2.1 導(dǎo)數(shù)概念ppt課件

高等數(shù)學(xué)多媒體課件,牛頓（Newton）,萊布尼茲（Leibniz）,1,第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念,第二章,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二、導(dǎo)數(shù)的定義,一、引例,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,五、小結(jié)與思考題,（TheConceptofDerivative）,2,一、引例（Introduction）,1.變速直線運動的速度,設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為,則到的平均速度為,而在時刻的瞬時速度為,自由落體運動,3,曲線,在M點處的切線,割線MN的極限位置MT,(當時),2.曲線的切線斜率,割線MN的斜率,切線MT的斜率,4,瞬時速度,切線斜率,兩個問題的共性:,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.,類似問題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強度,是速度增量與時間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限,是電量增量與時間增量之比的極限,變化率問題,5,二、導(dǎo)數(shù)的定義（DefinitionofDerivatives）,1.函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù).,定義1設(shè)函數(shù),在點,存在,并稱此極限為,記作:,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義,即,6,若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).,若,也稱,在,若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).,記作:,注意:,就說函數(shù),就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無窮大.,7,由此可見，,運動質(zhì)點的位置函數(shù),在時刻的瞬時速度,曲線,在M點處的切線斜率,8,(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2求函數(shù),解:,例1求函數(shù),2.求導(dǎo)數(shù)舉例.,9,對一般冪函數(shù),(為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,說明：,10,類似可證得:,例3,解:,即,11,例4,解:,即,第1章第9節(jié)例6,特別的，,12,例5,解：,即,13,在點,的某個右鄰域內(nèi),若極限,則稱此極限值為,在處的右導(dǎo)數(shù),記作,(左),(左),定義2設(shè)函數(shù),有定義,存在,3.單側(cè)導(dǎo)數(shù).,在點,可導(dǎo)的充分必要條件,注1：函數(shù),且,是,注2：,若函數(shù),與,在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且,都存在,則稱,在閉區(qū)間上可導(dǎo).,14,在x=0不可導(dǎo).,例6證明函數(shù),證:,15,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（GeometricInterpretation）,若,曲線過,上升;,若,曲線過,下降;,若,切線與x軸平行,稱為駐點;,若,切線與x軸垂直.,切線方程:,法線方程:,16,哪一點有垂直切線?哪一點處的切線,與直線,平行?寫出其切線方程.（由本本例8改編）,解:,故在原點(0,0)有垂直切線,例7問曲線,令,得,對應(yīng),則在點(1,1),(1,1)處與直線,平行的切線方程分別為,即,17,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理,證:,設(shè),在點x處可導(dǎo),存在,故,即,所以函數(shù),在點x連續(xù).,注意:函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).,18,例8,解：,在處的,討論函數(shù),是有界函數(shù),在處連續(xù)性.,但在,處有,當,時，,在1和1之間振蕩而極限不存在.,在處不可導(dǎo).,連續(xù)性與可導(dǎo)性.,19,內(nèi)容小結(jié),1.本節(jié)通過兩個引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義：,20,2.利用導(dǎo)數(shù)的定義得出以下導(dǎo)數(shù)公式：,3.判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,切線的斜率;,5.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系：,可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo)。,21,課后練習(xí),習(xí)題2-11；4；5（偶數(shù)題）；10（2）；11,思考與練習(xí),區(qū)別:,是函數(shù),是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,？,22,3.已知,則,4.設(shè),存在,求極限,解:原式,23,問a取何值時,在,都存在,并求出,解:,故,時,此時,在,都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).,5.設(shè),2