山東省冠縣武訓(xùn)高級(jí)中學(xué)2020高二數(shù)學(xué) 1-2 第1課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

山東省冠縣武訓(xùn)高級(jí)中學(xué)2020高二數(shù)學(xué) 1-2 第1課時(shí) 等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式知能目標(biāo)解讀1.通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，并會(huì)用等差數(shù)列的概念判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法.3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，能用函數(shù)的觀點(diǎn)解決等差數(shù)列問(wèn)題.4.掌握等差中項(xiàng)的定義，并能運(yùn)用它們解決問(wèn)題.5.能用等差數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念.難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其運(yùn)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.等差數(shù)列的定義（1）關(guān)于等差數(shù)列定義的理解，關(guān)鍵注意以下幾個(gè)方面：如果一個(gè)數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差盡管等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同，當(dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，此數(shù)列不是等差數(shù)列.求公差時(shí)，要注意相鄰兩項(xiàng)相減的順序.d=an+1-an(nN+)或者d=an-an-1 (nN+且n2).（2）如何證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列?要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只需證明對(duì)任意正整數(shù)n,an+1-an是同一個(gè)常數(shù)(或an-an-1 (n1)是同一個(gè)常數(shù)).這里所說(shuō)的常數(shù)是指一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).注意:判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的定義式：an+1-an=d(d為常數(shù)).若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，可舉一個(gè)特例進(jìn)行否定，也可以證明an+1-an或an-an-1 (n1)不是常數(shù)，而是一個(gè)與n有關(guān)的變數(shù)即可.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式的推導(dǎo)常用方法：方法一（疊加法）：an是等差數(shù)列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.將以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差數(shù)列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即an=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差數(shù)列，則有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法是以后解決數(shù)列題的常用方法，應(yīng)注意體會(huì)并應(yīng)用.（2）通項(xiàng)公式的變形公式在等差數(shù)列an中，若m，nN+，則an=am+(n-m)d.推導(dǎo)如下：對(duì)任意的m,nN+，在等差數(shù)列中，有am=a1+(m-1)dan=a1+(n-1)d 由-得an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.注意：將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d變形整理可得an=dn+a1-d，從函數(shù)角度來(lái)看，an=dn+(a1-d)是關(guān)于n的一次函數(shù)(d0時(shí))或常數(shù)函數(shù)(d=0時(shí))，其圖像是一條射線上一些間距相等的點(diǎn)，其中公差d是該射線所在直線的斜率，從上面的變形公式可以知道，d= (nm).（3）通項(xiàng)公式的應(yīng)用利用通項(xiàng)公式可以求出首項(xiàng)與公差;可以由首項(xiàng)與公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng);若某數(shù)為等差數(shù)列中的一項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù).3.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是些正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d0時(shí)，an為遞增數(shù)列，如圖（甲）所示.當(dāng)d0時(shí)，an是數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，an是數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，an是數(shù)列.答案1.差同一個(gè)常數(shù)2.a與b的等差中項(xiàng)3.（1）an-an-1=d(常數(shù))(2)等差數(shù)列（3）4.an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d5.遞增常遞減思路方法技巧命題方向等差數(shù)列的定義及應(yīng)用例1判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.（1）an=3n+2；（2）an=n2+n.分析利用等差數(shù)列定義，看an+1-an是否為常數(shù)即可.解析(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+).由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列.