平面向量知識點總結(jié)及基礎(chǔ)練習

知識點梳理：一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)例1 給出下列命題： 若|，則=； 若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； 若=，=，則=，=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/，其中正確的序號是 例2 設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點，試化簡： ， 例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k (kR)，若，試求k二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則例1 已知向量，且，求實數(shù)的值例2已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標三平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)例1 判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；若，則當且僅當時成立；（5）對任意向量都成立；（6）對任意向量，有例2已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角 例3 已知，按下列條件求實數(shù)的值 （1）；（2）；課堂練習：一、選擇題1下列命題中正確的是（ ）A BC D2設(shè)點，,若點在直線上，且，則點的坐標為（ ）A B C或 D無數(shù)多個3若平面向量與向量的夾角是，且，則( )A B C D4向量，若與平行，則等于A B C D5若是非零向量且滿足， ，則與的夾角是（ ）A B C D6設(shè)，且，則銳角為（ ）A B C D二、填空題1若，且，則向量與的夾角為2已知向量，若用和表示，則=_。3若,，與的夾角為，若，則的值為 4若菱形的邊長為，則_。5若=，=，則在上的投影為_。三、解答題1求與向量，夾角相等的單位向量的坐標2已知向量的夾角為，,求向量的模。3設(shè)非零向量，滿足，求證： 4已知，其中(1)求證： 與互相垂直；(2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù))課后作業(yè)：1、化簡：(1)（)()= . (2) = 2、已知正方形的邊長為