2016年上饒市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 23 頁） 2016 年江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1若全集 U=R，集合 A=x|1 2x 4， B=x|x 1 0，則 A（ =（ ） A x|0 x 1 B x|1 x 2 C x|0 x 1 D x|1 x 2 2在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)： 的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知命題 p： 1 解集為 x|x 2，命題 q： ，則（ ） A p q 為真 B p q 為真 C p q 為真 D p q 為真 4如圖，設(shè) D 是圖中邊長(zhǎng)為 4 的正方形區(qū)域， E 是 D 內(nèi)由冪函數(shù) y=m象下方陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，在 D 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在 E 中的概率為（ ） A B C D 5已知在等差數(shù)列 ，且 方程 12x+m=0 的兩根，且前 15 項(xiàng)的和 m，則數(shù)列 公差是（ ） A 3 B 3 C 2 或 3 D 2 或 3 6一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖曲線 部分是兩個(gè)半徑為 1 的圓弧，則這個(gè)幾何體的體積是（ ） A 8 B 8 C 8 D 8 2 7如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果的值為（ ） 第 2 頁（共 23 頁） A B 0 C 1 D 8已知向量 ， 滿足 | |=3， | |=2， | 2 | 4，則 在 上 的投影長(zhǎng)度取值范圍是（ ） A ， 2 B ， +） C ， 2 D（ 0， 9已知（ 2 x） 6=a0+x 1） +x 1） 2+x 1） 6，則 ） A 15 B 15 C 20 D 20 10已知函數(shù) f（ x） =m9x 3x，若存在非零實(shí)數(shù) 得 f（ =f（ 立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A m B m 2 C 0 m D 0 m 11已知函數(shù) y=f（ x）是定義在 R 上的增函數(shù)，函數(shù) y=f（ x 1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 0）對(duì)稱，若任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+26） +f（ 8y 5） 0 恒成立，則當(dāng) x 3 時(shí)，x2+取值范圍是（ ） A（ 9， 49） B（ 13， 49 C（ 13， 45） D（ 13， 49） 12已知雙曲線 =1（ b N+）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 P 為雙曲線上一點(diǎn)， | 5，若 | | |等比數(shù)列，則雙曲線的方程為（ ） A B =1 C =1 D =1 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 13設(shè)某總體是由編號(hào)為 01， 02， ， 19， 20 的 20 個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6 個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第 1 行的第 3 列和第 4 列數(shù)字開始由左到右依次 選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第 6 個(gè)個(gè)體的編號(hào)是 _ 7816 6572 0802 6316 0702 4369 9728 1198 3204 9234 4915 8200 3623 4869 6938 7481 14拋物線 y，直線 x y 1=0 都與動(dòng)圓 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則動(dòng)圓 C 的面積最小值為 _ 第 3 頁（共 23 頁） 15在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ， O 是正方體中心， N 是棱 一點(diǎn)， 滿足 P 點(diǎn)軌跡為曲線 E，則當(dāng) N 在 棱 運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲線 E 周長(zhǎng)的取值范圍是 _ 16設(shè)函數(shù) f（ x） =x（ ） x+ ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 函數(shù) y=f（ x）圖象上橫坐標(biāo)為 n（ n N*）的點(diǎn)，向量 與向量 =（ 1， 0）的夾角為 n，則滿足 +最大整數(shù) n 的值為 _ 三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 17已知向量 =（ ）， =（ 1） （ 1）當(dāng) 時(shí)，求 值； （ 2）設(shè)函數(shù) f（ x） =2（ + ） ，已知在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b，c，若 a= ， b=2， ，求 f（ x） +42A+ ）（ x 0， ）的取值范圍 18通過隨機(jī)詢問某校 110 名高中學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說明，得到如下的性別與看營(yíng)養(yǎng)列聯(lián)表： 男 女 總計(jì) 看營(yíng)養(yǎng)說明 50 30 80 不看營(yíng)養(yǎng)說明 10 20 30 總計(jì) 60 50 110 （ 1）從這 50 名女生中按是否看營(yíng)養(yǎng)說明采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為 5 的樣本，問樣本中看與不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生各有多少名？ （ 2）從（ 1）中的 5 名女生樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談，求選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生各一名的概率； （ 3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認(rèn)為 “性別與在 購買食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說明 ”有關(guān)？ p（ k） k 9如圖，四邊形 交于點(diǎn) O，若 0，且 C （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 A B 的正弦值 第 4 頁（共 23 頁） 20如圖，分別過橢圓 E： + =1（ a b 0）左右焦點(diǎn) 兩條不同動(dòng)直線 l1，交于 P 點(diǎn)， 橢圓 E 分別交于 A， B 與 C， D 不同四點(diǎn)，直線 足 k1+k2=k3+知當(dāng) x 軸重合時(shí)， |4， |3 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）是否存在定點(diǎn) M， N，使得 |定值，若存在，求出 M， N 點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由 21已知函數(shù) f（ x） =中 e 是自然數(shù)的底數(shù)）， g（ x） =x2+， a R （ 1）記函數(shù) F（ x） =f（ x） g（ x），且 a 0，求 F（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若對(duì)任意 0， 2， 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 選考題（本小題滿分 10 分）請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫清 題號(hào) .選修 4何證明選講 22如圖， O 的半徑為 6，線段 相交于點(diǎn) C、 D， ， A， O 相交于點(diǎn) E （ 1）求 ； （ 2）當(dāng) ，求證： D 選修 4坐標(biāo)與參數(shù)方程選講 23在直角坐標(biāo)系 以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系圓 線 極坐標(biāo)方程分別為 =4） =2 （ ）求 點(diǎn)的極坐標(biāo)； （ ）設(shè) P 為 圓心， Q 為 點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線 參數(shù)方程為（ t R 為參數(shù)），求 a， b 的值 第 5 頁（共 23 頁） 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x+1| |x 3| （ 1）解不等式 f（ x） 0； （ 2）若 f（ x） +3|x 3| t 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 均成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 第 6 頁（共 23 頁） 2016 年江西省上饒市重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1若全集 U=R，集合 A=x|1 2x 4， B=x|x 1 0，則 A（ =（ ） A x|0 x 1 B x|1 x 2 C x|0 x 1 D x|1 x 2 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可 【解答】 解： A=x|1 2x 4=x|0 x 2， B=x|x 1 0=x|x 1， 則 x|x 1， 則 A（ =x|0 x 1， 故選： A 2在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)： 的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 利用復(fù)數(shù)的冪運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)求解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到答案 【解答】 解： = 1+ = 1+i， 復(fù)數(shù)對(duì) 應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（ 1， 1）在第二象限 故選： B 3已知命題 p： 1 解集為 x|x 2，命題 q： ，則（ ） A p q 為真 B p q 為真 C p q 為真 D p q 為真 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別判斷命題 p， q 的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：由 1 得 0 x 2，即不等式的解集是 x|0 x 2，故 p 是假命題， 0， 0 ， 0 ， 即 成立，即 q 為真命題， 則 p q 為真，其余為假命題， 故選： B 4如圖，設(shè) D 是圖中邊長(zhǎng)為 4 的正方形區(qū)域， E 是 D 內(nèi)由冪函數(shù) y=m象下方陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，在 D 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在 E 中的概率為（ ） 第 7 頁（共 23 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合定積分求面積的方法易求解 【解答】 解：由題意， m=1，（ 2， 4）代入 y=m得 a=2， y= 區(qū)域 E 