說(shuō)明利用定義法判斷等差數(shù)列的關(guān)鍵是看an+1-an得到的結(jié)論是否是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，若是，即為等差數(shù)列，若不是，則不是等差數(shù)列.至于它到底是一個(gè)什么樣的數(shù)列，這些不再是我們研究的范疇. 1 n=1變式應(yīng)用1試判斷數(shù)列cn，cn= 是否為等差數(shù)列. 2n-5n2解析c2-c1=-1-1=-2,cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n2).cn+1-cn(n1)不等于同一個(gè)常數(shù)，不符合等差數(shù)列定義.cn不是等差數(shù)列.命題方向等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a5=11,a8=5,求a11.分析利用通項(xiàng)公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通項(xiàng)公式的變形形式an=am+(n-m)d求解.解析解法一：設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知，得 a1+4d=11 a1=19 解得 .a1+7d=5 d=-2a11=19+(11-1)(-2)=-1.解法二：a8=a5+(8-5)d,d=-2.a11=a8+(11-8)d=5+3(-2)=-1.說(shuō)明(1)對(duì)于解法一，根據(jù)方程的思想，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出a1和d，確定通項(xiàng)，此法也稱為基本量法.(2)對(duì)于解法二，根據(jù)通項(xiàng)公式的變形公式為：am=an+(m-n)d,m,nN+，進(jìn)一步變形為d=，應(yīng)注意掌握對(duì)它的靈活應(yīng)用.變式應(yīng)用2已知等差數(shù)列an中，a10=29,a21=62,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng). a10=a1+9d=29解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則有 ， a21=a1+20d=62解得a1=2,d=3.an=2+(n-1)33n-1.令an3n-1=91,得n=N+.91不是此數(shù)列中的項(xiàng).命題方向等差中項(xiàng)的應(yīng)用例3已知a,b,c成等差數(shù)列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列？分析已知a,b,c成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的定義，可知a+c=2b,然后要證其他三項(xiàng)a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差數(shù)列，同樣考慮等差中項(xiàng).當(dāng)然需用到已知條件a+c=2b.解析因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差數(shù)列.說(shuō)明本題主要考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用，如果a,b,c成等差數(shù)列，則有a+c=2b;反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.變式應(yīng)用3已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x1=3,通項(xiàng)xn=2np+nq(nN,p,q為常數(shù))，且x1、x4、x5成等差數(shù)列.求：p,q的值.分析由x1、x4、x5成等差數(shù)列得出一個(gè)關(guān)于p,q的等式，結(jié)合x1=3推出2p+q=3,從而得到p,q.解析由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得325p+5q=25p+8q,由得q=1,p=1.說(shuō)明若三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則a+c=2b,即b為a,c的等差中項(xiàng)，這個(gè)結(jié)論在已知等差數(shù)列的題中經(jīng)常用到.探索延拓創(chuàng)新命題方向等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例4某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬(wàn)元，從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解析由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an,則an-an-1=-20,(n2,nN),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an,且首項(xiàng)a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)(-20)=-20n+220.若an0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an-20n22011,即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.說(shuō)明關(guān)于數(shù)列的應(yīng)用題，首先要建立數(shù)列模型將實(shí)際問(wèn)題數(shù)列化.變式應(yīng)用42020年將在倫敦舉辦奧運(yùn)會(huì)，倫敦將會(huì)有很多的體育場(chǎng)，為了實(shí)際效果，體育場(chǎng)的看臺(tái)一般呈“輻射狀”.例如，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)座位是這樣排列的：第一排有150個(gè)座位，從第二排起每一排都比前一排多20個(gè)座位，你能用an表示第n排的座位數(shù)嗎？第10排可坐多少人？分析分析題意知，看臺(tái)上的每一排的座位數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列.解析由題意知，每排的座位數(shù)組成了一個(gè)首項(xiàng)為a1=150,公差為d=20的等差數(shù)列，an=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,則a10=330,即第10排可坐330人.名師辨誤做答例5已知數(shù)列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）求an的通項(xiàng)公式.