最大公約數法與最小公倍數法解應用題

最大公約數法通過計算出幾個數的最大公約數來解題的方法，叫做最大公約數法。 例1 甲班有42名學生，乙班有48名學生，現在要把這兩個班的學生平均分成若干個小組，并且使每個小組都是同一個班的學生。每個小組最多有多少名學生？解：要使每個小組都是同一個班的學生，并且要使每個小組的人數盡可能多，就要求出42和48的最大公約數：23=6，42和48的最大公約數是6。答：每個小組最多能有6名學生。例2 有一張長150厘米、寬60厘米的長方形紙板，要把它分割成若干個面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個正方形？解：因為分割成的正方形的面積最大，并且面積相等，所以正方形的邊長應是150和60的最大公約數。求出150和60的最大公約數：235=30150和60的最大公約數是30，即正方形的邊長是30厘米?？瓷厦娴亩坛街校?50、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說明，當正方形的邊長是30厘米時，長方形的長150厘米中含有5個30厘米，寬60厘米中含有2個30厘米。所以，這個長方形能分割成正方形：52=10（個）答：能分割成10個正方形。例3 有一個長方體的方木，長是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實際是求325、175和75的最大公約數。55=25325、175和75的最大公約數是25，即小正方體木塊的棱長是25厘米。因為75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長是25厘米，所以，在75厘米中包含3個25厘米，在175厘米中包含7個25厘米，在325厘米中包含13個25厘米?？梢越爻衫忾L是25厘米的小木塊：3713=273（塊）答：小正方體木塊的棱長是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。例4 有三根繩子，第一根長45米，第二根長60米，第三根長75米?，F在要把三根長繩截成長度相等的小段。每段最長是多少米？一共可以截成多少段？（適于六年級程度）解：此題實際是求三條繩子長度的最大公約數。35=1545、60和75的最大公約數是15，即每一小段繩子最長15米。因為短除式中最后的商是3、4、5，所以在把繩子截成15米這么長時，45米長的繩子可以截成3段，60米長的繩子可以截成4段，75米長的繩子可以截成5段。所以有：3+4+5=12（段）答：每段最長15米，一共可以截成12段。例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數相等的若干組后，男、女生各剩3人。要使組數最少，每組應是多少人？能分成多少組？（適于六年級程度）解：因為男、女生各剩3人，所以進入各組的男、女生的人數分別是：234-3=231（人）男146-3=143（人）女要使組數最少，每一組的人數應當是最多的，即每一組的人數應當是231人和143人的最大公約數。 231、143的最大公約數是11，即每一組是11人。因為231、143除以11時，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。21+13=34（組）答：每一組應是11人，能分成34組。例6 把330個紅玻璃球和360個綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個盒里玻璃球的個數相同且裝得最多。一共要裝多少個小盒？（適于六年級程度）解：求一共可以裝多少個盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個盒子里球的個數相同，裝的最多，則每盒球的個數必定是330和360的最大公約數。235=30330和360的最大公約數是30，即每盒裝30個球。33030=11（盒）紅球裝11盒36030=12（盒）綠球裝12盒11+12=23（盒）共裝23盒答略。例7 一個數除40不足2，除68也不足2。這個數最大是多少？（適于六年級程度）解：“一個數除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被這個數除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個數整除；68被這個數除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個數整除?？磥恚鼙贿@個數整除的數是：40+2=42，68+2=70。這個數是42和70的公約數，而且是最大的公約數。27=14答：這個數最大是14。例8 李明昨天賣了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐賣了1.04元，第二筐賣了1.95元，第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價錢都是按當地市場規(guī)定的價格賣的。問三筐白菜各是多少千克？解：三筐白菜的錢數分別是104分、195分、234分，每千克白菜的價錢一定是這三個數的公約數。把104、195、234分別分解質因數：104=2313195=3513234=23213104、195、234最大的公有的質因數是13，所以104、195、234的最大公約數是13，即每千克白菜的價錢是0.13元。1.040.13=8（千克）第一筐1.950.13=15（千克）第二筐2.340.13=18（千克）第三筐答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克。例9 一個兩位數除472，余數是17。這個兩位數是多少？解：因為這個“兩位數除472，余數是17”，所以，472-17=455，455一定能被這個兩位數整除。455的約數有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數中35、65和91大于17，并且是兩位數，所以這個兩位數可以是35或65，也可以是91。答略。例10 把圖32-1的鐵板用點焊的方式焊在一個大的鐵制部件上，要使每個角必須有一個焊點，并且各邊焊點間的距離相等。最少要焊多少個點？