高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)04 等差數(shù)列與等比數(shù)列教師

專題4 等差數(shù)列與等比數(shù)列高考在考什么【考題回放】1設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a17，且滿足an1an2（nN），則a1a2a17 153 .2設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則( A )（A） （B） （C） （D）3已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于（C）（A）55 （B）70（C）85（D）1004在等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ C ）(A) (B) (C) (D) 5. 若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)an是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列an的四組量中：S1與S2； a2與S3； a1與an； q與an其中一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組(寫出所有符合要求的組號)6設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)，且，記（I）求a2，a3；（II）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）（理）求【專家解答】（I）a2a1+= a+，a3=a2 =a+；（II） a4 = a3+=a+， a5=a4=a+，所以b1=a1=a， b2=a3= (a)， b3=a5= (a)，猜想：bn是公比為的等比數(shù)列證明如下： 因?yàn)閎n+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn， (nN*) 所以bn是首項(xiàng)為a， 公比為的等比數(shù)列（III）（理）高考要考什么【考點(diǎn)透視】本專題主要涉及等差（比）數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)，數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和【熱點(diǎn)透析】高考對本專題考查比較全面、深刻，每年都不遺漏其中小題主要考查間相互關(guān)系，呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點(diǎn)；大題中往往把等差（比）數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式，解析幾何 等知識結(jié)合，考查基礎(chǔ)知識、思想方法的運(yùn)用，對思維能力要求較高，注重試題的綜合性，注意分類討論突破重難點(diǎn)【范例1】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，Sk = 2550() 求a及k的值； () 求()解析（）設(shè)該等差數(shù)列為an，則a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550由已知得a3a = 24， 解得a1 = a = 2，公差d = a2a1= 2 由得 ，解得 k = 50 a = 2，k = 50 （）由得Sn= n (n1)， ， 【點(diǎn)睛】錯位相減法、裂項(xiàng)相消法等等是常用的數(shù)列求和方法【文】是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知的等比中項(xiàng)為，的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列的通項(xiàng)解析 由已知得， 即 ，解得或 或 經(jīng)驗(yàn)證 或 均滿足題意，即為所求【點(diǎn)睛】若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列本題是以此背景設(shè)計(jì)此題【范例2】已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an .解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3【點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問題，一般有三種類型：（1）已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列，求通項(xiàng)，破解方法：公式法或待定系數(shù)法；（2）已知Sn，求通項(xiàng)，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分類討論，本例的求解中檢驗(yàn)必不可少，值得重視；（3）已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)，破解方法：猜想證明法或構(gòu)造法?！疚摹恳阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解析 （1）當(dāng)時，而為等比數(shù)列，得，即，從而 又（2）， 兩式相減得，因此，【范例3】下表給出一個“三角形數(shù)陣”：， 已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等記第i行第j列的數(shù)為aij ( ij， i， jN*)(1) 求a83；(2) 試寫出a ij關(guān)于i， j的表達(dá)式；(3) 記第n行的和為An，求解析 （1）由題知成等差數(shù)列，且，所以公差。又成等比數(shù)列，且又公比都相等，每行的公比是 （2）由（1）知，（3）【點(diǎn)睛】在新穎背景數(shù)表中運(yùn)用數(shù)列知識【文】在等比數(shù)列a n中，前n項(xiàng)和為Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列，則am， am+2， am+1成等差數(shù)列 （1）寫出這個命題的逆命題；（2）判斷逆命題是否為真，并給出證明解析（）逆命題：在等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，若am， am+2， am+1成等差數(shù)列，則 Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列 （）設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 ， q=1或q=當(dāng)q=1時，Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，Sm+Sm+12 Sm+2， Sm，Sm+2，Sm+1不成等差數(shù)列當(dāng)q=時， ，Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， Sm，Sm+2，Sm+1成等差數(shù)列綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假；當(dāng)公比q1時，逆命題為真【點(diǎn)睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點(diǎn)和靈活之處【范例4】已知數(shù)列在直線x-y+1=0上（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)f (n)的最小值；(3)設(shè)表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n)， 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在，寫出g(n)的解析式，并加以證明;若不存在，說明理由 解析 （1）在直線x-y+1=0上 （2） ，（3）， 故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立【點(diǎn)睛】點(diǎn)在直線上的充要條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程，即得遞推式第（3）小題的探索性設(shè)問也是本題的升華【變式】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，（）當(dāng)時，請?jiān)跀?shù)列中找一項(xiàng)，使得成等比數(shù)列；（）當(dāng)時，若滿足，使得是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析（）設(shè)公差為，則由，得成等比數(shù)列， 解得故成等比數(shù)列 （），故又是等比數(shù)列，則，又，【點(diǎn)睛】等差數(shù)列中尋找等比子數(shù)列是數(shù)列的重要內(nèi)容自我提升1在等差數(shù)列中，則（ A ）（A） （B） （C） （D）-1或12（理）已知數(shù)列的值為（ C ）（A） （B） （C）1 （D）2（文）直角三角形三邊成等比數(shù)列，公比為，則的值為（ D ）（A） （B） （C） （D）3設(shè)a n為等差數(shù)列，a 10 ，a 6+ a 70， a6 a 70成立的最大自然數(shù)n是（ B ） （A）11 （B）12 （C）13 （D）14 4三個數(shù)成等比數(shù)列，且，則的取值范圍是（ D ）（A） （B） （C） （D） 5令a n為的展開式中含xn項(xiàng)的系數(shù)，則數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為_6這是一個計(jì)算機(jī)程序的操作說明：（1）初始值為x=1，y=1，z=0，n=0；（2）nn+1（將當(dāng)前n+1的值賦予新的n）（3）x = x+2（將當(dāng)前的x=2的值賦予新的x）（4）y =2 y （將當(dāng)前2y的值賦予新的y）（5）z = z + x y（將當(dāng)前z+xy的值賦予新的z）（6）如果z7000，則執(zhí)行語句（7），否則回語句（2）繼續(xù)進(jìn)行；（7）打印n，z；（8）程序終止由語句（7）打印出的數(shù)值為n=8，z=76827已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上（） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（） 設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；解析 （）設(shè)二次函數(shù)f (x)ax2+bx (a0)，則=2ax+b，又=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f(x)3x22x又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n當(dāng)n2時，anSnSn1（3n22n）6n5當(dāng)n1時，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）因此，要使（1）（）恒成立的m，必須且僅須滿足，即m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10 【文】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn. ()若a11=0,S14=98,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析：（）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通項(xiàng)公式是an=222n,n=1,2,3（）由得即由+得7d11。即d. 由+得13d1，即d.于是d， 又dZ,故d=1，將代入得10a112.又a1Z, 故a1=11或a1=12.所以，所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3, 8（理）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由解析：（1）當(dāng)