誤解（1）an=an-1+2,an-an-1=2(為常數(shù))，an是等差數(shù)列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.辨析忽視首項(xiàng)與所有項(xiàng)之間的整體關(guān)系，而判斷特殊數(shù)列的類型是初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤.事實(shí)上，數(shù)列an從第2項(xiàng)起，以后各項(xiàng)組成等差數(shù)列，而an不是等差數(shù)列，an=f(n)應(yīng)該表示為“分段函數(shù)”型.正解（1）當(dāng)n3時(shí)，an=an-1+2,即an-an-1=2.當(dāng)n=2時(shí)，a2-a1=0不滿足上式.an不是等差數(shù)列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.當(dāng)n3時(shí)，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又a1=1不滿足此式. 1 (n=1)an= .2n-3 (n2)課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.（2020重慶文，1）在等差數(shù)列an中,a2=2,a3=4,則a10=（）A.12B.14C.16D.18答案D解析該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由其兩項(xiàng)求公差d.由a2=2,a3=4知d=2.a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=3-2n,則它的公差為（）A.2B.3C.2D.3答案C解析an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公差為2，故選C.3.方程x2-6x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為（）A.1B.2C.3D.4答案C解析設(shè)方程x2-6x+1=0的兩根為 x1、x2,則x1+x2=6.其等差中項(xiàng)為=3.二、填空題4.在等差數(shù)列an中，a2=3,a4=a2+8,則a6=.答案19解析a2=3,a4=a2+8, a1+d=3 a1=-1 , 解得 .a1+3d=a1+d+8 d=4a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知a、b、c成等差數(shù)列，那么二次函數(shù)y=ax2+2bx+c(a0)的圖像與x軸的交點(diǎn)有 個(gè).答案1或2解析a、b、c成等差數(shù)列，2b=a+c,又=4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)20.三、解答題6.在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求通項(xiàng)公式an. a1+4d=10 a1=2解析由題意得 , 解得 .a1+11d=31 d=3an=-2+(n-1)33n-5.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.等差數(shù)列1，-1，-3，-5，-89，它的項(xiàng)數(shù)為（）A.92B.47C.46D.45答案C解析a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得n=46.2.如果數(shù)列an是等差數(shù)列，則（）A.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5答案B解析設(shè)公差為d,則a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,a1+a8=a4+a5.3.已知數(shù)列3,9,15,3(2n-1),那么81是它的第（）A.12項(xiàng)B.13項(xiàng)C.14項(xiàng)D.15項(xiàng)答案C解析由3(2n-1)=81,解得n=14.4.在等差數(shù)列an中，a2=-5,a6=a4+6,則a1等于（）A.-9 B.-8 C.-7 D.-4答案B a1+d=-5解析由題意，得 ，a1+5d=a1+3d+6解得a1=-8.5.數(shù)列an中，a1=2,2an+1=2an+1,則a101的值是（）A.49B.50C.51D.52答案D解析由2an+1=2an+1得an+1-an=，an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=2,公差d=,an=2+ (n-1)= ,a101=52.6.已知a=,b=,則a,b的等差中項(xiàng)為（）A. B. C. D. 答案A解析=.7.設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12，前三項(xiàng)積為48，則它的首項(xiàng)為（）A.1B.2C.4D.3答案B a1+a2+a3=12 a1+a3=8解析由題設(shè) ，,a2=4,a1a2a3=48 a1a3=12a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的兩根，又a3a1,a1=2.8.an是首項(xiàng)為a1=4,公差d=2的等差數(shù)列，如果an=2020,則序號(hào)n等于（）A.1003B.1004C.1005D.1006答案 C解析 a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,2n+2=2020,n=1005.二、填空題9.三個(gè)數(shù)lg(-),x,lg(+)成等差數(shù)列，則x=.答案0解析由等差中項(xiàng)的運(yùn)算式得x=0. 10.一個(gè)等差數(shù)列的第5項(xiàng)a2=10,且a1+a2+a3=3,則a1=,d=.答案-2,3 a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=-2解析由題意得 , 即 ， . a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=311.等差數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為x，2x+1，4x+2，則它的第5項(xiàng)為.答案4解析2(2x+1)=x+(4x+2),x=0,則a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,a5=a1+4d=4.12.在數(shù)列an中，a1=3，且對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)（,）在直線x-y-=0上，則an=.答案3n2解析由題意得 - =,數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， =n,an=3n2.三、解答題13.