中考數(shù)學(xué)沖刺：方案設(shè)計(jì)與決策型問題--知識講解（提高）

選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考沖刺：方案設(shè)計(jì)與決策型問題中考沖刺：方案設(shè)計(jì)與決策型問題知識講解（提高）知識講解（提高） 【中考展望】【中考展望】 方案設(shè)計(jì)與決策型問題對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力非常重要如讓學(xué)生設(shè)計(jì)圖形、設(shè)計(jì)測 量方案、設(shè)計(jì)最佳方案等都是近年考查的熱點(diǎn)，題目多以解答題為主 方案設(shè)計(jì)與決策型問題是近幾年的熱點(diǎn)試題，主要利用圖案設(shè)計(jì)或經(jīng)濟(jì)決策來解決實(shí)際問題題 型主要包括： 1根據(jù)實(shí)際問題拼接或分割圖形； 2利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比較等 方案設(shè)計(jì)與決策問題就是給解題者提供一個問題情境，要求解題者利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問 題，這類問題既考查動手操作的實(shí)踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起高度重視 【方法點(diǎn)撥】【方法點(diǎn)撥】 解答決策型問題的一般思路，是通過對題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比較、判斷優(yōu)劣，從中尋找 到適合題意的最佳方案 解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等，依據(jù) 所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計(jì)方案，科學(xué)決策. 【典型例題】【典型例題】 類型一、利用方程（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì)類型一、利用方程（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 1國務(wù)院總理溫家寶 2011 年 11 月 16 日主持召開國務(wù)院常務(wù)會議，會議決定建立青海三江源國 家生態(tài)保護(hù)綜合實(shí)驗(yàn)區(qū)現(xiàn)要把 228 噸物資從某地運(yùn)往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共 18 輛， 恰好能一次性運(yùn)完這批物資已知這兩種貨車的載重量分別為 16 噸/輛和 10 噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地 的運(yùn)費(fèi)如表： （1）求這兩種貨車各多少輛？ （2）如果安排 9 輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為 a 輛，前往甲、乙 兩地的總運(yùn)費(fèi)為 w 元，求出 w 與 a 的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍） ； （3）在（2）的條件下，若運(yùn)往甲地的物資不少于 120 噸，請你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車調(diào)配 方案，并求出最少總運(yùn)費(fèi) 【思路點(diǎn)撥】 （1）設(shè)大貨車用 x 輛，則小貨車用 18x 輛，根據(jù)運(yùn)輸 228 噸物資，列方程求解； （2）設(shè)前往甲地的大貨車為 a 輛，則前往乙地的大貨車為（8a）輛，前往甲地的小貨車為（9a） 輛，前往乙地的小貨車為10（9a）輛，根據(jù)表格所給運(yùn)費(fèi)，求出 w 與 a 的函數(shù)關(guān)系式； （3）結(jié)合已知條件，求 a 的取值范圍，由（2）的函數(shù)關(guān)系式求使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車調(diào)配方案. 【答案與解析】 運(yùn)往地 車型 甲 地（元/輛）乙 地（元/輛） 大貨車 小貨車 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 解：（1）設(shè)大貨車用 x 輛，小貨車用 y 輛，根據(jù)題意得， 2281016 18 yx yx 解得 .10 8 y x 答：大貨車用 8 輛，小貨車用 10 輛 （2）根據(jù)題意，得 w=720a+800（8-a）+500（9-a）+65010-（9-a） =70a+11550， w=70a+11550（0a8 且為整數(shù)）. （3）16a+10（9-a）120，解得 a5，又0a8，5a8 且為整數(shù)， 而 w=70a+11550，k=700，w 隨 a 的增大而增大， 當(dāng) a=5 時，w 最小，最小值為 W=705+11550=11900（元） 答：使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)配方案是：5 輛大貨車，4 輛小貨車前往甲地；3 輛大貨車，6 輛小貨車前 往乙地最少運(yùn)費(fèi)為 11900 元 【總結(jié)升華】 這是一道典型的三個“一次”攜手結(jié)伴的中考試題，把一元一次方程（組） 、一元一次不等式和一次 函數(shù)有機(jī)地結(jié)合起來，和諧搭配，形成知識系統(tǒng)化、習(xí)題系列化，可謂“一石三鳥”. 