第二、第三志愿，則不同的填法有（ ） A 10 種 B 60 種 C 125 種 D 243 種 7某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表 使用智能手機(jī) 不使用智能手機(jī) 合計(jì) 學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 4 8 12 學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 16 2 18 合計(jì) 20 10 30 附表： p（ 計(jì)算 0，則下列選項(xiàng)正確的是：（ ） A有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 B有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 C有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 D有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 8函數(shù) y= x）， x 2， 2的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A ， B 2， C ， 2 D 2， 和 ， 2 9非負(fù)實(shí)數(shù) x、 y 滿足 x+y 1） 0，則關(guān)于 x y 的最大值和最小值分別為（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 10如果執(zhí)行如圖所示的程序 框圖，則輸出的數(shù) S 不可能是（ ） A 1已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =x+1，則關(guān)于 f（ x）， g（ x）的語(yǔ)句為假命題的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 12已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）經(jīng)過(guò)拋物線 p 0）的焦點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成一個(gè)等邊三角形，則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B C D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上） 13 =_ 14 周長(zhǎng)等于 2（ 則其外接圓半徑等于 _ 15 M， N 分別為雙曲線 =1 左、右支上的點(diǎn)，設(shè) 是平行于 x 軸的單位向量，則 | |的最小值為 _ 16已知 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，令 F（ x） =（ x b） f（ x b） +2014，若 b 是 a、c 的等差中項(xiàng)，則 F（ a） +F（ c） =_ 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 足 + =2n+1 （ 1）求 通項(xiàng)公式； （ 2）求 前 n 項(xiàng)和 第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 18空氣質(zhì)量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照 小分為六級(jí)， 0 50 為優(yōu)； 51 100 為良 101 150 為輕度污染；151 200 為中度污染； 201 300 為重度污染； 300 為嚴(yán)重污染 一環(huán)保人士記錄去年某地某月 10 天的 莖葉圖如圖 （ ）利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個(gè)月總共 30 天） （ ）將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取 3 天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為 ，求 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 19如圖，矩形 直于正方形 直于平面 E， （ 1）證明：面 面 （ 2）求二面角 B C 的余弦值 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的離心率為 ， P（ 2， 1）是 一點(diǎn) （ 1）求橢圓 方程； （ 2）設(shè) A， B， Q 是 P 分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于 直線 l 交 、 Q 的兩點(diǎn) C， D，點(diǎn) C 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 E證明：直線 y 軸圍成的三角形是等腰三角形 21已知函數(shù) f（ x） =a 為常數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn) （ 1）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）設(shè) f（ x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 不等式 f（ +f（ （ x1+成立，求 的最小值 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個(gè)題計(jì)分。做答時(shí)，請(qǐng)用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題目題號(hào)的方框涂黑。 選修 4何證明選講 22如圖， C， D 是以 直徑的半圓上兩點(diǎn)，且 = （ 1）若 明：直線 分 （ 2）作 E，證明： E 第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線極坐標(biāo)方程為 2 4=0， 0， 2 （ 1）求 直角坐標(biāo)方程； （ 2）曲線 參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），求 公共點(diǎn)的極坐標(biāo) 選修 4等式選講 24設(shè) 、 、 均為實(shí)數(shù) （ 1）證明： |+） | | |+） | | （ 2）若 +=0證明： | 1 第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 2016 年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 (本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ) 1設(shè) i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 的虛部是（ ） A 3i B 3i C 3 D 3 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) = = 3i+2 的虛部是 3 