在等差數(shù)列an中：(1)已知a5=-1,a8=2,求a1與d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. a1+(5-1)d=-1 a1=-5解析(1)由題意知 ，解得 .a1+(8-1)d=2 d=1 a1+a1+(6-1)d=12 a1=1（2）由題意知 ，解得 ，a1+(4-1)d=7， d=2a9=a1+(9-1)d=1+82=17.14.已知函數(shù)f(x)= ，數(shù)列xn的通項(xiàng)由xn=f(xn-1) (n2,且nN+)確定.(1)求證：是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1=時(shí)，求x100.解析(1)xn=f(xn-1)= (n2,nN+)，所以=+，-= (n2,nN+).所以是等差數(shù)列；(2)由(1)知的公差為.又因?yàn)閤1=,即2.所以=2+(n-1)，=2+(100-1)=35.所以x100=.15.已知等差數(shù)列an中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析顯然a6是a5和a7的等差中項(xiàng)，可利用等差中項(xiàng)的定義求解a5和a7，進(jìn)而求an.解析設(shè)a5=a6-d,a7=a6+d,則由a5+a6+a7=15,得3a6=15,a6=5. a5+a7=10 a5=1 a59由已知可得 ，解得 或 a5a7=9 a7=9 a7=1當(dāng)a5=1時(shí)，d=4,從而a1=-15,an=-15+(n-1)4=4n-19.當(dāng)a5=9時(shí)，d=-4,從而a1=25.an=25+(n-1)（-4）4n+29.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=4n19或an=-4n+29.16.第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算.(1)試寫出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)2020年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？2050年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？解析(1)由題意知，舉行奧運(yùn)會(huì)的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)以1896為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN+).（2）假設(shè)an=2020，由2020=1892+4n,得n=29.假設(shè)an=2050,2050=1892+4n無(wú)正整數(shù)解.所以2020年北京奧運(yùn)會(huì)是第29屆，2050年不舉行奧運(yùn)會(huì).第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)知能目標(biāo)解讀1.掌握等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì).2.理解等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性.3.能夠熟練應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).難點(diǎn)：應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.等差數(shù)列的公差與斜率的關(guān)系（1）一次函數(shù)f(x)=kx+b(k0)的圖像是一條直線，斜率k= (x1x2).當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)=b,上式仍然成立.（2）等差數(shù)列an的公差本質(zhì)上是相應(yīng)直線的斜率.特別地，如果已知等差數(shù)列an的任意兩項(xiàng)an,am,由an=am+(n-m)d,類比直線方程的斜率公式得d= (mn).2.等差數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì)若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則（1）an去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公差為d的等差數(shù)列；（2）奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n-1是公差為2d的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n是公差為2d的等差數(shù)列；（3）若kn是等差數(shù)列，則akn也是等差數(shù)列.知能自主梳理1.等差數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的性質(zhì)（1）兩項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(m、nN+).(2)多項(xiàng)關(guān)系項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，則=ap+aq.特別地，若m+n=2p(m、n、pN+)，則am+an=.2.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和（若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的2倍），即a1+an=a2+=ak+=2a (其中n為奇數(shù)且n3).3.等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若an是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：c+an(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為的等差數(shù)列；ank(kN+)是公差為的等差數(shù)列.(2)若an、bn分別是公差為d1、d2的等差數(shù)列，則數(shù)列pan+qbn(p、q是常數(shù))是公差為的等差數(shù)列.答案1.(n-m)dam+an2ap2.an-1an-k+13.dcdkdpd1+qd2思路方法技巧命題方向運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)an=am+(n-m)d(m、nN+)解題例1若數(shù)列an為等差數(shù)列，ap=q,aq=p(pq)，則ap+q為（）A.p+qB.0C.-(p+q) D.分析本題可用通項(xiàng)公式求解.利用關(guān)系式an=am+(n-m)d求解.利用一次函數(shù)圖像求解.