數(shù)字信號(hào)處理

.,現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課程回顧,第一章時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的分析第二章維納濾波和卡爾曼濾波第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器第四章功率譜估計(jì)第五章時(shí)頻分析,.,第一章時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)的分析,主要內(nèi)容：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)序列通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間序列信號(hào)模型,.,對(duì)一個(gè)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)描述，可以由這個(gè)序列的自相關(guān)函數(shù)來(lái)高度概括。對(duì)一平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，只要知道它的自相關(guān)函數(shù)，就等于知道了該隨機(jī)信號(hào)的主要數(shù)字特征。,自相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)：,.,.,各態(tài)遍歷性：,只要一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)間充分長(zhǎng)的過(guò)程能夠表現(xiàn)出各個(gè)實(shí)現(xiàn)的特征，就可以用一個(gè)實(shí)現(xiàn)來(lái)表示總體的特性。,x(n)=mx=EX(n),x*(n)x(n+m)=rxx(m)=EX*(n)X(n+m),.,功率密度譜：,維納辛欽定理（Wiener-KhinchinTheorem）,Pxx()0,.,隨機(jī)序列數(shù)字特征的估計(jì)：,估計(jì)準(zhǔn)則：無(wú)偏性、有效性、一致性均值的估計(jì)：方差的估計(jì)：自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)：,.,平穩(wěn)隨機(jī)序列通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)：,.,相關(guān)卷積定理：,卷積的相關(guān)函數(shù)等于相關(guān)函數(shù)的卷積,ref(m)=rac(m)*rbd(m),ryy(m)=rxx(m)*v(m)=rxy(m)*h(-m),.,時(shí)間序列信號(hào)模型：,MA模型,ARMA模型,AR模型,.,濾波器階數(shù)：對(duì)于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，階數(shù)是指p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。對(duì)于FIR濾波器或者M(jìn)A模型的階數(shù)，則是指q的大小，或者說(shuō)是它的長(zhǎng)度減1。三種信號(hào)模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性，但是對(duì)于同一時(shí)間序列用不同信號(hào)模型表示時(shí)，卻有不同的效率。這里說(shuō)的效率,指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。,.,譜分解定理：如果功率譜Pxx(ej)是平穩(wěn)隨機(jī)序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個(gè)零極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),滿(mǎn)足,式中，ak,bk都是實(shí)數(shù)，a0=b0=1,且|k|1,|k|1。,.,自相關(guān)函數(shù)、功率譜、時(shí)間序列信號(hào)模型三者之間關(guān)系,.,第二章維納濾波和卡爾曼濾波,主要內(nèi)容：FIR維納濾波求解非因果IIR維納濾波求解因果IIR維納濾波求解維納純預(yù)測(cè)維納一步線(xiàn)性預(yù)測(cè)卡爾曼濾波,.,x(n)=s(n)+v(n),最佳濾波器：,.,正交性原理：,要使均方誤差為最小，須滿(mǎn)足,Ex(n-j)e*(n)=0j=0,1,2,分析：上式說(shuō)明，均方誤差達(dá)到最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)的輸入信號(hào)正交，這就是通常所說(shuō)的正交性原理。,.,維納霍夫方程：,維納-霍夫（WienerHopf）方程：,.,FIR維納濾波求解：,k=0,1,2,.,設(shè)定d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換，得到,Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z),非因果IIR維納濾波求解：,信號(hào)和噪聲不相關(guān)時(shí),.,因果IIR維納濾波求解：,對(duì)于因果IIR維納濾波器，其維納霍夫方程為,k=0,1,2,.,圖2.3.5利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程,利用白化x(n)的方法求解維納-霍夫方程:,.,因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為,因果維納濾波的最小均方誤差為,.,通過(guò)前面的分析,因果維納濾波器設(shè)計(jì)的一般方法可以按下面的步驟進(jìn)行：(1)根據(jù)觀(guān)測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出它所對(duì)應(yīng)的信號(hào)模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解的方法得到B(z)。