（精選幻燈片）第六章 近獨(dú)立粒子的最概然分布 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理.ppt

1,第六章,近獨(dú)立粒子的最概然分布,2,統(tǒng)計(jì)物理:關(guān)于熱現(xiàn)象的微觀理論。,研究對(duì)象:大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。(微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等),統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為:宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,經(jīng)典統(tǒng)計(jì):粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述),量子統(tǒng)計(jì):粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律(運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述),在一定條件下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是一個(gè)極好的近似。,本章內(nèi)容:經(jīng)典描述;量子描述;三種分布函數(shù)及相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。,3,6.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述,遵守經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的粒子，稱為經(jīng)典粒子。1.具有“顆粒性”：有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。2.軌道運(yùn)動(dòng)：滿足牛頓定律.給定初時(shí)刻的、，可確定其運(yùn)動(dòng)軌跡(確定性描述)。經(jīng)典粒子可以被“跟蹤”。3.可以分辨：經(jīng)典全同粒子可以分辨。具有完全相同屬性（質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子稱為全同粒子。4.能量是連續(xù)的：按照經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，在允許的能量范圍內(nèi)，粒子的能量可取任何值。,4,一空間（相空間）：粒子位置和動(dòng)量構(gòu)成的空間,經(jīng)典力學(xué):確定一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用和。自由度r=1（曲線上運(yùn)動(dòng)):x和px描述其狀態(tài)；r=3（3D空間中運(yùn)動(dòng)):x,y,z和px,py,pz描述狀態(tài)。若粒子有內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則r更大。如雙原子分子,p,p一般地，設(shè)粒子的自由度為r，其力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由粒子的r個(gè)廣義坐標(biāo)q1、q2、qr和相應(yīng)的r個(gè)廣義動(dòng)量p1、p2、pr共2r個(gè)量的值確定。粒子能量：=(q1、q2、qr，p1、p2、pr)。,總之，微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是采用粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量共同描述的方法。,5,用單粒子的廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量q1,q2,qr,p1,p2,pr為直角坐標(biāo)構(gòu)成2r維空間,稱為粒子相空間(即空間).例如：?jiǎn)卧臃肿觬=3，空間是6維。剛性雙原子分子r=5，空間是10維的。粒子在某時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(q1、pr)可用空間中的一個(gè)點(diǎn)表示，稱為粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。（1）代表點(diǎn):粒子的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，（2）相軌道:粒子狀態(tài)的變化,代表點(diǎn)在空間中的移動(dòng)。（3）N粒子系統(tǒng),需N個(gè)代表點(diǎn)描述系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài).（4）體積元：各軸上截取dq1,dq2,dqr,dp1,dp2,dpr,則圍成空間中的體積元：d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,6,二經(jīng)典描述方法例子1自由粒子不受外力作用的粒子（如理想氣體分子、金屬自由電子等），其能量,1D自由粒子:限制在長L范圍內(nèi)(線狀材料等)；互相正交的x、px軸構(gòu)成2D的空間。相軌道“”等能面是一條直線.3D自由粒子：r=3,設(shè)粒子處于體積V中。狀態(tài)由x、y、z、px、py、pz確定，空間是6維的。,粒子能量=(px2+py2+pz2)/2m動(dòng)量子空間的半徑,7,等能面（在動(dòng)量子空間中）是半徑為的球面。,相空間的體積（動(dòng)量小于p時(shí)）,8,9,10,11,12,自由度為1,某時(shí)刻粒子狀態(tài)為（x,px）?？臻g為二維。若給定振子的能量,運(yùn)動(dòng)軌跡由如下方程確定：,2線性諧振子,質(zhì)量為m的粒子在力f=-kx作用下的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)（如雙原子分子;晶體中格點(diǎn)上的原子、離子等）。,兩個(gè)半軸長度,12,13,即相空間中的等能面為橢圓。其面積為,能量不同橢圓也不相同。