數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之運算能力

運算能力課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中，對各學(xué)段的運算提出了明確的要求。其中第三學(xué)段：體驗從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號的過程，理解有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運算（包括估算）技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行表述的方法。運算不僅是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”也都與運算有著密切的聯(lián)系。一、對運算能力的認識根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結(jié)果的過程，稱為運算。能按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據(jù)法則、公式等正確的進行運算，而且理解運算的算理，能根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。二、運算能力的特征運算能力的主要特征正確、靈活、合理、簡潔。首先，要保證運算的正確，為此必須要正確理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識，明確意識到實施運算的依據(jù)，然后，在適度訓(xùn)練、逐步熟悉的基礎(chǔ)上，清楚的意識到實施運算中的算理。不斷總結(jié)正反兩方面的經(jīng)驗和教訓(xùn)，逐步減少在實施運算中思考概念、法則、公式等的時間和精力，提高運算的熟練程度，以求運算順暢，立力求避免錯誤。多題一解和一題多解在運算中十分普遍，即一般性與特殊性往往同時出現(xiàn)在實施運算的過程中，多題一解體現(xiàn)了運算的普適性，一題多解體現(xiàn)了運算的靈活性。二者的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理、簡潔。估算也是一種重要的運算技能，估算能力也是運算能力的特征之一，課標(biāo)在每一學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)和課程內(nèi)容中，都強調(diào)了估算，并提出了具體的要求。隨意我們要充分重視估算。進行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要掌握一點的方法，積累一定的經(jīng)驗，需要避免出現(xiàn)過大的誤差，需要使估算結(jié)果盡量接近實際情境，能對實際問題做出合理的解釋。所以在涉及估算的教學(xué)中，時間不能壓縮，學(xué)生的活動要充分。三、運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個長期的過程，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)知識的積累和深化，從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象，有層次的發(fā)展。運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展應(yīng)貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)活動的全過程中，并體現(xiàn)發(fā)展的適度性、層次性和階段性。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運算技能、發(fā)展運算能力的前提。原式能力的培養(yǎng)與發(fā)展不禁包括運算技能的逐步提高，還應(yīng)包括運算思維的提升和發(fā)展，要經(jīng)歷如下過程：1、由具體到抽象第一學(xué)段：理解萬以內(nèi)的數(shù)，初步認識小數(shù)和分?jǐn)?shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算，以及簡單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減運算；第二學(xué)段：認識萬以上的數(shù)，進一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運算（包括混合運算），小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算（包括混合運算），了解并初步應(yīng)用運算律；第三學(xué)段：掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；掌握合并同類項和去括號的法則；進行簡單的整個辦公室加、減、乘運算；利用乘法公式進行簡單計算；進行簡單的分式加、減、乘、除運算；了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算，及簡單的四則運算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。無論是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算，還是解方程和解不等式的運算，一開始總是和具體事物相聯(lián)系的，之后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式、方程與不等式的運算。直至高中階段進行更為抽象的符號運算，如集合的交、并、補等運算，命題的或、且、非等運算。7運算思維的抽象程度，是運算能力發(fā)展的主要特征之一。2、由法則到定理學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運算、解方程和捷豹但是的運算，在反復(fù)操練、相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發(fā)對“怎么算？”“怎么算的好？”“為什么要這樣算？”等一系列問題的思考。這是有法則到算理的思考，是運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算發(fā)展的重要內(nèi)容。課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。如在第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算”外，算理的內(nèi)容好要求進一步強化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法正確，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此課程標(biāo)準(zhǔn)提供了例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每只0.5圓，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾只鉛筆、幾塊橡皮？在此例中，不僅給出了詳細的解題方案和過程，還指出：這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有助于學(xué)生直觀理解不等式，對于嘈雜聲，這個問題是生活常識，但希望學(xué)生能通過這個例子學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分式看待生活中的問題。在一元二次方程的內(nèi)容中，課程標(biāo)準(zhǔn)不禁設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”，而且增加了“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表面不禁要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理。3、由常量到變量函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容，函數(shù)概念的引入，運算對象從常量提升到變量。運算的內(nèi)容更加豐富多彩，課程標(biāo)準(zhǔn)中不僅有：“能確定簡單實際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值”“會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達式”“會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的不等式化為頂點式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的定點坐標(biāo)”等直接進行運算的內(nèi)容；還包括與運算密切相關(guān)的內(nèi)容，如“能結(jié)合圖象對簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系進行分析”“用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關(guān)系”“結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論”“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達式探索并理解圖象的變化情況”“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式”“根據(jù)圖象和表達式探索反比例函數(shù)圖象的變化情況”“指導(dǎo)給定不共線三點的坐標(biāo)可以確定一個二次函數(shù)。”由變量到常量，表明運算思維產(chǎn)生了新的飛躍，運算能力也發(fā)展到了一個新的高度。4、由單向思維到逆向、多向思維逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個特點。在第二學(xué)段，課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系?！痹诘谌龑W(xué)段，又增加了乘方與開方的互逆關(guān)系。到高中階段，更有指數(shù)與對數(shù)、微分與積分等混個小。運算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常要用到的，表現(xiàn)為有效探索運算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方式是互逆的，更是相輔相成的。在實施運算的過程中，還會遇到多因素的情況，各個因素相互聯(lián)系、相互制約、有相輔相成，更加需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法，通過你叫，嫁衣?lián)駜?yōu)選用。這是運算思維達到一個新