答案B解析解法一：ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d, a1+(p-1)d=qa1+(q-1)d=p-，得（p-q）d=q-p.pq,d=-1.代入，有a1+(p-1)(-1)=q,a1=p+q-1.故ap+q=a1+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)(-1)=0.應(yīng)選B.解法二：ap=aq+(p-q)d,q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.pq,d=-1.故ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.應(yīng)選B.解法三：不妨設(shè)p0,d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2，0，2，4.解法二：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,a+d,a+2d,a+3d(公差為d)，依題意，2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a(bǔ)=1-d代入a(a+3d)=-8,得（1-d）(1+d)=-8,即1-d2=-8,化簡(jiǎn)得d2=4,d=2或-2.又知四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，d0,d=2,a=-2.故所求的四個(gè)數(shù)為-2，0，2，4.說(shuō)明此題設(shè)法很重要，一般地有如下規(guī)律：（1）若所給等差數(shù)列為2n(nN+)項(xiàng)，則可設(shè)為： a-(2n-1)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-1)d,此數(shù)列的公差為2d.(2)若所給等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-1(nN+)項(xiàng),則這個(gè)數(shù)列可設(shè)為：a-(n-1)d,a-d,a,a+d,a+(n-1)d,這個(gè)數(shù)列的公差為d.變式應(yīng)用3已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個(gè)數(shù).解析設(shè)這五個(gè)數(shù)依次為a-2d,a-d,a,a+d, a+2d,由題意，得5a=5 (a-2d) 2+(a-d)2+a2+(a+d) 2+(a+2d) 2 = a=1解得 d2= a=1 d=故這五個(gè)數(shù)為-，1，或，1，-.名師辨誤做答例4在等差數(shù)列an中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6=.誤解39a2+a3=13,a5=a2+a3=13,a4+a5+a6=3a5=39.辨析誤解過(guò)程中，a2+a3=a5是錯(cuò)誤的，在運(yùn)用等數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m、n、p、qN+)，則am+an=ap+aq”的過(guò)程中，一定要明確條件“m+n=p+q(m、n、p、qN+)”的內(nèi)在含義.正解42設(shè)公差為d,a2+a3=13,2a1+3d=13,又a1=2,d=3.a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.已知an為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于（）A.4B.5C.6D.7答案C解析an為等差數(shù)列，a2+a8=2a5,2a5=12,a5=6.2.如果等差數(shù)列an中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7=（）A.14B.21C.28D.35答案C解析a3+a4+a5=12，3a4=12,a4=4.a1+a2+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.3.等差數(shù)列an中，a4+a5=15,a7=12,則a2=（）A.3B.-3C. D.- 答案A解析a4+a5=15,a2+a7=a4+a5=15,又a7=12.a2=3.二、填空題4.在等差數(shù)列an中，a3=7,a5=a2+6，則a6=.答案13解析設(shè)公差為d,a5=a2+6,a5-a2=3d=6,a6=a3+3d=7+6=13.5.等差數(shù)列an中，若a2+a4022=4,則a2020.答案2解析an為等差數(shù)列，2a2020=a2+a4022,a2020=2.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知等差數(shù)列an中，a3=5,a5=9,則a7=（）A.11B.12C.13D.14答案C解析設(shè)公差為d,a5-a3=2d,2d=4,又a7=a5+2d=9+4=13.2.在等差數(shù)列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8=（）A.45B.75C.180D.300答案C解析由a3+a7=a4+a6=2a5，得a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,a5=90.a2+a8=2a5=180.3.下列命題中正確的是（）A.若a,b,c成等差數(shù)列，則a2,b2,c2成等差數(shù)列B.若a,b,c成等差數(shù)列，則log2a,log2b,log2c成等差數(shù)列C.若a,b,c成等差數(shù)列，則a+2，b+2,c+2成等差數(shù)列D.若a,b,c成等差數(shù)列，則2a，2b,2c成等差數(shù)列答案C解析a,b,c成等差數(shù)列，2b=a+c,2b+4=a+c+4,即2（b+2）=(a+2)+(c+2),a+2,b+2,c+2成等差數(shù)列.4.已知等差數(shù)列an中，a7+a916,a4=1，則a12等于（）A.15B.30C.31D.64答案A解析a7+a9=2a8=16,故a8=8.在等差數(shù)列an中，a4,a8,a12成等差數(shù)列，所以a12=2a8-a4=16-1=15.5.已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0,則有（）A.a1+a1010 B.a2+a1000,a3=-6,a7=2. a1+2d=-6a1+6d=2故a1=-10,d=2,an=2n-12.15.已知數(shù)列an,an=2n-1,bn=a2n-1.(1)求bn的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列bn是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由.解析an=2n-1,bn=a2n-1,b1=a1=1,b2=a3=5,b3a5=9，bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.