,14,描述質(zhì)點(diǎn)的位置,考慮r不變：,與共軛的動(dòng)量,質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(設(shè)半徑不變),3轉(zhuǎn)子,轉(zhuǎn)動(dòng)能量,其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,15,兩體或多體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子,廣義動(dòng)量p和p是轉(zhuǎn)子角動(dòng)量的兩個(gè)分量。p是沿Z軸的分量，P是沿變軸的分量，這個(gè)變軸垂直于Z軸和OA所在的平面。,由于位矢r垂直于角動(dòng)量L，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是在垂直于L的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。,A,15,16,兩體或多體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)也可看成一個(gè)轉(zhuǎn)子,角動(dòng)量沿Z軸，質(zhì)點(diǎn)在X,Y平面上，平面轉(zhuǎn)子：,多體能量為,17,一粒子微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述波粒二象性德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都具有波粒二象性(中子衍射)。、p與、k存在德布羅意關(guān)系h普朗克常數(shù)，它的量綱是時(shí)間能量=長度動(dòng)量=角動(dòng)量,不確定關(guān)系(測(cè)不準(zhǔn)原理)微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不可能同時(shí)具有確定的值。用q表示粒子坐標(biāo)的不確定值,p表示動(dòng)量不確定值,6.2粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,18,電子軌道電子出現(xiàn)概率最大的地方。,狀態(tài)的分立性量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為量子態(tài)。它由一組量子數(shù)來表征，其數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)。狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量(如能量等)不連續(xù)狀態(tài)量子化。,5全同性原理全同粒子不可分辨，任意交換一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài).,波函數(shù)描寫態(tài),微觀粒子的和不能同時(shí)具有確定值不是軌道運(yùn)動(dòng)。用波函數(shù)描述狀態(tài)：表示t時(shí)刻處粒子出現(xiàn)的概率密度。,19,20,21,22,23,24,二量子描述例子,（一）.線性諧振子,能量的本征值為,（二）.轉(zhuǎn)子,軌道角動(dòng)量的本征值,經(jīng)典轉(zhuǎn)子的能量,對(duì)于給定的l，角動(dòng)量在Z軸的投影Lz只能取分立值,自旋角動(dòng)量的情況與軌道角動(dòng)量類似。,本征函數(shù)為厄米多項(xiàng)式。,本征函數(shù)為球諧函數(shù)，勒讓德多項(xiàng)式。,25,26,外場(chǎng)中的電子自旋,電子自旋產(chǎn)生磁矩,而,所以,（自旋方向取向量子化）,即外場(chǎng)中的電子自旋狀態(tài)只需要一個(gè)量子數(shù),即可描寫其狀態(tài)，它取兩個(gè)分立值,沿磁場(chǎng)方向,為自旋角動(dòng)量,27,2自由粒子,（1）一維自由粒子：自由運(yùn)動(dòng)的粒子被限制在邊長為L的一維容器中。波函數(shù)要滿足一定的邊界條件，采用周期性條件，即,由,所以,即動(dòng)量只能取分立的值。,負(fù)號(hào)表示反向傳播,量子數(shù),正號(hào)表示正向傳播,28,能量,能量也是分立的。,表明：用一個(gè)量子數(shù)就可以確定粒子的動(dòng)量、能量。粒子狀態(tài)是分立的能級(jí)。各能級(jí)的簡(jiǎn)并性：nx=1是不同狀態(tài)簡(jiǎn)并。能級(jí)間隔大小與L、m成反比，,顯然,若L時(shí)，0，即能量此時(shí)是連續(xù)的。故粒子在宏觀尺度上量子效應(yīng)不顯著，可用經(jīng)典方法描述。,29,（2）三維自由粒子：,設(shè)自由粒子在邊長為L的方盒子中運(yùn)動(dòng)。粒子的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程。由周期性邊界條件得,量子態(tài)即由三個(gè)量子數(shù)來確定。狀態(tài)是量子化的。對(duì)于一定的能量，可包含多個(gè)量子態(tài)能級(jí)簡(jiǎn)并。,簡(jiǎn)并性討論：,30,經(jīng)典粒子的動(dòng)量和能量是連續(xù)的,而在量子描述中,動(dòng)量和能量是分立的,這是局域在有限空間范圍粒子的特性。,六狀態(tài)能量同為,3線性諧振子,用一個(gè)量子數(shù)n描述狀態(tài)；各能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的，即每個(gè)能級(jí)只有一個(gè)量子態(tài)；能級(jí)間隔相同：；存在零點(diǎn)能，即n=0時(shí)能量非零。,31,三、粒子的狀態(tài)與空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系,空間中的體積元為:d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,如：1D：相體積,若對(duì)坐標(biāo)不加限制，則成為,3D：相體積,若對(duì)坐標(biāo)不加限制，則成為,32,由,有,故在V中，粒子的動(dòng)量在間隔，,范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為,在宏觀大小的容器內(nèi)，粒子的動(dòng)量、能量已變得準(zhǔn)連續(xù)。但原則上仍有量子數(shù)的概念。這時(shí)如何考慮自由粒子的量子態(tài)數(shù)？,33,利用不確定關(guān)系解釋,相格：表示粒子的一個(gè)狀態(tài)在空間中占有的體積。則上式可理解為：相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有的量子態(tài)數(shù)為相體積Vdpxdpydpz比上相格。