的面積為： = = “該點(diǎn)在 E 中的概率 ”事件對(duì)應(yīng) 的區(qū)域面積為 ， 則質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)域 M 內(nèi)的概率是 = 故選 C 5已知在等差數(shù)列 ，且 方程 12x+m=0 的兩根，且前 15 項(xiàng)的和 m，則數(shù)列 公差是（ ） A 3 B 3 C 2 或 3 D 2 或 3 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得 a2+2， m，結(jié)合 m，得到5分 和 0 求得 入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差 【解答】 解：由題意， a2+2， m， 又 m， ，即 5 若 ，得 2， d= ； 若 0，得 5， 2 2 15= 3， 則 d= 綜上， 數(shù)列 公差是 2 或 3 故選： D 第 8 頁（共 23 頁） 6一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖曲線部分是兩個(gè)半徑為 1 的圓弧，則這個(gè)幾何體的體積是（ ） A 8 B 8 C 8 D 8 2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是棱長(zhǎng)為 2 的正方體挖去半個(gè)圓柱所剩下的幾何體，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由柱體的體積公 式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是棱長(zhǎng)為 2 的正方體挖去半個(gè)圓柱所剩下的幾何體， 圓柱的底面半徑是 1，母線長(zhǎng)是 2， 該幾何體的體積 V= =8 ， 故選： C 7如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果的值為（ ） A B 0 C 1 D 【考點(diǎn)】 程序框圖 【 分析】 模擬執(zhí)行程序，可得程序的功能是利用循環(huán)計(jì)算并輸出 S=+值，利用余弦函數(shù)值的周期性即可計(jì)算求值得解 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得程序的功能是利用循環(huán)計(jì)算并輸出 S=+值， 第 9 頁（共 23 頁） 由于： +0， 2012=6 335+2， 所以： S=+ +（ ） =0 故選： B 8已知向量 ， 滿足 | |=3， | |=2， | 2 | 4，則 在 上的投影長(zhǎng)度取值范圍是（ ） A ， 2 B ， +） C ， 2 D（ 0， 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 求 ， 的夾角的范圍，代入投影公式計(jì)算最值 【解答】 解： | 2 | 4， | |2 4 +4| |2 16， 9 4 +16 16， ， 設(shè) ， 的夾角為 ， 則 ， 又 1， 1， | |2， 故選： C 9已知（ 2 x） 6=a0+x 1） +x 1） 2+x 1） 6，則 ） A 15 B 15 C 20 D 20 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 根據(jù)（ 2 x） 6=1（ x 1） 6=a0+x 1） +x 1） 2+x 1） 6，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得 值 【解答】 解：（ 2 x） 6=1（ x 1） 6=a0+x 1） +x 1） 2+x 1） 6， 則 = 20， 故選： D 10已知函數(shù) f（ x） =m9x 3x，若存在非零實(shí) 數(shù) 得 f（ =f（ 立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A m B m 2 C 0 m D 0 m 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì) 第 10 頁（共 23 頁） 【分析】 由題意可得 m9x 3x=m9 x 3 x 有解，可得 =3x+3 x，利用基本不等式求得 【解答】 解：由題意可得 m9x 3x=m9 x 3 x 有解，即 m（ 9x 9x） =（ 3x 3 x）有解 可得 =3x+3 x 2 ，求得 0 m 再由 非零實(shí)數(shù)，可得 中等號(hào)不成立，故 0 m ， 故選： C 11已知函數(shù) y=f（ x）是定義在 R 上的增函數(shù)，函數(shù) y=f（ x 1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 0）對(duì)稱，若任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+26） +f（ 8y 5） 0 恒成立，則當(dāng) x 3 時(shí)，x2+取值范圍是（ ） A（ 9， 49） B（ 13， 49 C（ 13， 45） D（ 13， 49） 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 根據(jù)條件得到 f（ x）是奇函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 函數(shù) y=f（ x 1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1， 0）對(duì)稱， 函數(shù) y=f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 0， 0）對(duì)稱，即函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)， 任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+26） +f（ 8y 5） 0 恒成立， 則任意的 x， y R，不等式 f（ 6x+26） f（ 8y 5） =f（ 8y 5） 恒成立， 則 6x+26 （ 8y 5）， 即任意的 x， y R，不等式 6x+26+8y 5 0 恒成立， 即（ x 3） 2+（ y 4） 2 4， 當(dāng) x 3 