(2)求的Z反變換，取其因果部分再做Z變換，即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得(3)積分曲線(xiàn)取單位圓，應(yīng)用（2.3.38）式和（2.3.39）式，計(jì)算Hopt(z),E|e(n)|2min。,.,維納預(yù)測(cè)：,圖2.4.1(b)維納預(yù)測(cè)器,圖2.4.1(a)維納濾波器,.,純預(yù)測(cè)：假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，純預(yù)測(cè)問(wèn)題是在v(n)=0情況下對(duì)s(n+N),N0的預(yù)測(cè)，此時(shí)x(n)=s(n)。因果情況下，假設(shè)s(n)與v(n)不相關(guān)，純預(yù)測(cè)情況下,.,一步線(xiàn)性預(yù)測(cè)：,采用p個(gè)最近的采樣值來(lái)預(yù)測(cè)時(shí)間序列下一時(shí)刻的值，包括前向預(yù)測(cè)和后向預(yù)測(cè)兩種。,.,前向預(yù)測(cè)：,.,得到下面的方程組：,將方程組寫(xiě)成矩陣形式（Yule-Walker方程）,.,后向預(yù)測(cè)：,.,維納霍夫方程,Yule-Walker方程,.,Levinson-Durbin算法：,Levinson-Durbin的一般遞推公式如下：,.,卡爾曼濾波：,利用狀態(tài)方程和遞推方法尋找最小均方誤差下?tīng)顟B(tài)變量的估計(jì)值，即,.,假設(shè)某系統(tǒng)k時(shí)刻的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測(cè)方程（也稱(chēng)為輸出方程）表示為,Ak為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，描述系統(tǒng)狀態(tài)由時(shí)間k-1的狀態(tài)到時(shí)間k的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移；Ck為量測(cè)矩陣，描述狀態(tài)經(jīng)其作用，變成可量測(cè)或可觀(guān)測(cè)的；xk為狀態(tài)向量，是不可觀(guān)測(cè)的；yk為觀(guān)測(cè)向量；wk為過(guò)程噪聲；vk為量測(cè)噪聲。,.,第三章自適應(yīng)數(shù)字濾波器,主要內(nèi)容：LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器LMS自適應(yīng)格型濾波器最小二乘（LS）濾波自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用,.,LMS自適應(yīng)橫向?yàn)V波器：,e(n)=d(n)-y(n),.,最佳權(quán)矢量W*和最小均方誤差：,.,其中,是一個(gè)控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量，稱(chēng)之為收斂因子。方向是性能函數(shù)下降最快的方向，因此稱(chēng)為最陡梯度下降法。,Widrow-HoffLMS算法：,最陡下降法：,.,Widrow-HoffLMS算法：,采用梯度的估計(jì)值代替梯度的精確值。,LMS算法加權(quán)矢量是在最陡下降法加權(quán)矢量附近隨機(jī)變化的，其統(tǒng)計(jì)平均值等于最陡下降法的加權(quán)矢量。,.,圖3.2.10LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差,.,值的影響對(duì)穩(wěn)定性的影響：,對(duì)收斂速度的影響：,.,預(yù)測(cè)誤差格型濾波器：,.,LMS自適應(yīng)格型濾波器：,在滿(mǎn)足預(yù)測(cè)誤差的均方值最小的準(zhǔn)則下，最佳自適應(yīng)格型濾波器求解關(guān)鍵在于計(jì)算出反射系數(shù)。其方法有：,.,最小二乘（LS）濾波：,最小二乘準(zhǔn)則以誤差的平方和最小作為最佳準(zhǔn)則的誤差準(zhǔn)則。,.,自適應(yīng)濾波器的應(yīng)用：,自適應(yīng)抵消器：（只有與參考輸入相關(guān)的信號(hào)才能被抵消）,.,參考輸入端存在一定的有用信號(hào)：當(dāng)有信號(hào)分量泄漏到參考輸入中時(shí)，噪聲的抵消能力可以通過(guò)比較輸入端的信噪比、參考輸入端的信噪比及輸出端的信噪比數(shù)值大小來(lái)評(píng)價(jià)。,泄露到參考輸入端的有用信號(hào)越少，抵消效果越好。,.,2)胎兒心電監(jiān)護(hù),其中原始輸入a(t)=f(t)+m(t)+n(t)f(t):胎兒心臟產(chǎn)生信號(hào)m(t):母親心臟產(chǎn)生信號(hào)n(t):噪聲干擾信號(hào)（主要由肌肉起的，有時(shí)稱(chēng)“肌肉噪聲”）。,采用自適應(yīng)噪聲抵消器消除胎兒心電圖中母體心臟信號(hào)（干擾）。一般采用：四個(gè)普通胸導(dǎo)（每路信號(hào)相同）記錄母親心跳，作為參考輸入信號(hào)。經(jīng)過(guò)自適應(yīng)噪聲抵消器處理后，母親心臟干擾信號(hào)被顯著消弱，胎兒心聲可辨。,.,自適應(yīng)逆濾波：,自適應(yīng)均衡器與自適應(yīng)解卷積問(wèn)題都可歸結(jié)為用自適應(yīng)的方法求逆濾波系統(tǒng)的問(wèn)題。自適應(yīng)均衡器用以補(bǔ)償信道干擾的影響，使接收信號(hào)與發(fā)送信號(hào)完全一致。,.,第四章功率譜估計(jì),主要內(nèi)容：經(jīng)典譜估計(jì)：BT法、周期圖法、修正周期圖法；現(xiàn)代譜估計(jì)：AR模型法、最大熵譜估計(jì)、特征分解法,.,BT法：,BT法的加權(quán)協(xié)方差譜估計(jì),.,周期圖法：,周期圖屬于漸近無(wú)偏估計(jì)，方差很大，不是一致估計(jì)。