,在空間體積元d內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為,34,由，量子化軌道把空間分成許多體積元，,例1一維自由粒子空間是二維的，一定時(shí)，相軌道是一條線段。,驗(yàn)證了上面結(jié)論。,其體積為,例2線性諧振子空間的等能面是橢圓，面積為,能級(jí)為，,相鄰兩個(gè)狀態(tài)之間所夾的面積為,35,推廣之：粒子的一個(gè)狀態(tài)在空間中占有的體積為相格,四.三維自由粒子的態(tài)密度,1D：相體積dxdpx,若對(duì)坐標(biāo)不限制，相體積Ldpx,其中狀態(tài)數(shù),3D：空間為6維,相格大小為h3,下面分幾種情況討論.,1直角坐標(biāo),組成的體積元內(nèi),粒子的狀態(tài)數(shù)為,36,3若動(dòng)量空間中采用球坐標(biāo)，,在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p+dp,動(dòng)量方向在到+d，到+d內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：,2若對(duì)坐標(biāo)不加限制,內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為,則在V中,動(dòng)量范圍,描述質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,則動(dòng)量空間的體積元：,37,4若對(duì)動(dòng)量的方向不加限制，則在體積V內(nèi)，動(dòng)量絕對(duì)值在p到p+dp的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：,5以能量形式表示,38,D()表示附近單位能量間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù),稱為態(tài)密度。以上的計(jì)算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，還要考慮自旋的貢獻(xiàn)。,表示：在V內(nèi)，在到+d的范圍內(nèi)自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)。,定義：,P188習(xí)題6.1,有限大小體積內(nèi)的態(tài)密度:BalianandBloch:Ann.Phys.60,401-447(1970),39,40,6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同屬性（相同的質(zhì)量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和。(如理想氣體：近獨(dú)立的粒子組成的系統(tǒng)),一基本概念,41,任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化,則整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,經(jīng)典描述單粒子的狀態(tài)要r個(gè)廣義坐標(biāo)和r個(gè)廣義動(dòng)量，N個(gè)粒子系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需要(i=1,2,N)共2N個(gè)變量來確定。在空間中要用N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)某時(shí)刻的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,qi1、qi2、qir；pi1、pi2、pir,二系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述,全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系統(tǒng)中,將兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)加以交換,則系統(tǒng)的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。,42,B)粒子狀態(tài)是分立的。粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài)(單粒子態(tài))。量子態(tài)用一組量子數(shù)表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子態(tài)的量子數(shù)取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對(duì)于N個(gè)粒子的系統(tǒng)，就是確定各個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)。,三系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子描述,A)全同粒子是不可分辨的。交換任何一對(duì)粒子不改變整個(gè)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）,43,1玻耳茲曼系統(tǒng)由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。,確定了每個(gè)粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài),例：設(shè)系統(tǒng)由A、B兩個(gè)粒子組成（定域子）。粒子的個(gè)體量子態(tài)有3個(gè),討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,因此，對(duì)于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即32。一般地為.,A,B,1,2,3,是量子態(tài)數(shù)，a是粒子數(shù)。,44,2不可分辨的全同粒子系統(tǒng)對(duì)于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。,確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、介子自旋為0。由玻色子構(gòu)成的復(fù)合粒子是玻色子，由偶數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限（即不受泡利原理限制）,45,（2）費(fèi)米系統(tǒng)：即自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子組成的系統(tǒng),如電子、質(zhì)子、中子等都是自旋為1/2的費(fèi)米子。