積分第一中值定理及其推廣證明

2.1積分第一中值定理證明積分第一中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，并且在閉區(qū)間上是可積的，則在上至少存在一點(diǎn)，使得成立。證明如下：由于在閉區(qū)間上不變號，我們不妨假設(shè)，并且記在閉區(qū)間上的最大值和最小值為和，即，我們將不等式兩邊同乘以可以推出，此時(shí)對于任意的都會有成立。對上式在閉區(qū)間上進(jìn)行積分，可以得到。此時(shí)在之間必存在數(shù)值，使得，即有成立。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，則在上必定存在一點(diǎn)，使成立。此時(shí)即可得到，命題得證。2.2積分第一中值定理的推廣定理：（推廣的第一積分中值定理）若函數(shù)是閉區(qū)間上為可積函數(shù)，在上可積且不變號，那么在開區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1：由于函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的，在上可積且不變號，令，很顯然在上連續(xù)。并且， 。由柯西中值定理即可得到，化簡，即，根據(jù)上式我們很容易得出，命題得證。證法2：由于函數(shù)在上可積且不變號，我們不妨假設(shè)。而函數(shù)在閉區(qū)間上可積，我們令，。假設(shè)是在閉區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，即。我們就可以得到下面等式（2.2.1）此時(shí)由于，則會有，由于存在兩種可能性，那么下面我們就要分兩種情況以下我們分兩種情形來進(jìn)行討論：(1).如果，由等式（2.2.1）可得出，那么對于都有恒成立。(2).如果，將（2.2.1）除以可得，（2.2.2）我們記 ，（2.2.3）此時(shí)我們又分兩種情形繼續(xù)進(jìn)行討論：（）如果（2.2.2）式中的等號不成立，即有成立，則此時(shí)一定就存在，可以使得，我們不妨假設(shè)，這其中。因?yàn)?，則會有。此時(shí)至少存在一點(diǎn)，使得，即有成立，從而結(jié)論成立。（）如果（2.2.2）式中僅有一個(gè)等號成立時(shí)，我們不妨假設(shè)，因?yàn)?，此時(shí)一定存在區(qū)間（其中），使得，恒有成立，我們可以將（2.2.3）式進(jìn)行簡化，因?yàn)椋瑒t有（2.2.4）而且我們已知，則。于是（2.2.5）在式子（2.2.5）下必定存在，使得。如果不存在一個(gè)，使得，則在閉區(qū)間上必定有及成立，從而使得。如果，