時(shí)，作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 則 x2+幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， 由圖象得過圓心 C，與圓相交的點(diǎn) D，到原點(diǎn)距離最大， 距離最小， 圓心 C（ 3， 4），半徑 R=2， B（ 3， 2）， A（ 3， 6）， 則 =5，則 +2=7， 則最大值為 ， 最小值為 32+22=9+4=13，但此時(shí)最小值取不到， 即 x2+范圍是（ 13， 49 故選： B 第 11 頁（共 23 頁） 12已知雙曲線 =1（ b N+）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 P 為雙曲線上一點(diǎn)， | 5，若 | | |等比數(shù)列，則雙曲線的方程為（ ） A B =1 C =1 D =1 【考點(diǎn)】 雙 曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 通過等比數(shù)列雙曲線的定義，余弦定理推出： |=20+3用 | 5， bN，求出 b 的值，結(jié)合雙曲線的方程即可得到結(jié)論 【解答】 解： | | |等比數(shù)列， |=| 即 4 由雙曲線的定義可知 | |4，即 |+| 2|16， 可得 |+| 86 設(shè) ，則 ， 由余弦定理 可得： |= 2|OP| ）， |=2|OP| |+=2|， ， 由 化簡(jiǎn)得： |=8+30+3 因?yàn)?| 5， b N， 所以 20+325 即 ， 所以 b=1 則雙曲線的方程為 ， 故選： A 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 第 12 頁（共 23 頁） 13設(shè)某總體是由編號(hào)為 01， 02， ， 19， 20 的 20 個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6 個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第 1 行的第 3 列和第 4 列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第 6 個(gè)個(gè)體的編號(hào)是 04 7816 6572 0802 6316 0702 4369 9728 1198 3204 9234 4915 8200 3623 4869 6938 7481 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 【分析】 根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，依次進(jìn) 行選擇即可得到結(jié)論 【解答】 解：選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第 1 行的第 3 列和第 4 列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于 20 的編號(hào)依次為 16， 08， 02， 07， 11， 04，則第 6 個(gè)個(gè)體的編號(hào)為 04 故答案為： 04 14拋物線 y，直線 x y 1=0 都與動(dòng)圓 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則動(dòng)圓 C 的面積最小值為 【考點(diǎn)】 直線與拋物線的位置關(guān)系 【分析】 設(shè)出直線的平行線方程，利用直線與拋物線相切求出直線方程，利用平行線之間的距離為所求圓的直徑，即可求出 結(jié)果 【解答】 解：設(shè)與直線 x y 1=0 平行的準(zhǔn)線方程為： x y+b=0， 由 ，可得 2x 2b=0，平行線與拋物線相切，可得 =4+8b=0，解得 b= ， 平行線方程為： x y =0 兩條平行線之間的距離為： = 所求動(dòng) 圓的半徑的最小值為： 動(dòng)圓 C 的面積最小值為： = 故答案為： 第 13 頁（共 23 頁） 15在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ， O 是正方體中心， N 是棱 一點(diǎn)， 滿足 P 點(diǎn)軌跡為曲線 E，則當(dāng) N 在 棱 運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲線 E 周長(zhǎng)的取值范圍是 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 根據(jù)正方體的幾何特征，結(jié)合已知條件，分析出曲線 E 周長(zhǎng)的最值，進(jìn)而可得答案 【解答】 解：當(dāng) N 點(diǎn)與 重合時(shí)， 曲線 E 圍成的區(qū)域?yàn)檎襟w對(duì)角邊，如右圖所示： 此時(shí)曲線 E 周長(zhǎng)的取最大值： 2+2 ； 當(dāng) N 點(diǎn)與 重合時(shí)， 曲線 E 圍成的區(qū)域?yàn)榕c正方體底面平行的正方形， 如下圖所示： 此時(shí)曲線 E 周長(zhǎng)的取最小值： 4； 故曲線 E 周長(zhǎng)的取值范圍是： ， 故答案為： 16設(shè)函數(shù) f（ x） =x（ ） x+ ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 函數(shù) y=f（ x）圖象上橫坐標(biāo)為 n（ n N*）的點(diǎn)，向量 與向量 =（ 1， 0）的夾角為 n，則滿足 +最大整數(shù) n 的值為 2 第 14 頁（共 23 頁） 【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用 【分析】 由題意， ， ，代入+，構(gòu)造函數(shù)，判斷出符合條件的最大整數(shù) n 的值 【解答】 解： ， ， 即 ， 函數(shù) 為減函數(shù)， ， ， ， 故最大整數(shù) n 的值為 2 故答案為： 2 三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 17已知向量 =（ ）， =（ 1） （ 1）當(dāng) 時(shí)，求 值； （ 2）設(shè)函數(shù) f（ x） =2（ + ） ，已知在 ，內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b，c，若 a= ， b=2， ，求 f（ x） +42A+ ）（ x 0， ）的取值范圍 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ 1）由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量平行列出關(guān)系式，整理求出 值，所求式子變形后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將 值代入計(jì)算即可求出值； （ 2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則確定出 f（ x），由 a， b 及 值，利用正弦定理求出 值，確定出 A 的度數(shù)，代入所求式子，根據(jù) x 的范圍求出這個(gè)角的范圍，進(jìn)而求出正弦函數(shù)的值域，即可確定出所求式子的范圍 【解答】 解：（ 1） ， ， ， = = （ 2） 由正弦定理得 = ，可得 ， 第 15 頁（共 23 頁） A= 或 A= ， b a， A= ， f（ x） +42A+ ） = 2x+ ） ， ， ， 故 f（ x） +42A+ ）（ x 0， ）的取值范圍為 ， 18通過隨機(jī)詢問某校 110 名高中學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說明，得到如下的性別與看營(yíng)養(yǎng)列聯(lián)表： 男 女 總計(jì) 看營(yíng)養(yǎng)說明 50 30 80 不看營(yíng)養(yǎng)說明 10 20 30 總計(jì) 60 50 110 （ 1）從這 50 名女生中按是否看營(yíng)養(yǎng)說明采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為 5 的樣本，問樣本中看與不看營(yíng) 養(yǎng)說明的女生各有多少名？ （ 2）從（ 1）中的 5 名女生樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談，求選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生各一名的概率； （ 3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認(rèn)為 “性別與在購買食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說明 ”有關(guān)？ p（ k） k 考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 【分析】 （ 1）先求出每個(gè)個(gè)體 被抽到的概率，再用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù) （ 2）從這 5 名女生中隨機(jī)選取兩名，共有 10 個(gè)等可能的基本事件，其中，事件 A“選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生各一名 ”包含了 6 個(gè)的基本事件，由此求得所求的概率 （ 3）根據(jù)性別與看營(yíng)養(yǎng)說明列聯(lián)表，求出 觀測(cè)值 k 的值為 根據(jù) P（ =校高中學(xué)生 “性別與在購買食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說明 ”有關(guān) 【解答】 解：（ 1）根據(jù)分層抽樣可得：樣本中看營(yíng)養(yǎng)說明的女生有 =3 名， 樣本中不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生有 =2 名 （ 2）記樣本中看營(yíng)養(yǎng)說明的 3 名女生為 看營(yíng)養(yǎng)說明的 2 名女生為 第 16 頁（共 23 頁） 從這 5 名女生中隨機(jī)選取兩名，共有 10 個(gè)等可能的基本事件為：（ （ （ a1、 （ （ （ （ （ （ （ 其中，事件 A“選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說明的女生各一名 ”包含了 6 個(gè)的基本事件：（ （ a1、 （ （ （ （ 所以所求的概率為 P（ A） = = （ 3）性別與看營(yíng)養(yǎng)說明列聯(lián)表 單位：名 男 女 總計(jì) 看營(yíng)養(yǎng)說明 50 30 80 不看營(yíng)養(yǎng)說明 10 20 30 總計(jì) 60 50 110 假設(shè) 校高中學(xué)生性別與在購買食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說明無關(guān)，則 該很小 根據(jù)題中的列聯(lián)表得 由 P（ = 有 99%的把握認(rèn)為該校高中學(xué)生 “性別與在購買食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說明 ”有關(guān) 19如圖，四邊形 交于點(diǎn) O，若 0，且 C （ 1）求證： 平面 （ 2）求二面角 A B 的正弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）證明 出 平面 平面 后證明平面 平面 可證明 平面 （ 2）連接 明 等邊三角形，證明 平面 B、 兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系 O ，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面一個(gè)法向量，平面 一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為 ，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角 A B 的正弦值 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ 1）證明： 四邊形 為菱形， 面 面 平面 平面 又 E=D， 面 面 第 17 頁（共 23 頁） 平面 平面 又 面 平面 （ 2）連接 四邊形 菱形，且 0， 等邊三角形， O 為 點(diǎn)所以 O 為 點(diǎn)，且 C， 又 D=O， 平面 兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O 設(shè) ，因?yàn)樗倪呅?