（單位：厘米）解：要求焊點最少，焊點間距就要最大；要求每個角有一個焊點，焊點間距離相等，焊點間距離就應是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數。23=6它們的最大公約數是6，即焊點間距離為6厘米。焊點數為：7+4+3+6=20（個）按這個算法每個角上的焊點是兩個，因為要求每一個角上要有一個焊點，所以，要從20個焊點中減4個焊點。20-4=16（個） 答略。最小公倍數法通過計算出幾個數的最小公倍數，從而解答出問題的解題方法叫做最小公倍數法。例1 用長36厘米，寬24厘米的長方形瓷磚鋪一個正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？解：因為求這個正方形地面所需要的長方形瓷磚最少，所以正方形的邊長應是36、24的最小公倍數。22332=7236、24的最小公倍數是72，即正方形的邊長是72厘米。7236=2 7224=3 23=6（塊）答：最少需要6塊瓷磚。*例2 王光用長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊拼最小的正方體模型。這個正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長方體木塊？解：此題應先求正方體模型的棱長，這個棱長就是6、4和3的最小公倍數。232=126、4和3的最小公倍數是12，即正方體模型的棱長是12厘米。正方體模型的體積為：121212=1728（立方厘米）長方體木塊的塊數是：1728（643）=172872=24（塊）答略。例3 有一個不足50人的班級，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個班級有多少人？解：這個班的學生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說明這個班的人數比12與16的公倍數（50以內）多1人。所以先求12與16的最小公倍數。2234=4812與16的最小公倍數是48。48+1=49（人）4950，正好符合題中全班不足50人的要求。答：這個班有49人。例4 某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經過多少分鐘又在同一時間發(fā)車？（適于六年級程度）解：求三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經過多少分鐘又在同一時間發(fā)車，就是要求出三條線路汽車發(fā)車時間間隔的最小公倍數，即8、10、12的最小公倍數。22253=120答：至少經過120分鐘又在同一時間發(fā)車。例5 有一筐雞蛋，4個4個地數余2個，5個5個地數余3個，6個6個地數余4個。這筐雞蛋最少有多少個？解：從題中的已知條件可以看出.不論是4個4個地數，還是5個5個地數、6個6個地數，筐中的雞蛋數都是只差2個就正好是能被4、5、6整除的數。因為要求這筐雞蛋最少是多少個，所以求出4、5、6的最小公倍數后再減去2，就得到雞蛋的個數。2253=604、5、6的最小公倍數是60。 60-2=58（個）答：這筐雞蛋最少有58個。*例6 文化路小學舉行了一次智力競賽。參加競賽的人中，平均每15人有3個人得一等獎，每8人有2個人得二等獎，每12人有4個人得三等獎。參加這次競賽的共有94人得獎。求有多少人參加了這次競賽？得一、二、三等獎的各有多少人？解：15、8和12的最小公倍數是120，參加這次競賽的人數是120人。得一等獎的人數是：3（12015）=24（人）得二等獎的人數是：2（1208）=30（人）得三等獎的人數是：4（12012）=40（人） 答略。*例7 有一個電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點整時，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點鐘？解：每到整點響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長時間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的最小公倍數。60與9的最小公倍數是180。 18060=3（小時）由于是中午12點時既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點鐘。 答略。*例8 一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？解：這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑：964+1=25（個）后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數是12，所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。9612+1=9（個）96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。 答略。例9 一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，甲隊還要做幾天？解：由18、24的最小公倍數是72，可把全工程分為72等份。7218=4（份）是甲一天做的份數7224=3（份）是乙一天做的份數（4+3）8=56份）兩隊8天合作的份數72-56=16（份）余下工程的份數164=4（天）甲還要做的天數 答略。*例10 甲、乙兩個碼頭之間的水路長234千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時。求此船在靜水中的速度？解：9、13的最小公倍數是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。每一份是：234117=2（千米）靜水中船的速度占總份數的：（13+9）2=11（份）船在靜水中每小時行：211=22（千米）答略。*例11 王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時3千米，下山的速度為每小時5千米。他上、下山的平均速度是每小時多少千米？（適于六年級程度）解：設山腳到山頂的距離為3與5的最小公倍數。35=15（千米）上山用：153=5（小時） 下山用：155=3（小時）