云南峨山彝族自治高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程備考學(xué)案新人教A選修11

備考學(xué)案二 圓錐曲線與方程一、橢圓1平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡稱為橢圓即：這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距2橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍且且頂點、軸長短軸的長 長軸的長焦點、焦距對稱性關(guān)于軸、軸、原點對稱離心率例1：橢圓2x23y212的兩焦點之間的距離是()A2 BC D2例2：已知橢圓1(m0)的左焦點為F1(4,0)，則m()A2 B3C4 D9例3：已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，過點F2的直線交橢圓于點A，B，若|AB|5，則|AF1|BF1|()A11 B10C9 D16例4：橢圓的一個頂點與兩焦點組成等邊三角形，則它的離心率e為()ABC D例5：與橢圓9x24y236有相同焦點，且短軸長為4的橢圓方程是()A1 B1C1 D1例6：根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程（1）經(jīng)過兩點A(0，2)，B(，)；（2）經(jīng)過點(2，3)且與橢圓9x24y236有共同的焦點例7：如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的，求橢圓的離心率二、雙曲線1平面內(nèi)與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡稱為雙曲線這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距2雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍或，或，頂點、軸長虛軸的長 實軸的長焦點、焦距對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點中心對稱離心率漸近線方程3實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線例1：雙曲線3x24y212的焦點坐標為()A(5，0) B(0，)C(，0) D(0，)例2：已知方程1表示雙曲線，則k的取值范圍是()A1k1 Bk0Ck0 Dk1或k1例3：橢圓1與雙曲線1有相同的焦點，則m的值是()A1 B1C1 D不存在例4：下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy21例5：已知F1、F2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點，點P在C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8例6：焦點在x軸上的雙曲線過點P(4，3)，且點Q(0，5)與兩焦點的連線互相垂直，求此雙曲線的標準方程 三、拋物線1平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線2過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于A、B兩點的線段AB，稱為拋物線的“通徑”，即|AB|=2p3焦半徑公式：若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則4拋物線的幾何性質(zhì)：標準方程圖形頂點對稱軸軸軸焦點準線方程離心率范圍例1：如果拋物線y22px的準線是直線x2，那么它的焦點坐標為()A(1，0) B(2，0)C(3，0) D(1，0)例2：頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，過點(2，3)的拋物線方程是()Ay2xBx2yCy2x或x2yDy2x或x2y例3：拋物線y24x上一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()A0 BC D例4：O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點，P為C上一點，若|PF|4，則POF的面積為()A2 B2C2 D4例5：已知F是拋物線y2x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|BF|3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()A B1C D例6：已知直線l經(jīng)過拋物線y24x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點（1）若|AF|4，求點A的坐標；（2）求線段AB長度的最小值四、圓錐曲線綜合1坐標法是研究圓錐曲線問題的基本方法，它是用代數(shù)的方法研究幾何問題2利用圓錐曲線的定義解題的策略（1）在求軌跡方程時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構(gòu)成的三角形問題時，常用定義結(jié)合解三角形的知識來解決；（3）在求有關(guān)拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合幾何圖形，利用幾何意義去解決總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運用3圓錐曲線的方程與性質(zhì)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在已知圓錐曲線的方程研究其幾何性質(zhì)，已知圓錐曲線的性質(zhì)求其方程重在考查基礎(chǔ)知識，基本思想方法，屬于低中檔題目，其中對離心率的考查是重點4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要涉及判定直線與圓錐曲線的交點個數(shù)、求弦長、最值等問題，它是圓錐曲線的定義、性質(zhì)與直線的基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要有：（1）有關(guān)直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合；（2）有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系；（3）有關(guān)垂直問題，要注意運用斜率關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，簡化運算5求軌跡方程的方法常用的有：直接法、定義法、代入法，要注意題目中的限制條件，特別是隱含條件的發(fā)掘；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常用判別式法，要注意有關(guān)弦長問題中韋達定理的應(yīng)用，需特別注意的是，直線平行于拋物線的軸時與拋物線只有一個交點，直線平行于雙曲線的漸近線時與雙曲線只有一個交點例1：求過點A(2，0)且與圓x24xy2320相內(nèi)切的圓的圓心軌跡方程例2：已知橢圓1 (ab0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，左右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)（1）求橢圓的方程；（2）若直線l：yxm與橢圓交于A、B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C、D兩點，且滿足，求直線l的方程例3：焦點分別為(0，5)和(0，5)的橢圓截直線y3x2所得弦的中點橫坐標為，求此橢圓的方程點評關(guān)于中點弦問題，一般采用兩種方法解決：（1）聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設(shè)而不求，從而簡化運算（2）利用“點差法”求解，即若橢圓方程為1，直線與橢圓交于點A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中點為M(x0，y0)，則由得a2(yy)b2(xx)0，這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關(guān)系，從而使問題能得以解決本章總結(jié)：參考答案：一、橢圓例1：【答案】D【解析】橢圓方程2x23y212可化為：1，a26，b24，c2642，2c2例2：【答案】B【解析】橢圓1(m0)的左焦點為F1(4，0)，c4，m29，m3，選B例3：【答案】A【解析】由方程知a216，2a8，由橢圓定義知，|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，|AF1|AF2|BF1|BF2|AF1|BF1|AB|16，|AF1|BF1|11，故選A例4：【答案】A【解析】由題意，得a2c，e例5：【答案】B【解析】橢圓9x24y236的焦點為(0，)，(0，)，b2，a225，故選B例6：解：（1）設(shè)所求橢圓的方程為1(m0，n0，且mn)，橢圓過A(0，2)，B(，)，解得即所求橢圓方程為x21（2）橢圓9x24y236的焦點為(0，)，則可設(shè)所求橢圓方程為1(m0)，又橢圓經(jīng)過點(2，3)，則有1，解得m10或m2(舍去)，即所求橢圓的方程為1例7：解法一：設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a、b、c，則焦點為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M點的坐標為(c，b)，則MF1F2為直角三角形 在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab又c2a2b2，所以3b2a所以e21，e解法二：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則M(c，b)代入橢圓方程，得1，所以，所以，即e二、雙曲線例1：【答案】D【解析】雙曲線3x24y212化為標準方程為1，a23，b24，c2a2b27c，又焦點在y軸上，故選D例2：【答案】A【解析】由題意得(1k)(1k)0，(k1)(k1)0，1k1例3：【答案】A【解析】驗證法：當m1時，m21，對橢圓來說，a24，b21，c23對雙曲線來說，a21，b22，c23，故當m1時，它們有相同的焦點直接法：顯然雙曲線焦點在x軸上，故4m2m22m21，即m1例4：【答案】C【解析】由雙曲線的焦點在y軸上，排除A、B；對于D，漸近線方程為yx，而對于C，漸近線方程為y2x故選C例5：【答案】B【解析】在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，即(2)22 2|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4例6：解：因為雙曲線焦點在x軸上，所以設(shè)雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)因為雙曲線過點P(4，3)，所以1又因為點Q(0，5)與兩焦點的連線互相垂直，所以0，即c2250所以c225又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的雙曲線的標準方程是1三、拋物線例1：【答案】B【解析】因為準線方程為x2，所以焦點為(，0)，即(2，0)例2：【答案】D【解析】點(2，3)在第二象限，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，又點(2，3)在拋物線上，p，p，拋物線方程為y2x或x2y例3：【答案】A【解析】設(shè)M(x0，y0)，則x011，x00，y00例4：【答案】C【解析】設(shè)P(x0，y0)，則由拋物線的焦半徑公式得|PF|x04，x03，代入拋物線的方程，得|y0|2，SPOF|y0|OF|2，選A涉及到拋物線的焦點三角形問題，要考慮焦半徑公式例5：【答案】C【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 例6：解：由y24x，得p2，其準線方程為x1，焦點F(1，0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）由拋物線的定義可知，|AF|x1，從而x1413代入y24x，解得y12點A的坐標為(3，2)或(3，2)（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)與拋物線方程聯(lián)立，得消去y整理得，k2x2(2k24)xk20直線與拋物線相交于A、B兩點，則k0，并設(shè)其兩根為x1、x2，x1x22 由拋物線的定義可知，|AB|x1x2p44當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，與拋物線相交于A(1，2)，B(1，2)，此時|AB|4，|AB|4，即線段AB長度的最小值為4四、圓錐曲線綜合例1：解：將圓x24xy2320的方程變形為：(x2)2y236，其中圓的圓心為B(2，0)，半徑為6如圖，設(shè)動圓的圓心M坐標為(x，y)，由于動圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點為C，則|BC|MC|BM|BC|6，|BM|CM|6又動圓過點A，|CM|AM|，則|BM|AM|64根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡是以點B(2,0)和點A(2,0)為焦點的橢圓，其中，2a6，2c4，a3，c2b2a2c25故所求圓心的軌跡方程為1例2：解：（1）由題設(shè)知解得a2，b，c1，橢圓的方程為1（2）由題設(shè)可知，以F1F2為直徑的圓的方程為x2y21，圓心到直線l的距離d，由d1得|m|(*)|CD|22設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由求根公式可得x1x2m，x