河北省武邑中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次模擬考試試題 文（含解析）VIP

河北武邑中學(xué)2020學(xué)年下學(xué)期高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文史）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得，選D.2.設(shè)（為虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，然后求模即可詳解：復(fù)數(shù) 故選A. 點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：第一次循環(huán)：,第二次循環(huán)：，第三次循環(huán)：,第四次循環(huán)：,第五次循環(huán)：,第六次循環(huán)：,第七次循環(huán)：,第八次循環(huán)：,此時(shí)，結(jié)束循環(huán)，輸出，選A.考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖4.已知直線、與平面、，下列命題正確的是（ ）A. ，且，則B. ，且，則C. ，且，則D. ，且，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行與垂直關(guān)系逐一判斷選擇.【詳解】A.，且，則位置關(guān)系不定；B.若 ，則的法向量相互垂直，而，則的方向向量分別為的一個(gè)法向量，所以；C.當(dāng)時(shí)，且，才可推出；D.，且，則位置關(guān)系不定；綜上選B.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直關(guān)系判斷，考查基本分析推證能力，屬中檔題.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)為，且，則( )A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】A【解析】分析：是等比數(shù)列，因此把兩已知等式相除可化簡.詳解：設(shè)公差為，故選A.點(diǎn)睛：等差數(shù)列與等比數(shù)列之間通過函數(shù)的變換可以相互轉(zhuǎn)化，如是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列，如是等比數(shù)列且均為正，則是等差數(shù)列.6.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A. 的一個(gè)周期為B. 圖形關(guān)于直線對稱C. 的一個(gè)零點(diǎn)為D. 在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】逐一考查所給的選項(xiàng)：函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為：，取可得函數(shù)的一個(gè)周期為；函數(shù)圖象的對稱軸滿足：，則：，令可得函數(shù)的一條對稱軸為；函數(shù)的零點(diǎn)滿足：，則：，令可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為；若，則，則函數(shù)在上不具有單調(diào)性；本題選擇D選項(xiàng).7.若，則的值構(gòu)成的集合為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由知，即，當(dāng)時(shí)，所以，從而，當(dāng)時(shí)，所以，因此選C. 8.中國明代數(shù)學(xué)家程大位的著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第四天比第六天多走了( )A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里【答案】B【解析】根據(jù)題意,設(shè)此人每天所走的路程為,其首項(xiàng)為,即此人第一天走的路程為,又從第二天起每天走的路程為前一天的一半，則是以為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列,又,解得,則,故選B.9.如圖所示，在斜三棱柱中， ，則點(diǎn)在底面上的射影必在( )A. 直線上B. 直線上C. 直線上D. 內(nèi)部【答案】A【解析】ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上故選項(xiàng)為：C10.設(shè)，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)（）的最大值為，則的圖象向右平移后的表達(dá)式為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：可行域?yàn)槿切蜛BC及其內(nèi)部，其中，因此目標(biāo)函數(shù)（）過時(shí)取最大值，即，從而，向右平移后的表達(dá)式為，選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值，三角函數(shù)圖像變換【名師點(diǎn)睛】1.對yAsin(x)進(jìn)行圖象變換時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)平移變換時(shí)，x變?yōu)閤a(a0)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(xa)；(2)伸縮變換時(shí)，x變?yōu)?橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為yAsin(x)2.兩種變換的差異先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的11.直線與圓心為，半徑為圓相交于，兩點(diǎn)，另一直線與圓交于，兩點(diǎn)，則四邊形面積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】寫出圓的方程，聯(lián)立直線方程與圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，可知?jiǎng)又本€過AB的中點(diǎn)，則當(dāng)CD為圓的直徑時(shí)四邊形ACBD面積最大，代入四邊形ACBD面積公式求解即可【詳解】解：以為圓心，半徑為的圓的方程為，聯(lián)立，解得，中點(diǎn)為而直線：恒過定點(diǎn)，要使四邊形面積最大,只需直線過圓心即可,即CD為直徑,此時(shí)AB垂直CD,四邊形ACBD的面積最大值為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題12.函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性得有4個(gè)根，可轉(zhuǎn)為有2個(gè)不等正根，利用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可得a的范圍.【詳解】解：函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，令，由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)得，則有4個(gè)根，只需有2個(gè)不等正根，即，解得：，即a取值范圍是，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角的余弦值為_【答案】【解析】 因?yàn)?，所以，所以，即，且，則， 所以曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角的余弦值為.14.設(shè)，若，則_【答案】【解析】為奇函數(shù)，故答案為：15.若橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則此橢圓的離心率為_【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由橢圓定義知，解得，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由橢圓定義知，解得，所以，故填. 點(diǎn)睛：本題由于不知道橢圓的焦點(diǎn)位置，因此必須進(jìn)行分類討論，分析橢圓中的取值，從而確定c,計(jì)算橢圓的離心率.16.已知函數(shù)在上有最大值，但沒有最小值，則的取值范圍是_【答案】【解析】函數(shù)在上有最大值，但沒有最小值，所以.點(diǎn)睛：本題要考慮到在區(qū)間上有最大值，沒有最小值，說明函數(shù)要包括正弦函數(shù)圖形的山峰但不能包括其山谷，要明確題目意思是解題關(guān)鍵三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在等差數(shù)列中，為其前和，若.