高考數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的周期與對稱軸

抽象函數(shù)的周期與對稱軸一. 教學(xué)內(nèi)容抽象函數(shù)的周期與對稱軸二. 教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：抽象函數(shù)周期與對稱軸的相關(guān)結(jié)論。難點(diǎn)：結(jié)論的推導(dǎo)證明，利用結(jié)論解決問題。三. 具體內(nèi)容1. 若則的周期為T。2. 若則的周期為證：令 3. 則的周期證：令 令 由得： 4. 若則圖象的對稱軸為證：要證原結(jié)論成立，只需證令代入則5. 若則的圖象，以為對稱中心。證：方法一：要證原結(jié)論成立只需證令代入則方法二：設(shè)它的圖象為C 則P關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 【典型例題】例1 對于，有下列命題。（1）在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱。（2）若且均成立，則為偶函數(shù)。（3）若恒成立，則為周期函數(shù)。（4）若為單調(diào)增函數(shù)，則（且）也為單調(diào)增函數(shù)，其中正確的為？解：（2）（3）例2 若函數(shù)有求。解：，知的圖象關(guān)于對稱而的對稱中心 則例3 設(shè)是定義在R上的函數(shù)，均有當(dāng)時，求當(dāng)時，的解析式。解：由有得設(shè)則 時例4 已知是定義在R上的函數(shù)且滿足，當(dāng)時有則（1）是周期函數(shù)且周期為2（2）當(dāng)時，（3）其中正確的是？解：（1）（2）（3）例5 已知滿足，當(dāng)時，且，若，求、的大小關(guān)系？解：由已知得，對稱軸 也為一條對稱軸 由 ， 例6 定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時，求的值。解：例7 設(shè)定義在R上，有且當(dāng)時，（1）求證：且當(dāng)時，（2）求證：在R上遞減。解：（1）在中，令，得 設(shè)，則令，代入條件式有而 （2）設(shè)則 令，則代入條件式得即 在R上遞減【模擬試題】一. 選擇1. 已知滿足，且是奇函數(shù)，若則（ ）A. B. C. D. 2. 已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對任何實(shí)數(shù)均成立，當(dāng)時，當(dāng)時，（ ）A. B. C. D. 3. 若函數(shù)，都有則等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函數(shù)是（ ）A. 周期為的奇函數(shù)B. 周期為的偶函數(shù)C. 周期為的奇函數(shù)D. 周期為的奇函數(shù)5. 的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是（ ）A. B. C. D. 6. 如果且則可以是（ ）A. B. C. D. 7. 為偶函數(shù)的充要條件是（ ）A. B. C. D. 8. 設(shè)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則（ ）A. 0.5 B. C. 1.5 D. 9. 設(shè)，有那么（ ）A. B. C. D. 10. 定義在R上，則與的圖象關(guān)于（ ）A. 對稱 B. 對稱 C. 對稱 D. 對稱二. 填空1. 是R上的奇函數(shù)，且，則 。2. 函數(shù)的圖象的對稱軸中最靠近y軸的是 。3. 為奇函數(shù)，且當(dāng)時，則當(dāng)時 。4. 偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則（1）（2）（3）（4）中正確的是 。三. 解答題1. 設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，、都有且（1）求、（2）證明：是周期函數(shù)2. 如果函數(shù)的圖象關(guān)于和都對稱，證明這個函數(shù)滿足3. 已知對任意實(shí)數(shù)t都有，比較與的大小。4. 定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，對一切實(shí)數(shù)x都有成立，若方程僅有101個不同實(shí)根，求所有實(shí)根之和。【試題答案】一.1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B9. A 10. D二.1. 0 2. 3. 4.（2）三.1. 解：（1） 都有 ， （2）由已知關(guān)于對稱 即， 又由是偶函數(shù)知， ，將上式中以代換得 是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期2. 證： 關(guān)于和對稱 ， 令，則 即