故選： D 2記集合 A=x|x a 0， B=y|y=x R，若 0 AB，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C 0， +） D（ 0， +） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 表示出 A 中不等式的解集確定出 A，根據(jù) 0 屬于 A 與 B 的交集，確定出 a 的范圍即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x a，即 A=（ a， +）， 由 B 中 y=到 1 y 1，即 B= 1， 1， 由 0 AB，得到 a 0， 則 a 的范圍是（ ， 0）， 故選： A 3某空間幾何體的三視圖中，有一個(gè)是正方形，則該空間幾何體不可能是（ ） A圓柱 B圓錐 C棱錐 D棱柱 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由于圓錐的三視圖中一定不會(huì)出現(xiàn)正方形，即可得出結(jié)論 【解答】 解：圓錐的三視圖中一定不會(huì)出現(xiàn)正方形， 該空間幾何體不可能是圓錐 故選： B 4二項(xiàng)式（ x 2） 5 展開式中 x 的系數(shù)為（ ） A 5 B 16 C 80 D 80 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 二項(xiàng)式（ x 2） 5 展開式中 x 的項(xiàng)為 ，即可得出 【解答】 解：二項(xiàng)式（ x 2） 5 展開式中 x 的項(xiàng)為 =80x， 因此系數(shù)為 80 故選： C 第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 5已知數(shù)列的前 4 項(xiàng)為 2， 0， 2， 0，則依次歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不可能是（ ） A 1） n 1+1 B C D an=n 1） +1 【考點(diǎn)】 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 【分析】 令 n=1， 2， 3， 4 分別代入驗(yàn)證：即可得出答案 【解答】 解：令 n=1， 2， 3， 4 分別代入驗(yàn)證：可知 C： 2，因此不成立 故選： C 6考生甲填報(bào)某高校專業(yè)意向，打算從 5 個(gè)專業(yè)中挑選 3 個(gè)，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有（ ） A 10 種 B 60 種 C 125 種 D 243 種 【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 從中選 3 個(gè)并分配到 3 個(gè)志愿中，問(wèn)題得以解決 【解答】 解：從 中選 3 個(gè)并分配到 3 個(gè)志愿中，故有 0 種， 故選： B 7某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表 使用智能手機(jī) 不使用智能手機(jī) 合計(jì) 學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀 4 8 12 學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀 16 2 18 合計(jì) 20 10 30 附表： p（ 計(jì)算 0，則下列選項(xiàng)正確的是：（ ） A有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 B有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 C有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 D有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)影響 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)觀測(cè)值 照數(shù)表，即可得出正確的結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)?0 對(duì)照數(shù)表知，有 把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響 故選： A 8函數(shù) y= x）， x 2， 2的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） A ， B 2， 第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)） C ， 2 D 2， 和 ， 2 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由條件利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論 【解答】 解：函數(shù) y= x） = x ），令 2 x 2， 求得 4 x 4，故函數(shù) y 的增區(qū)間為 4， 4， k Z 再結(jié)合 x 2， 2，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是： 2， 、 ， 2， 故選： D 9非負(fù)實(shí)數(shù) x、 y 滿足 x+y 1） 0，則關(guān)于 x y 的最大值和最小值分別為（ ） A 2 和 1 B 2 和 1 C 1 和 1 D 2 和 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由題意得 ， 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖 ： 設(shè) z=x y，由 z=x y，得 y=x z 表示，斜率為 1 縱截距為 z 的一組平行直線， 平移直線 y=x z，當(dāng)直線 y=x z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（ 2， 0）時(shí)，直線 y=x z 的截距最小，此時(shí) 最大為 0=2 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 0， 2）時(shí)，此時(shí)直線 y=x z 截距最大， z 最小 此時(shí) 2= 2 故選： D 10如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的數(shù) S 不可能是（ ） 第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)） A 考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序，可得此程序框圖的功能是計(jì)算并輸出 S=+ 的值，結(jié)合選項(xiàng)，只有當(dāng) S 的值為 ， n 不是正整數(shù)，由此得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得此程序框圖執(zhí)行的是輸入一個(gè)正整數(shù) n， 求 + 的值 S，并輸出 