菱形， 0， 則 ， ， F= ， O（ 0， 0， 0）， A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， F（ 0， 0， ）， =（ ， 0， ）， =（ ， 1， 0）， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為 n=（ x， y， z）， 則有 令 x=1，則 n=（ 1， ， 1）， 平面 平面 一個(gè)法向量為 =（ 0， 1， 0） 二面角 A B 為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為 ， n， |= ， 二面角 A B 的正弦值為 20如圖，分別過橢圓 E： + =1（ a b 0）左右焦點(diǎn) 兩條不同動(dòng)直線 l1，交于 P 點(diǎn)， 橢圓 E 分別交于 A， B 與 C， D 不同四點(diǎn)，直線 足 k1+k2=k3+知當(dāng) x 軸重合時(shí)， |4， |3 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）是否存在定點(diǎn) M， N，使得 |定值，若存在，求出 M， N 點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由 第 18 頁（共 23 頁） 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ 1）當(dāng) x 軸重合時(shí)， x 軸，由此列出方程組求出 a， b，從而能求出橢圓E 的方程 （ 2）當(dāng) x 軸重合時(shí)， x 軸， P 點(diǎn)即 1， 0），當(dāng) x 軸重合時(shí)， x 軸， P 點(diǎn)即 1， 0），當(dāng) 與 x 軸重合時(shí)，設(shè) P（ 1， 0），設(shè) y=m（ x+1）， y=n（ x 1），橢圓 E： ，分別將直線 橢圓聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理、直線方程 ，結(jié)合已知條件能求出存在定點(diǎn) M、 N 為橢圓焦點(diǎn) ，使得|定值為定值 【解答】 解：（ ）當(dāng) x 軸重合時(shí)， k1=， k3+， x 軸， |2a=4， | ， ，解得 a=2， b= ， 橢圓 E 的方程為 （ ）當(dāng) x 軸重合時(shí)， x 軸， P 點(diǎn)即 1， 0）， 當(dāng) x 軸重合時(shí)， x 軸， P 點(diǎn)即 1， 0）， 當(dāng) 與 x 軸重合時(shí)，設(shè) P（ 1， 0）， 設(shè) 率分別為 m， n（ m n， m 0， n 0）， 則： y=m（ x+1）， ， y=n（ x 1）， ， 又橢圓 E： ， 設(shè) A（ B（ C（ D（ 由 聯(lián)立得（ 3+412=0， ， 由 聯(lián)立得（ 3+4812=0， ， 第 19 頁（共 23 頁） 由 k1+k2=k3+ ， 又： y1=m（ ）， y2=m（ ）， y3=n（ 1）， y4=n（ 1）， 代入上式，得： ， 將 代入化簡(jiǎn)得（ ）（ m n） =0， m n， 3， 即： ，化簡(jiǎn)得： 由 P（ 1， 0）滿足上式，所以 P 點(diǎn)軌跡方程為： 使得 |定值 故存在定點(diǎn) M（ 0， ）、 N（ 0， ）為橢圓焦點(diǎn) ，使得 |2為定值 21已知函數(shù) f（ x） =中 e 是自然數(shù)的底數(shù)）， g（ x） =x2+， a R （ 1）記函數(shù) F（ x） =f（ x） g（ x），且 a 0，求 F（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ 2）若對(duì)任意 0， 2， 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函 數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ 2）設(shè) 為 g（ x） = 0， 2單調(diào)遞增，故原不等式等價(jià)于 |f（ f（ | g（ g（ 0， 2，且 成立，當(dāng) a （ x）恒成立時(shí)， a 1；當(dāng) a 2x 恒成立時(shí)， a 2 2合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1） y=f（ x） g（ x） =（ x2+） F（ x） = a+2） x+（ a+1） 令 F（ x） =0，則 a+2） x+（ a+1） =0，即 x+（ a+1） （ x+1） =0，解得 x= 1，或 x= a 1 a 0， a 1 1， x a 1， 1時(shí)， y 0， x （ ， a 1）和（ 1， +）時(shí)， y 0， 函數(shù) F（ x）的單調(diào)增區(qū)間為（ ， a 1）和（ 1， +）， （ 2）設(shè) 為 f（ x） = 0， 2單調(diào)遞增， 故原不等式等價(jià)于 |f（ f（ | g（ g（ 0， 2，且 成立， 所以 g（ g（ f（ f（ g（ g（ 0， 2，且 x1成立， 即 ，在 0， 2，且 成立， 則函數(shù) F（ x） =g（ x） f（ x）和 G（ x） =f（ x） +g（ x）都在 0， 2單調(diào)遞增， 第 20 頁（共 23 頁） 則有 ，在 0， 2恒成立， 當(dāng) a （ x）恒成立時(shí)，因?yàn)椋?x）在 0， 2單調(diào)遞減， 所以（ x）的最大值為 1，所以 a 1； 當(dāng) a 2x 恒成立時(shí)，因?yàn)?2x 在 0， 調(diào)遞減，在 2單調(diào)遞增， 所以 2x 的最小值為 2 以 a 2 2 綜上： 1 a 2 2 選考題（本小題滿分 10 分）請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) .選修 4何證明選講 22如圖， O 的半徑