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列中，求數(shù)列的前和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式與通項(xiàng)公式列方程組，解得公差與首項(xiàng)，再代入得結(jié)果，（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和，即得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，又得：（2），【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和公式與通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，考查分析求解能力，屬中檔題.18.為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動(dòng). 活動(dòng)后，為了解閱讀情況，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩組各10名學(xué)生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以a表示.（）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；（）將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學(xué)生稱為“閱讀達(dá)人”. 設(shè)，現(xiàn)從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人，求至少有1人來自甲組的概率；（）記甲組閱讀量的方差為. 若在甲組中增加一個(gè)閱讀量為10的學(xué)生，并記新得到的甲組閱讀量的方差為，試比較，的大小.（結(jié)論不要求證明）（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）【答案】（） 或. （） （） 【解析】【分析】（）分別求出甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值和乙組10名學(xué)生閱讀量的平均值，由此能求出圖中a的取值（）記事件“從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人，至少有1人來自甲組”為M甲組“閱讀達(dá)人”有2人，在此分別記為A1，A2；乙組“閱讀達(dá)人”有3人，在此分別記為B1，B2，B3從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人，利用列舉法能求出從所有的閱讀達(dá)人里任取2人，至少有1人來自甲組的概率（）由莖葉圖直接得【詳解】（）甲組10名學(xué)生閱讀量的平均值為，乙組10名學(xué)生閱讀量的平均值為.由題意，得，即. 故圖中a的取值為或.（）記事件“從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人，至少有1人來自甲組”為M. 由圖可知，甲組“閱讀達(dá)人”有2人，在此分別記，；乙組“閱讀達(dá)人”有3人，在此分別記為，.則從所有的“閱讀達(dá)人”里任取2人，所有可能結(jié)果有10種， 即，.而事件M的結(jié)果有7種，它們是， 所以. 即從所有的閱讀達(dá)人里任取2人，至少有1人來自甲組的概率為. （）由莖葉圖直接觀察可得.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、概率、方差的求法，考查莖葉圖、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題19.如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.()求證：；()若，求三棱錐的體積.【答案】()證明見解析；()8.【解析】【分析】() 取的中點(diǎn)為，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得 ，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得，即得 ，最后根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理以及線面垂直性質(zhì)定理得結(jié)果，()先根據(jù)()得平面，再根據(jù)三棱錐體積公式得結(jié)果.【詳解】（I）取的中點(diǎn)為，連結(jié).由是三棱臺得，平面平面，從而. ， ，四邊形為平行四邊形， . ，為的中點(diǎn)， ， .平面平面，且交線為，平面， 平面，而平面， . ()連結(jié).由是正三角形，且為中點(diǎn)得， .由()知，平面，.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積、面面垂直性質(zhì)定理以及線面垂直性質(zhì)定理，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.20.如圖，已知橢圓 的離心率為，且過點(diǎn)（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）設(shè)點(diǎn)，是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，直線，的斜率分別為，且求的值；設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，試求直線的斜率【答案】（I）；（II）8；或【解析】【分析】() 根據(jù)條件列方程組解得， ，即得結(jié)果，() 先根據(jù)直線方程與橢圓方程解得，同理可得，再根據(jù)化簡求值，先用A,B坐標(biāo)表示直線的斜率，再根據(jù)得，利用結(jié)論以及橢圓方程解得，最后代入得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，所以，即，所以橢圓的方程為，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，即，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)直線的方程為，化簡得，解得，因?yàn)?，故，同理可?，所以 由題意，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，所以，故 ，即設(shè)直線的斜率為，則，因?yàn)椋?，故，所?，所以直線的斜率為為常數(shù)，即或【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔題.21.已知函數(shù)，其中.（）討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，證明:；（）求證:對任意正整數(shù)，都有 (其中為自然對數(shù)的底數(shù)).【答案】（）見解析（）見解析（）見解析【解析】【分析】（）先求，再對 進(jìn)行討論即可.（）由題知即證，構(gòu)造新函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)只需即得證.（）由（）知,累加作和即得證.【詳解】（）易得，函數(shù) ， 當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，令，解得 當(dāng)時(shí)，所以， 所以在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞增 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（）當(dāng) 時(shí)，.要證明，即證，即. 即. 設(shè)則 令得，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn) 所以.即.故. （）由（）知，.令， 則 ， 所以,即所以.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想及不等式的證明，考查數(shù)學(xué)分析法的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極點(diǎn)和直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)).（I）直線與圓相切，求的值；（II）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】() 先將直線參數(shù)方程化為普通方程，將圓極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑解得結(jié)果，() 先將拋物線參數(shù)方程化為普通方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式以及韋達(dá)定理求結(jié)果.【詳解】（I）圓的直角坐標(biāo)方程為，直線的一般方程為， ， ；（II）曲線的一般方程為，代入得， ， .【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓位置關(guān)系以及弦長公式，考查坐標(biāo)分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.23.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為實(shí)數(shù)集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案