S， 由于 S= + =1 + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整數(shù)，而 n 分別輸入 2， 3， 8 時(shí)，可分別輸出 故選： A 11已知函數(shù) f（ x） =g（ x） =x+1，則關(guān)于 f（ x）， g（ x）的語(yǔ)句為假命題的是（ ） A x R， f（ x） g（ x） B R， f（ g（ C R， f（ =g（ D R，使得 x R， f（ g（ f（ x） g（ x） 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)全稱命題和特稱命題的定義進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：設(shè) h（ x） =f（ x） g（ x），則 h（ x） =x 1， 則 h（ x） =1， 當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） 0， h（ x）單調(diào)遞減， 當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） 0，則 h（ x）單調(diào)遞增， 即當(dāng) x=0 時(shí)，函數(shù) h（ x）取得極小值同時(shí)也是最小值 h（ 0） =0， 即 h（ x） 0，即 x R， f（ x） g（ x）不一定成立，故 A 是假命題， 故選： A 第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 12已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）經(jīng) 過(guò)拋物線 p 0）的焦點(diǎn)，且雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成一個(gè)等邊三角形，則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，可得 p=2a，求得雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立準(zhǔn)線方程，可得等邊三角形的邊長(zhǎng)和高，可得 a= b，由 a， b， c 的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：拋物線 p 0）的焦點(diǎn)為（ ， 0）， 由題意可得 a= ， 雙曲線 =1 的漸近線方程為 y= x， 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x= ， 代入漸近線方程可得交點(diǎn)為（ a， b），（ a， b）， 由雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線圍成一個(gè)等邊三角形， 可得邊長(zhǎng)為 2b，高為 a， 即有 a= b， c= = a， 即有 e= = 故選 ： D 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上） 13 = e 1 【考點(diǎn)】 定積分 【分析】 由于 = ，即可得出答案 【解答】 解： （ = =e 1 故答案為 e 1 14 周長(zhǎng)等于 2（ 則其外接圓半徑等于 1 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理得出 a， b， c 和外接圓半徑 R 的關(guān)系，根據(jù)周長(zhǎng)列出方程解出 R 【解答】 解：設(shè) 三邊分別為 a， b， c，外接圓半徑為 R， 由正弦定理得 ， 第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)） a=2b=2c=2 a+b+c=2（ 2（ R=1 故答案為： 1 15 M， N 分 別為雙曲線 =1 左、右支上的點(diǎn)，設(shè) 是平行于 x 軸的單位向量，則 | |的最小值為 4 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合雙曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由向量數(shù)量積的定義知 即向量 在向量 上的投影 | |模長(zhǎng)的乘積，故求 | |的最小值， 即求 在 x 軸上的投影的絕對(duì)值的最 小值， 由雙曲線的圖象可知 | |的最小值為 4， 故答案為： 4 16已知 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，令 F（ x） =（ x b） f（ x b） +2014，若 b 是 a、c 的等差中項(xiàng)，則 F（ a） +F（ c） = 4028 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 令 g（ x） =x），則 g（ x）是奇函數(shù)，由等差數(shù)列得 a b=（ c b），故而 F（ a） +F（ c） =g（ a b） +g（ c b） +4028=4028 【解答】 解： F（ a） +F（ c） =（ a b） f（ a b） +2014+（ c b） f（ c b） +2014 b 是 a、 c 的等差中項(xiàng)， a b=（ c b）， 令 g（ x） =x），則 g（ x） = x） = x） = g（ x） g（ x） =x）是奇函數(shù)， （ a b） f（ a b） +（ c b） f（ c b） =0， F（ a） +F（ b） =2014+2014=4028 故答案為： 4028 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步 驟 . 17已知數(shù)列 足 + =2n+1 （ 1）求 通項(xiàng)公式； 第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)） （ 2）求 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）當(dāng) n=1， ，當(dāng) n 2， 2+ =2n+1， + =2n，兩式相減得到 （ n 2），寫出通項(xiàng)公式 （ 2）是由等比數(shù)列和等差組成的數(shù)列，采用乘以公比錯(cuò)位相減法，求得前 n 項(xiàng)和 【解答】 當(dāng) n=1 時(shí)，由題意可知 ， 當(dāng) n 2， 2+ =2n+1， + =2n， 兩式相減： =2n+1 2n， （ n 2）， 故 通項(xiàng)公式為 ， （ 2） 前 n 項(xiàng)和為 ， ， 兩式相減得： n 2n+1（ 22+23+2n）， =n 2n+1 4（ 2n 1 1）， =（ n 1） 2n+1+4， 前 n 項(xiàng)和 （ n 1） 2n+1+4 18空氣質(zhì)量指數(shù)（ 稱 定量描述空氣質(zhì)量狀況的質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照 小分為六級(jí)， 0 50 為優(yōu)； 51 100 為良 101 150 為輕度污染；151 200 為中度污染； 201 300 為重度污染； 300 為嚴(yán)重污染 一環(huán)保人士記錄去年某地某月 10 天的 莖葉圖如圖 （ ）利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良（ 100）的天數(shù)；（按這個(gè)月總共 30 天） （ ）將頻率視為概率，從本月中隨機(jī)抽取 3 天，記空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為 ，求 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為 2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為 4，由此能求出該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率，從而能估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù) （ 2）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為 ， 的所有可能取值為 0， 1， 2， 3，且 B（ 3， ），由此能求出 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)這樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為 2， 空氣質(zhì)量良的天數(shù)為 4， 該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為 ， 從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為 30 =18 （ 2）由（ 1）估計(jì)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為 ， 的所有可能取值為 0， 1， 2， 3， 且 B（ 3， ）， P（ =0） =（ ） 3= ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） =（ ） 3= ， 的分布列為： 0 1 2 3 P = 19如圖，矩形 直于正方形 直于平面 E， （ 1）證明：面 面 （ 2）求二面角 B C 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 【分析】 （ 1）設(shè) 點(diǎn)為 M，連結(jié) ，求出 ， G= ，E=2 ， ， ，從而 求出 此能證明平面 平面 （ 2）如圖，延長(zhǎng) 交點(diǎn)為 H，作 足為 N，連結(jié) 導(dǎo)出 二面角 B C 的平面角，由此能求出二面角 B C 的余弦值 【解答】 證明：（ 1）如圖，設(shè) 點(diǎn)為 M，連結(jié) ， 面 在 ， = =3， 在直角梯形 ， G= = ， 在 ， E= =2 ， 在等腰 ， = ， 在等腰 ， = ， 在 ， M 是等腰 邊中點(diǎn)， F=M， 平面 平面 平面 平面 解：（ 2）如圖，延長(zhǎng) 交點(diǎn)為 H， 作 足為 N，連結(jié) C=C， 面 N=C， 平面 H=H， 平面 平面 二面角 B C 的平面角， ， = = ， 在 ， = = ， = = ， 二面角 B C 的余弦值為 第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的離心率為 ， P（ 2， 1）是 一點(diǎn) （ 1）求橢圓 方程； （ 2）設(shè) A， B， Q 是 P 分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于 直線 l 交 、 Q 的兩點(diǎn) C， D，點(diǎn) C 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱 點(diǎn)為 E證明：直線 y 軸圍成的三角形是等腰三角形 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和 P 滿足橢圓方程，解得 a， b，進(jìn)而得到橢圓方程； （ 2）設(shè) A（ 2， 1）， B（ 2， 1）， Q（ 2， 1），設(shè)直線 l 的方程為 y= x+t，代入橢圓方程，設(shè) C（ D（ E（ 運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)直線 斜率為 證直線 y 軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證 k1+，化簡(jiǎn) 整理，代入韋達(dá)定理，即可得證 【解答】 解：（ 1）由題意可得 e= = ，且 b2= 將 P（ 2， 1）代入橢圓方程可得 + =1， 解得 a=2 ， b= ， c= ， 即有橢圓方程為 + =1； （ 2）證明： A， B， Q 是 P（ 2， 1）分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 可設(shè) A（ 2， 1）， B（ 2， 1）， Q（ 2， 1）， 直線 l 的斜率為 k= ，設(shè)直線 l 的方程為 y= x+t， 代入橢圓 ，可得 4=0， 設(shè) C（ D（ E（ 即有 =44（ 24） 0，解得 2 t 2， x1+ 2t， 4， 設(shè)直線 斜率為 則 k1+ = ， 要證直線 y 軸圍成的三角形是等腰三角形， 只需證 k1+，即（ 2 1）（ 2+ ） =0， 第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)） 由 x1+t， x2+t， 可得（ 2 1）（ 2+ ） =2（ （ +4 = +4= t（ x1+ 4 =（ 24） +24=0， 則直線 y 軸圍成的三角形是等腰三角形 21已知函數(shù) f（ x） =a 為常數(shù)）有兩個(gè)極值點(diǎn) （ 1）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）設(shè) f（ x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 不等式 f（ +f（ （ x1+成立，求 的最小值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1） f（ x） = 且 f（ x） =0 有兩個(gè)不同的正根，即 ax+a=0 兩個(gè)不同的正根，即可求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）利用韋達(dá)定理，可得 =a 1，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求 的最小值 【解答】 解：（ 1）由題設(shè)知，函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +）， f（ x） = 且 f（ x） =0 有兩個(gè)不同的正根，即 ax+a=0 兩個(gè)不同的正根 則 ， a 4， （ 0， f（ x） 0，（ f（ x） 0，（ +）， f（ x） 0， f（ x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意， a 4； （ 2） f（ +f（ =a（ a 1）， =a 1， 令 y=a 1，則 y= ， a 4， y 0， 第 16 頁(yè)（共 18 頁(yè)） y=a 1 在（ 4， +）上單調(diào)遞減， y 3， 不等式 f（ +f（ （ x1+成立