由奇數(shù)個(gè)費(fèi)米子構(gòu)成的復(fù)合粒子也是費(fèi)米子。,粒子不可分辨，每個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多能容納一個(gè)粒子（費(fèi)米子遵從泡利原理）。,上例變?yōu)?A=B),兩個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有6種方式,46,仍為A=B,兩個(gè)費(fèi)米子占據(jù)3個(gè)量子態(tài)有3種占據(jù)方式,對(duì)于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數(shù)、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數(shù)也是不同的。上例僅為兩個(gè)粒子組成的系統(tǒng)、三個(gè)量子態(tài)。對(duì)于大量微觀粒子組成的實(shí)際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數(shù)目是大量的。,分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)的兩個(gè)粒子占據(jù)三個(gè)量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數(shù),47,（以氣體自由膨脹為例）：一個(gè)被隔板分為A、B相等兩部分的容器，裝有4個(gè)涂以不同顏色分子。,開始時(shí)，4個(gè)分子都在A部，抽出隔板后分子將向B部擴(kuò)散并在整個(gè)容器內(nèi)無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如下圖所示：,6.4等概率原理,宏觀態(tài)與微觀態(tài),48,微觀態(tài)共有24=16種可能的方式，而且4個(gè)分子全部退回到A部的可能性即幾率為1/24=1/16。,49,50,宏觀態(tài)與微觀態(tài)的關(guān)系：宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)。用少數(shù)幾個(gè)宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學(xué)狀態(tài)。確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))；不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費(fèi)米系),確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率就能用統(tǒng)計(jì)的方法求出微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，從而求出相應(yīng)宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的基本問題。,宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)；宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。,51,對(duì)于孤立系統(tǒng),會(huì)出現(xiàn)大量的微觀狀態(tài)。這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的N、E、V的宏觀條件。從能量上講這些微觀狀態(tài)應(yīng)是平權(quán)的。等概率原理是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的一個(gè)基本假設(shè)，是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)理論的基礎(chǔ)。不能直接從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證。它的正確性在于從它推出的各種結(jié)論上的正確性。例靜止容器中平衡態(tài)氣體平動(dòng)動(dòng)能為零；重力場(chǎng)中平衡態(tài)氣體壓強(qiáng)按高度分布。,二.等概率原理：擲色子對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的！,52,6.5分布和微觀狀態(tài),大量全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，有確定的N,E,V(孤立系)。,一、分布,若確定了各能級(jí)上的粒子數(shù)，則確定了系統(tǒng)的一個(gè)分布。,簡(jiǎn)并度,粒子數(shù),N粒子系統(tǒng)的能級(jí),即：能級(jí)1上有a1個(gè)粒子，能級(jí)2上有a2個(gè)粒子，。這就給出一個(gè)分布，即數(shù)列al,滿足約束條件,53,分布只表示每一個(gè)能級(jí)上有多少個(gè)粒子。一種分布包含大量的微觀狀態(tài)。每一種不同的占據(jù)方式都是不同的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。對(duì)一個(gè)確定的分布，它相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是確定的。,二、分布al包含的微觀狀態(tài)數(shù)（量子描述）,1玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))：,粒子可以分辨(可編號(hào))，每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不限。(1)al個(gè)粒子占據(jù)l上的l個(gè)量子態(tài)的占據(jù)方式數(shù):(2)各個(gè)能級(jí)都考慮在內(nèi)，系統(tǒng)總的占據(jù)方式數(shù):(3)由于粒子可分辨，能級(jí)之間粒子的交換是新的占據(jù)方式），能級(jí)之間粒子的交換有種不同的交換方式。