類型二、利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì)類型二、利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 2某園林部門決定利用現(xiàn)有的 349 盆甲種花卉和 295 盆乙種花卉搭配 A、B 兩種園藝造型共 50 個，擺放在迎賓大道兩側(cè)已知搭配一個 A 種造型需甲種花卉 8 盆，乙種花卉 4 盆；搭配一個 B 種造 型需甲種花卉 5 盆，乙種花卉 9 盆 (l）某個課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題意的搭配方案有幾種？請你 幫助設(shè)計(jì)出來； (2）若搭配一個 A 種造型的成本是 200 元，搭配一個 B 種造型的成本是 360 元，試說明（1）中哪種 方案成本最低，最低成本是多少元？ 【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)甲種花卉不超過 349 盆，乙種花卉不超過 295 盆，列出不等式組 A、B 兩種園藝造型，求出設(shè) 計(jì)方案種類.分別結(jié)算出各種方案所需成本，選出最低成本的方案. 【答案與解析】 解：設(shè)搭建A種園藝造型 x 個，則搭建B種園藝造型（50-x）個. 根據(jù)題意得解得， x 為整數(shù)， x=31，32，33 可設(shè)計(jì)三種搭配方案： 方案 1：A 種園藝造型 31 個，B 種園藝造型 19 個； 方案 2：A 種園藝造型 32 個，B 種園藝造型 18 個； 方案 3：A 種園藝造型 33 個，B 種園藝造型 17 個 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 B 種造型的造價成本高于 A 種造型成本， B 種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案 3，成本最低 則應(yīng)該搭配A種 33 個，B種 17 個. 最低成本為：33200+17360=12720（元） 答：應(yīng)選擇方案 3 成本最低，最低成本為 12720 元 【總結(jié)升華】 本題考查了一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，也可列出成本和搭配A種造型數(shù)量 x 之間的函數(shù)關(guān)系，用 函數(shù)的性質(zhì)求解;或直接算出三種方案的成本進(jìn)行比較也可. 對于方案設(shè)計(jì)類問題，結(jié)合列方程（組） 或不等式（組）解決. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】榮昌公司要將本公司 100 噸貨物運(yùn)往某地銷售，經(jīng)與春晨運(yùn)輸公司協(xié)商，計(jì)劃租用甲、乙兩 種型號的汽車共 6 輛，用這 6 輛汽車一次將貨物全部運(yùn)走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物 16 噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物 18 噸已知租用 1 輛甲型汽車和 2 輛乙型汽車共需費(fèi)用 2500 元；租用 2 輛甲型汽車和 l 輛乙型汽車共需費(fèi)用 2450 元且同一種型號汽車每輛租車費(fèi)用相同 (1)求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費(fèi)用分別是多少元? (2)若榮昌公司計(jì)劃此次租車費(fèi)用不超過 5000 元通過計(jì)算求出該公司有幾種租車方案?請你設(shè)計(jì) 出來，并求出最低的租車費(fèi)用 【答案】 (1)設(shè)租用一輛甲型汽車的費(fèi)用是 x 元，租用一輛乙型汽車的費(fèi)用是 y 元 由題意得 22500, 22450, xy xy 解得 800, 850. x y 答：租用一輛甲型汽車的費(fèi)用是 800 元，租用一輛乙型汽車的費(fèi)用是 850 元 (2)設(shè)租用甲型汽車 z 輛，則租用乙型汽車(6-z)輛 由題意得 1618(6)100, 800850(6)5000, zz zz 解得 2x4 由題意知，z 為整數(shù)， z2 或 z3 或 z4 共有 3 種方案，分別是： 方案一：租用甲型汽車 2 輛，租用乙型汽車 4 輛；方案二：租用甲型汽車 3 輛，租用乙型汽車 3 輛；方案三：租用甲型汽車 4 輛，租用乙型汽車 2 輛 方案一的費(fèi)用是 8002+85045000(元)； 方案二的費(fèi)用是 8003+85034950(元)； 方案三的費(fèi)用是 8004+85024900(元) 500049504900，所以最低運(yùn)費(fèi)是 4900 元 答：共有 3 種方案，分別是： 方案一：租用甲型汽車 2 輛，租用乙型汽車 4 輛； 方案二：租用甲型汽車 3 輛，租用乙型汽車 3 輛； 方案三：租用甲型汽車 4 輛，租用乙型汽車 2 輛 最低運(yùn)費(fèi)是 4900 元 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 類型三、利用方程（組）類型三、利用方程（組） 、不等式（組）綜合知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)、不等式（組）綜合知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 3為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機(jī)，某商店決定購進(jìn)A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品若購進(jìn)A種紀(jì) 念品 8 件，B種紀(jì)念品 3 件，需要 950 元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品 5 件，B種紀(jì)念品 6 件，需要 800 元 (1)求購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？ (2)若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共 100 件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這 100 件紀(jì)念 品的資金不少于 7500 元，但不超過 7650 元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？ (3)若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤 20 元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤 30 元，在第(2)問的各種進(jìn) 貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？ 【思路點(diǎn)撥】 這是一道融三個“一次”為一體的綜合性應(yīng)用題，體現(xiàn)了任何數(shù)學(xué)知識不是片面、孤立存在的，而 是相互依賴、相互聯(lián)系和相互作用的數(shù)學(xué)意識. 【答案與解析】 解：（1）設(shè)該商店購進(jìn)一件 A 種紀(jì)念品需要 a 元，購進(jìn)一件 B 種紀(jì)念品需要 b 元. 根據(jù)題意得方程組 ，80065 95038 ba ba 解方程組，得 .50 100 b a 購進(jìn)一件 A 種紀(jì)念品需要 100 元，購進(jìn)一件 B 種紀(jì)念品需要 50 元. （2）設(shè)該商店購進(jìn) A 種紀(jì)念品 x 件，則購進(jìn) B 種紀(jì)念品有（100x）件. .7650)100(50100 7500)100(50100 xx xx 解得 50x53. x 為正整數(shù),x可取 50,51,52,53.共有 4 種進(jìn)貨方案. （3）設(shè)所獲利潤為 y 元，根據(jù)題意，有 y=20 x+30（100-x）=-10 x+3000. -100，y 隨 x 的增大而減小，x=50 時，y 最大值=-5010+3000=2500(元). 當(dāng)購進(jìn) A 種紀(jì)念品 50 件，B 種紀(jì)念品 50 件時，可獲最大利潤，最大利潤是 2500 元. 【總結(jié)升華】 只要我們弄清了三個“一次”之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建其模型，把握題型規(guī)律，梳理相關(guān)信息，就 會輕松、有效地解決這類問題. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】為了解決農(nóng)民工子女就近入學(xué)問題，我市第一小學(xué)計(jì)劃 2012 年秋季學(xué)期擴(kuò)大辦學(xué)規(guī)模學(xué)校 決定開支八萬元全部用于購買課桌凳、辦公桌椅和電腦，要求購買的課桌凳與辦公桌椅的數(shù)量比為 201，購買電腦的資金不低于 16000 元，但不超過 24000 元已知一套辦公桌椅比一套課桌凳貴 80 元，用 2000 元恰好可以買到 10 套課桌凳和 4 套辦公桌椅(課桌凳和辦公桌椅均成套購進(jìn)) (1)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為多少元？ (2)求出課桌凳和辦公桌椅的購買方案 【答案】 解：(1)設(shè)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為x元、y元， 則 80 1042000 yx xy ，解得 120 200 x y . 答：一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為 120 元，200 元 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 (2)設(shè)購買辦公桌椅m套，則購買課桌凳 20m套，由題意有 160008000012020m200m24000， 解得，21m24， 7 13 8 13 m為整數(shù)， m22、23、24，有三種購買方案，具體方案如下表： 方案一方案二方案三 課桌凳(套)440460480 辦公桌椅(套)222324 類型四、利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)類型四、利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 4某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為3000元在該 產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過 10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的 銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元 (1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元? (2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系 式，并寫出自變量x的取值范圍 (3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的 數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越 大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變) 【思路點(diǎn)撥】 （1）設(shè)件數(shù)為 x，則銷售單價為 3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價恰好為 2600 元，列方程求解. （2）由利潤y=銷售單價件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三種情 況列出函數(shù)關(guān)系式. （3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售 單價. 【答案與解析】 解：（1）設(shè)件數(shù)為x，依題意，得300010（x10）=2600，解得x=50. 答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時，銷售單價恰好為2600元. （2）當(dāng)0x10時，y=（30002400）x=600 x； 當(dāng)10x50時，y=300010（x10）2400x，即y=10 x2+700 x； 當(dāng)x50時，y=（26002400）x=200 x. 2 600 x(0 x10 x) y10 x700 x(10 x50 x) 200 x(x50 x) 為數(shù) 為數(shù) 為數(shù) 且且且 且且且 且且且 . 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 （3）由y=10 x2+700 x可知拋物線開口向下，當(dāng) 700 x35 210 時，利潤y有最大值， 此時，銷售單價為300010（x10）=2750元， 答：公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為 2750 元. 【總結(jié)升華】 本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用關(guān)鍵是明確銷售單價與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會表達(dá)單件的利 潤及總利潤 類型五、利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)類型五、利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 5某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問 題，想在這三個地方的其中一處建一所飲水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處 如圖所示，甲、乙兩村坐落在夾角為 30的兩條公路的 AB 段和 CD 段(村子和公路的寬均不計(jì))， 點(diǎn) M 表示這所中學(xué)點(diǎn) B 在點(diǎn) M 的北偏西 30的 3km 處，點(diǎn) A 在點(diǎn) M 的正西方向，點(diǎn) D 在點(diǎn) M 的南偏 西 60的2 3km 處 為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案： 方案一：供水站建在點(diǎn) M 處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村(線段 CD 某處)，甲村要求管道鋪設(shè)到 A 處，請你在圖中，畫出鋪設(shè)到 點(diǎn) A 和點(diǎn) M 處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值； 方案三：供水站建在甲村(線段 AB 某處)，請你在圖中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn) M 處的管道長 度之和最小的線路圖，并求其最小值 綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？ 【思路點(diǎn)撥】 本題以緊密聯(lián)系學(xué)生生活的“將軍飲馬”問題為原型，情景設(shè)計(jì)合理，設(shè)問層次分明，可以參照 “將軍飲馬”問題來解決該題. 【答案與解析】 解：方案一：由題意可得：MBOB， 點(diǎn) M 到甲村的最短距離為 MB 點(diǎn) M 到乙村的最短距離為 MD 將供水站建在點(diǎn) M 處時，管道沿 MD、MB 線路鋪設(shè)的長度之和最小 即最小值為 MB+MD32 3 方案二：如答圖，作點(diǎn) M 關(guān)于射線 OE 的對稱點(diǎn) M，則 MM2ME，連接 AM交 OE 于點(diǎn) P， 選師無憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 則 PE 1 2 AM AM2BM5，PE3 在 RtDME 中， DEDMsin60 3 2 33 2 ， 11 2 33 22 MEDM PEDE P、D 兩點(diǎn)重合即 AM過 D 點(diǎn)