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文檔簡介
專題4 等差數(shù)列與等比數(shù)列高考在考什么【考題回放】1設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a17,且滿足an1an2(nN),則a1a2a17 153 .2設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若,則( A )(A) (B) (C) (D)3已知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為、,且,設(shè)(),則數(shù)列的前10項(xiàng)和等于(C)(A)55 (B)70(C)85(D)1004在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于( C )(A) (B) (C) (D) 5. 若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)an是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列an的四組量中:S1與S2; a2與S3; a1與an; q與an其中一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組(寫出所有符合要求的組號)6設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng),且,記(I)求a2,a3;(II)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;(III)(理)求【專家解答】(I)a2a1+= a+,a3=a2 =a+;(II) a4 = a3+=a+, a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3= (a), b3=a5= (a),猜想:bn是公比為的等比數(shù)列證明如下: 因?yàn)閎n+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首項(xiàng)為a, 公比為的等比數(shù)列(III)(理)高考要考什么【考點(diǎn)透視】本專題主要涉及等差(比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及其性質(zhì),數(shù)列的極限、無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和【熱點(diǎn)透析】高考對本專題考查比較全面、深刻,每年都不遺漏其中小題主要考查間相互關(guān)系,呈現(xiàn)“小、巧、活”的特點(diǎn);大題中往往把等差(比)數(shù)列與函數(shù)、方程與不等式,解析幾何 等知識結(jié)合,考查基礎(chǔ)知識、思想方法的運(yùn)用,對思維能力要求較高,注重試題的綜合性,注意分類討論突破重難點(diǎn)【范例1】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,Sk = 2550() 求a及k的值; () 求()解析()設(shè)該等差數(shù)列為an,則a1 = a,a2 = 4,a3 = 3a,Sk = 2550由已知得a3a = 24, 解得a1 = a = 2,公差d = a2a1= 2 由得 ,解得 k = 50 a = 2,k = 50 ()由得Sn= n (n1), , 【點(diǎn)睛】錯位相減法、裂項(xiàng)相消法等等是常用的數(shù)列求和方法【文】是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知的等比中項(xiàng)為,的等差中項(xiàng)為1,求數(shù)列的通項(xiàng)解析 由已知得, 即 ,解得或 或 經(jīng)驗(yàn)證 或 均滿足題意,即為所求【點(diǎn)睛】若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列也是等差數(shù)列本題是以此背景設(shè)計(jì)此題【范例2】已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)an .解析 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2) 當(dāng)a1=3時,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比數(shù)列a13;當(dāng)a1=2時, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3【點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基本問題,一般有三種類型:(1)已知數(shù)列是等差或等比數(shù)列,求通項(xiàng),破解方法:公式法或待定系數(shù)法;(2)已知Sn,求通項(xiàng),破解方法:利用Sn-Sn-1= an,但要注意分類討論,本例的求解中檢驗(yàn)必不可少,值得重視;(3)已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng),破解方法:猜想證明法或構(gòu)造法?!疚摹恳阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為,且(1)求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和解析 (1)當(dāng)時,而為等比數(shù)列,得,即,從而 又(2), 兩式相減得,因此,【范例3】下表給出一個“三角形數(shù)陣”:, 已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列;從第三行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等記第i行第j列的數(shù)為aij ( ij, i, jN*)(1) 求a83;(2) 試寫出a ij關(guān)于i, j的表達(dá)式;(3) 記第n行的和為An,求解析 (1)由題知成等差數(shù)列,且,所以公差。又成等比數(shù)列,且又公比都相等,每行的公比是 (2)由(1)知,(3)【點(diǎn)睛】在新穎背景數(shù)表中運(yùn)用數(shù)列知識【文】在等比數(shù)列a n中,前n項(xiàng)和為Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列,則am, am+2, am+1成等差數(shù)列 (1)寫出這個命題的逆命題;(2)判斷逆命題是否為真,并給出證明解析()逆命題:在等比數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn,若am, am+2, am+1成等差數(shù)列,則 Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列 ()設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公比為q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ,2q2q1=0 , q=1或q=當(dāng)q=1時,Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1,Sm+Sm+12 Sm+2, Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數(shù)列當(dāng)q=時, ,Sm+Sm+1=2 Sm+2 , Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列綜上得:當(dāng)公比q=1時,逆命題為假;當(dāng)公比q1時,逆命題為真【點(diǎn)睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點(diǎn)和靈活之處【范例4】已知數(shù)列在直線x-y+1=0上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若函數(shù)求函數(shù)f (n)的最小值;(3)設(shè)表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 試問:是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說明理由 解析 (1)在直線x-y+1=0上 (2) ,(3), 故存在關(guān)于n的整式使等式對于一切不小2的自然數(shù)n恒成立【點(diǎn)睛】點(diǎn)在直線上的充要條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程,即得遞推式第(3)小題的探索性設(shè)問也是本題的升華【變式】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,()當(dāng)時,請?jiān)跀?shù)列中找一項(xiàng),使得成等比數(shù)列;()當(dāng)時,若滿足,使得是等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析()設(shè)公差為,則由,得成等比數(shù)列, 解得故成等比數(shù)列 (),故又是等比數(shù)列,則,又,【點(diǎn)睛】等差數(shù)列中尋找等比子數(shù)列是數(shù)列的重要內(nèi)容自我提升1在等差數(shù)列中,則( A )(A) (B) (C) (D)-1或12(理)已知數(shù)列的值為( C )(A) (B) (C)1 (D)2(文)直角三角形三邊成等比數(shù)列,公比為,則的值為( D )(A) (B) (C) (D)3設(shè)a n為等差數(shù)列,a 10 ,a 6+ a 70, a6 a 70成立的最大自然數(shù)n是( B ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 4三個數(shù)成等比數(shù)列,且,則的取值范圍是( D )(A) (B) (C) (D) 5令a n為的展開式中含xn項(xiàng)的系數(shù),則數(shù)列a n的前n項(xiàng)和為_6這是一個計(jì)算機(jī)程序的操作說明:(1)初始值為x=1,y=1,z=0,n=0;(2)nn+1(將當(dāng)前n+1的值賦予新的n)(3)x = x+2(將當(dāng)前的x=2的值賦予新的x)(4)y =2 y (將當(dāng)前2y的值賦予新的y)(5)z = z + x y(將當(dāng)前z+xy的值賦予新的z)(6)如果z7000,則執(zhí)行語句(7),否則回語句(2)繼續(xù)進(jìn)行;(7)打印n,z;(8)程序終止由語句(7)打印出的數(shù)值為n=8,z=76827已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 設(shè),是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m;解析 ()設(shè)二次函數(shù)f (x)ax2+bx (a0),則=2ax+b,又=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x又因?yàn)辄c(diǎn)均在函數(shù)的圖像上,所以3n22n當(dāng)n2時,anSnSn1(3n22n)6n5當(dāng)n1時,a1S13122615,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1)因此,要使(1)()恒成立的m,必須且僅須滿足,即m10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10 【文】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù),前n項(xiàng)和為Sn. ()若a11=0,S14=98,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()若a16,a110,S1477,求所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解析:()由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此,an的通項(xiàng)公式是an=222n,n=1,2,3()由得即由+得7d11。即d. 由+得13d1,即d.于是d, 又dZ,故d=1,將代入得10a112.又a1Z, 故a1=11或a1=12.所以,所有可能的數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3, 8(理)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,請求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請說明理由解析:(1)當(dāng)
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