江蘇丹陽高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.3空間角的計(jì)算1學(xué)案無蘇教選修21

3.2.3空間角的計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能用向量方法解決線線，線面，面面的夾角的計(jì)算問題【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】空間線線，線面，面面的夾角的計(jì)算用【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】將幾何中相關(guān)的量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式【學(xué)習(xí)過程】一知識(shí)要點(diǎn)立體幾何中角的計(jì)算是建立在弄清概念，恰當(dāng)作圖，嚴(yán)格論證的基礎(chǔ)上的空間的角有三種：異面直線所成的角；直線和平面所成的角；二面角 在學(xué)習(xí)了空間向量之后，我們可以用一種統(tǒng)一的模式來求以上各角1異面直線所成的角設(shè) l1 與 l2 為異面直線， 與 分別為 l1 與 l2的方向向量，設(shè)l1 與 l2所成的角為，則有 2直線和平面所成的角 設(shè) 為直線 l 的方向向量， 為平面的法向量，為 l 與平面 所成的角，則有，即3平面與平面所成的角設(shè)二面角 l 的兩個(gè)半平面，的法向量分別是 ，二面角 l 的大小為 ，則有由于平面的法向量的選取的不同，有 = ，或 = 若可以確定二面角是銳角或鈍角，則此二面角的大小可以唯一確定綜上，空間角的問題最終都轉(zhuǎn)化為求直線夾角的問題，這樣可以避免一些復(fù)雜的作圖和證明過程，但在應(yīng)用時(shí)要注意對(duì)結(jié)果的處理二例題講解DCBAD1C1B1A1PO3O2O1例1棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為DD1的中點(diǎn)，O1，O2，O3分別是面A1B1C1D1，面BB1C1C ，面ABCD的中心求異面直線PO3與O1O2所成角的余弦值DCBAD1C1B1A1例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E1在D1C1上，且D1E1= D1C1，試求直線E1F與平面D1AC所成角的正弦值變題:若將題中的條件“F是BC的中點(diǎn)”改為“CF = CB”呢?例3已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中點(diǎn)，求：DCBAD1FEA1C1B1A1D與EF所成角的大??；A1F與平面B1EB所成角的大??；二面角C-D1B1-B的大小三課堂練習(xí)1設(shè)，分別是兩條異面直線l1，l2 的方向向量，且cos = ，則異面直線l1，l2所成的角的大小為 2已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則對(duì)角線DB1與CM所成的角的余弦值 3已知平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角為45，平面內(nèi)一條直線和這條斜線在平面內(nèi)的射影的夾角為45，則斜線和平面內(nèi)的這條直線所成的角的大小為 四課堂小結(jié)1兩條異面直線的所成的角等于兩條直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)要注意兩條異面直線所成角的范圍是銳角或直角，而兩條直線的方向向量所成的角的范圍是0，求解過程中要注意結(jié)果的處理；2直線與平面所成的角等于直線與平面的法向量所成角的余角；3二面角的平面角的大小為等于兩平面的法向量所成的角(或其補(bǔ)角)若以二面角內(nèi)的一點(diǎn)為起點(diǎn)向兩個(gè)平面引射線(平面的法向量)，則兩法向量所成的角與二面角的平面角互補(bǔ)；若以二面角外的一點(diǎn)為起點(diǎn)向兩個(gè)平面引射線，則兩法向量所成的角與二面角的平面角相等五課后作業(yè)1：1已知二面角l為60，異面直線a，b分別垂直于平面 ，則a，b所成的角的大小是 2在邊長為a的正三角形ABC中，ADBC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，這時(shí)二面角B-AD-C的大小為 3正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，A1D1的中點(diǎn)，則EF與面A1C1所成的角是 4已知銳二面角l的平面角是，m是平面內(nèi)異于l的一條直線，則m與所成的角的范圍是 5在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與A1B1CD平面所成角的大小求二面角B-PA-C的大小ABCDV6在四棱錐