,.,修正周期圖法：,Bartlett平均周期圖法窗口處理法平均周期圖Welch法（修正的周期圖求平均法）,.,結(jié)論：傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)方法，采用觀(guān)測(cè)到的N個(gè)樣本值估計(jì)功率譜，認(rèn)為在此觀(guān)察到的N個(gè)數(shù)據(jù)以外的x(n)=0。因此，無(wú)論采取哪一種改進(jìn)方法，總是以減少分辨率為代價(jià)，換取估計(jì)方差的減少，提高分辨率的問(wèn)題無(wú)法根本解決。,.,估計(jì)功率譜的方法：首先根據(jù)信號(hào)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)；求出模型參數(shù)；最后按照下式求出信號(hào)的功率譜:,AR模型法：,.,AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分辨率的優(yōu)點(diǎn)。,.,信號(hào)預(yù)測(cè)誤差最小原則（或預(yù)測(cè)誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（Levinson遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法,.,關(guān)于A(yíng)R模型階次的選擇如果是純P階AR信號(hào)，應(yīng)選擇模型階次kP。如果選擇模型階次kP時(shí)，將產(chǎn)生對(duì)譜的平滑作用，降低譜的分辨率。對(duì)于白噪聲中的AR信號(hào)，其階次的選擇應(yīng)折衷考慮。如選擇AR模型，其階次應(yīng)加大，較低的階次會(huì)使譜估計(jì)產(chǎn)生偏移，降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴(yán)重，愈需要高的階次，因此信噪比低應(yīng)選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會(huì)使估計(jì)誤差加大，譜峰分裂。,.,最大熵譜估計(jì)方法：,AR模型功率譜估計(jì)和最大熵譜估計(jì)的等價(jià)性。,.,第五章時(shí)頻分析,主要內(nèi)容：線(xiàn)性時(shí)頻分析：短時(shí)傅里葉變換、Gabor變換、小波分析；雙線(xiàn)性時(shí)頻分析：維格納變換（WD）、Cohen類(lèi)時(shí)頻分布。,.,傅立葉變換的不足：,缺乏時(shí)間和頻率的定位功能；分析時(shí)變信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)的局限性；分辨率上的局限性，受不確定原理的約束。,.,短時(shí)傅里葉變換：,.,STFT特點(diǎn)：STFT要求窗口內(nèi)信號(hào)平穩(wěn)，即窗口不能太長(zhǎng)；時(shí)間分辨率和頻率分辨率受不確定定理限制，不能同時(shí)任意??；窗口固定不變，分辨率單一；窗函數(shù)選擇難；STFT建立在信號(hào)穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)之上，不能及時(shí)反映信號(hào)頻譜隨時(shí)間變化的情況。,.,小波分析：,小波基函數(shù),作為小波函數(shù)所應(yīng)具有的大致特征：即是一帶通函數(shù)，它的時(shí)域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時(shí)頻定位的角度，希望是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時(shí)域有限長(zhǎng)且是振蕩的這一類(lèi)函數(shù)即是被稱(chēng)作小波（wavelet）的原因。,.,當(dāng)用較小的a對(duì)信號(hào)作高頻分析時(shí)，實(shí)際上是用高頻小波對(duì)信號(hào)作細(xì)致觀(guān)察;當(dāng)用較大的a對(duì)信號(hào)作低頻分析時(shí)，實(shí)際上是用低頻小波對(duì)信號(hào)作概貌觀(guān)察。,a取不同值時(shí)小波變換對(duì)信號(hào)分析的時(shí)頻區(qū)間,.,小波變換的特點(diǎn)多分辨率分析方法；小波變換的時(shí)頻關(guān)系受不確定原理的制約，在時(shí)頻平面上的分析窗是可調(diào)的，但分析窗的面積保持不變；采用不同的尺度a作處理時(shí)，各個(gè)(a)的中心頻率和帶寬都不一樣，但是它們的品質(zhì)因數(shù)Q卻是相同的，即“中心頻率帶寬”為常數(shù)。,.,維格納變換：（最簡(jiǎn)單的時(shí)頻分布形式）,WD服從二次疊加原理。,時(shí)頻域(t,f)時(shí)間-頻率平面。,.,維格納變換的特點(diǎn)：因?yàn)樾盘?hào)的二次型是信號(hào)的能量表示，所以這種分布表示了信號(hào)的能量分布；在某一時(shí)刻或某一個(gè)頻率處的WD不能解釋為信號(hào)的瞬時(shí)能量；兩個(gè)信號(hào)和的WD有交叉項(xiàng)存在，使得兩個(gè)信號(hào)和的分布已不再是兩個(gè)信號(hào)各自分布的和；滿(mǎn)足二次疊加原理。,.,模糊函數(shù)：,模糊域（,）時(shí)移-頻移平面,.,同一信號(hào)AF及WD互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置示意圖,.,WD中交叉項(xiàng)的抑制：對(duì)信號(hào)求模糊函數(shù)，由于模糊函數(shù)的自項(xiàng)始終在平面的原點(diǎn)處，而交叉項(xiàng)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，故可以設(shè)計(jì)