（未改變分布）,54,例：系統(tǒng)有6個(gè)可分辨粒子，共兩個(gè)能級(jí)，1=3，2=4給定分布：a1=4,a2=2,(4)系統(tǒng)分布al包含的總微觀狀態(tài)數(shù)為,能級(jí)之間粒子交換的方式數(shù)目為,55,2玻色系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數(shù),粒子不可分辨，交換任意一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。,例如：,規(guī)定：粒子占據(jù)左邊的量子態(tài)。,這樣就確定了每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)，即確定了一種占據(jù)方式（一個(gè)微觀態(tài)）。,改變排列，可得到新的占據(jù)方式。,56,粒子和量子態(tài)之間的交換會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式：,量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換不產(chǎn)生新的占據(jù)方式：,顯然，粒子和粒子之間的交換不會(huì)產(chǎn)生新的占據(jù)方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產(chǎn)生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數(shù),57,量子態(tài)交換數(shù),粒子交換數(shù),各種交換共有種可能的方式。,（2）將各種能級(jí)的結(jié)果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布al相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,例：三個(gè)量子態(tài)，2個(gè)玻色子,58,粒子不可分辨，每一個(gè)量子態(tài)最多能容納一個(gè)粒子。al個(gè)粒子占據(jù)能級(jí)l上的l個(gè)量子態(tài)，占據(jù)方式數(shù)為：從l個(gè)量子態(tài)中選取al個(gè)量子態(tài)讓al個(gè)粒子占據(jù)，即,3費(fèi)米系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數(shù)：,將各能級(jí)的結(jié)果相乘，得到費(fèi)米系統(tǒng)與分布al相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：,59,三、經(jīng)典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系,若滿足,稱為經(jīng)典極限條件(或非簡(jiǎn)并性條件),此時(shí)有,即在經(jīng)典極限條件下,反映粒子全同性原理,60,四經(jīng)典系統(tǒng)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù),經(jīng)典粒子狀態(tài)由q1qr，p1pr的值確定。N粒子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)空間中的N個(gè)點(diǎn)。,坐標(biāo)和動(dòng)量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數(shù)。處理如下,第一步：空間各軸上取間隔dq1dqr,dp1dpr圍成體積元d=dq1dq2dqrdp1dp2dprh0r若體積元很小,其內(nèi)各點(diǎn)的狀態(tài)都看作相同相格.,即：處于同一相格內(nèi)的各代表點(diǎn)狀態(tài)都相同。不同相格內(nèi)代表點(diǎn)的狀態(tài)不同。每個(gè)相格就是一個(gè)狀態(tài)。在一定的相體積內(nèi)包含多少相格，則此體積中就有多少個(gè)力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（微觀態(tài)）。經(jīng)典力學(xué)中h0可以任意??；量子力學(xué)中h0最小為h。,61,第二步：,再把空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分別為1、2、l、，每層內(nèi)包含許多相格。同一能層內(nèi)各狀態(tài)(代表點(diǎn))的能量相同.（能層很?。?不同能層中各點(diǎn)的能量則不同。,某能量層的體積為l，則此層內(nèi)包含的相格數(shù)為,這些相格的狀態(tài)不同，但具有相同的能量，故相當(dāng)于量子描述中的簡(jiǎn)并度。于是有分布,“簡(jiǎn)并度”,粒子數(shù),能級(jí),給定了一種分布al,62,得到,63,6.6玻耳茲曼分布,一、玻爾茲曼分布的推導(dǎo)（M.B.系統(tǒng)）,1寫出分布及對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù),微觀狀態(tài)數(shù)是分布al的函數(shù)，可能存在這樣一個(gè)分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)最多。根據(jù)等概率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,64,2取對(duì)數(shù)，用斯特令公式化簡(jiǎn),斯特林近似公式,要求,要求,65,3拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對(duì)上式做一次微分，對(duì)于極值，一次微分為零,高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）第六版，同濟(jì)大學(xué)編P113,66,由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對(duì)上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,67,即,稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,這里的物理意義見P227頁（8.1.9）式，對(duì)應(yīng)守恒量,68,拉氏乘子、由約束條件決定：,kB是玻爾茲曼常量,是化學(xué)勢(shì),68,69,二、粒子按量子態(tài)的分布,某量子態(tài)s上的平均粒子數(shù),1按量子態(tài)的分布函數(shù),約束條件為,粒子處于第l能級(jí)上的概率為,粒子處于某量子態(tài)s上的概率為,70,三、對(duì)玻耳茲曼分布的幾點(diǎn)說明,要證明極大，二階導(dǎo)數(shù)須小于零。,故上