(2)由bn=4n-3知bn-1=4(n-1)-3=4n-7.bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4,bn是首項(xiàng)b1=1,公差為4的等差數(shù)列.16.有一批影碟機(jī)原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷售.甲商場(chǎng)用如下的方法促銷；買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類推，每多買一臺(tái)則所買各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)最低價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷售.某單位購(gòu)買一批此類影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)買花費(fèi)較少.解析設(shè)單位需購(gòu)買影碟機(jī)n臺(tái)，在甲商場(chǎng)購(gòu)買每臺(tái)售價(jià)不低于440元，售價(jià)依臺(tái)數(shù)n成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列為an.an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an440即800-20n440，得n18.當(dāng)購(gòu)買臺(tái)數(shù)小于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800-20n，在臺(tái)數(shù)大于等于18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為440元.到乙商場(chǎng)購(gòu)買，每臺(tái)售價(jià)為80075%=600元.作差：（800-20n）n-600n=20n（10-n），當(dāng)n10時(shí)，600n(800-20n)n，當(dāng)n=10時(shí)，600n=(800-20n)n，當(dāng)10n18時(shí)（800-20n）n18時(shí)，440n660n.答：當(dāng)購(gòu)買少于10臺(tái)時(shí)到乙商場(chǎng)花費(fèi)較少，當(dāng)購(gòu)買10臺(tái)時(shí)到兩商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)相同，當(dāng)購(gòu)買多于10臺(tái)時(shí)到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少.第3課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和知能目標(biāo)解讀1.理解并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)過(guò)程，能夠應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等差數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題.2.體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系，能用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)基本量a1,d,n,an,Sn之間的聯(lián)系，能夠由其中的任意三個(gè)求出其余的兩個(gè).4.進(jìn)一步熟悉由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)的方法.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，掌握前n項(xiàng)和公式，會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.體會(huì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系.難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用公式解題時(shí)公式的選取.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中涉及五個(gè)量a1,d,n,an,Sn,已知其中任意三個(gè)就可以列方程組求另外兩個(gè)（簡(jiǎn)稱“知三求二”），它是方程思想在數(shù)列中的體現(xiàn).2.等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，用的是倒序相加法，要注意體會(huì)這種求和方法的適用對(duì)象和操作程序，并能用來(lái)解決與之類似的求和問(wèn)題.注意公式Sn=,Sn=na1+d，Sn=nan-d之間可以相互轉(zhuǎn)化.3.Sn是n的二次函數(shù)，an不一定是等差數(shù)列.如果Sn=an2+bn+c，則在c=0時(shí)an是等差數(shù)列，在c0時(shí)an不是等差數(shù)列；反過(guò)來(lái)an是等差數(shù)列，Sn的表達(dá)式可以寫成Sn=an2+bn的形式，但當(dāng)an是不為零的常數(shù)列時(shí)，Sn=na1是n的一次函數(shù).知能自主梳理1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1,公差為d,則前n項(xiàng)和Sn=.2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列an的前k項(xiàng)和為Sk,則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成公差為的等差數(shù)列.（2）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則也是.答案1. na1+d2.(1)k2d(2)等差數(shù)列思路方法技巧命題方向有關(guān)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算例1已知等差數(shù)列an中，（1）a1=,d=-,Sn=-15,求n和an;（2）a1=1,an=-512，Sn=-1022,求公差d.分析a1,d,n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量表示，五個(gè)基本量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”.解析(1)Sn=n+（-）=-15，整理，得n2-7n-60=0.解之得n=12或n=-5(舍去).a12=+ (12-1)（-）=-4.(2)由Sn=-1022,解之