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湖南省五市十校2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題 文(含解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合,則P的子集共有( )A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)【答案】B【解析】【分析】先求出,由此能求出的子集的個(gè)數(shù)【詳解】解:集合,的子集共有故選:【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法,考查集合的子集個(gè)數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為( )A. 2B. -2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)根據(jù)實(shí)部定義得答案【詳解】解:則的實(shí)部為2故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題3.若,則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及運(yùn)算性質(zhì)可以得解.【詳解】解: 根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的圖像可知 所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及運(yùn)算性質(zhì)比較大小,屬于基礎(chǔ)題.4.(2017新課標(biāo)全國(guó)I理科)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若,則的公差為A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】設(shè)公差為,聯(lián)立解得,故選C.點(diǎn)睛:求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí),要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì),如為等差數(shù)列,若,則.5.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷(xiāo)售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用(萬(wàn)元)4235銷(xiāo)售額(萬(wàn)元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為A. 63.6萬(wàn)元B. 65.5萬(wàn)元C. 67.7萬(wàn)元D. 72.0萬(wàn)元【答案】B【解析】【詳解】試題分析:,數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上,回歸方程中的為9.4,42=9435+a,=91,線性回歸方程是y=94x+91,廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷(xiāo)售額為946+91=655考點(diǎn):線性回歸方程6.若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為則雙曲線的離心率為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意利用點(diǎn)到直線的距離公式,建立方程,即可求得雙曲線的離心率【詳解】解:雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線方程為,所以焦點(diǎn)到漸近線的方程為,整理得,即 所以 故選:C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查點(diǎn)到直線距離公式,屬于基礎(chǔ)題7.已知且滿足,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的二倍角公式將原式進(jìn)行整理可求值,再根據(jù)的范圍即可求出.【詳解】解:即或故故選:A【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)為常數(shù)且)的圖象大致為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的零點(diǎn)以及零點(diǎn)個(gè)數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,利用排除法進(jìn)行求解【詳解】解:由得,得或,即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),排除,函數(shù)的導(dǎo)數(shù),方程中 故有兩個(gè)不等根,即有兩個(gè)極值點(diǎn),排除,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,利用函數(shù)零點(diǎn),極值點(diǎn)個(gè)數(shù)和單調(diào)性,結(jié)合排除法是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題9.公元263年左右,我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出n的值為()(參考數(shù)據(jù):sin15=0.2588,sin7.5=0.1305)A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循環(huán)過(guò)程中S與n的數(shù)值,滿足判斷框的條件,即可結(jié)束循環(huán),得到答案【詳解】模擬執(zhí)行程序,可得:n=6,S=3sin60=,不滿足條件S3.10,n=12,S=6sin30=3,不滿足條件S3.10,n=24,S=12sin15=120.2588=3.1056,滿足條件S3.10,退出循環(huán),輸出n的值為24故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)框圖的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)給定的程序框圖,逐次循環(huán),注意判斷框的條件的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。10.已知是單位向量,且滿足,則與的夾角為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)單位向量,的夾角為,根據(jù),代入數(shù)據(jù)求出的值【詳解】解:設(shè)單位向量,的夾角為,即,解得,與夾角為故選:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積和夾角的計(jì)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題11.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)在棱上,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD上。若,(大于零),則四面體PEFQ的體積A. 與都有關(guān)B. 與m有關(guān),與無(wú)關(guān)C. 與p有關(guān),與無(wú)關(guān)D. 與有關(guān),與無(wú)關(guān)【答案】C【解析】【分析】連接、交于點(diǎn),作,證明平面,可得出平面,于此得出三棱錐的高為,再由四邊形為矩形知,點(diǎn)到的距離為,于此可計(jì)算出的面積為,最后利用錐體的體積公式可得出四面體的體積的表達(dá)式,于此可得出結(jié)論?!驹斀狻咳缦聢D所示,連接、交于點(diǎn),作,在正方體中,平面,且平面,又四邊形為正方形,則,且,平面,即平面,平面,且,易知四邊形是矩形,且,點(diǎn)到直線的距離為,的面積為,所以,四面體的體積為,因此,四面體的體積與有關(guān),與、無(wú)關(guān),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的計(jì)算,解題的關(guān)鍵在于尋找底面和高,要充分結(jié)合題中已知的線面垂直的條件,找三棱錐的高時(shí),只需過(guò)點(diǎn)作垂線的平行線可得出高,考查邏輯推理能力,屬于難題。12.已知M,N分別是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為( )A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】求出圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,則的最小值是【詳解】解:圓的圓心,半徑為 ,圓,圓心,半徑為,圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為, 解得故故選:【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程,考查點(diǎn)線對(duì)稱,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分13.曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_(kāi).【答案】【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到函數(shù)在這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程【詳解】解:,切線的方程是,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線的方程,屬于基礎(chǔ)題14.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,則_.【答案】25【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),與列方程組,即可求得及,再利用性質(zhì)即可求得.【詳解】解:由等比數(shù)列的性質(zhì)知道, ,解得或由于數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,故, 故答案為:25.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題15.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為8,則這個(gè)球的表面積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先求正四棱柱的底面邊長(zhǎng),然后求其對(duì)角線,就是球的直徑,再求其表面積【詳解】解:正四棱柱高為4,體積為8,底面積為2,正方形邊長(zhǎng)為,正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即球的直徑為,球的半徑為,球的表面積,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力,四棱柱的體積,球的表面積,容易疏忽的地方是幾何體的體對(duì)角線是外接球的直徑,屬于基礎(chǔ)題16.在古代三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”,由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形,中間空出一個(gè)小正方形(如圖陰影部分)。若直角三角形中較小的銳角為a?,F(xiàn)向大正方形區(qū)城內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢,要使飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為,則_。 【答案】【解析】【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,可得出每個(gè)直角三角形的面積為,由幾何概型可得出四個(gè)直角三角形的面積之和為,可求出,由得出并得出的值,再利用降冪公式可求出的值.【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,則直角三角形的兩條直角邊分別為和,則每個(gè)直角三角形的面積為,由題意知,陰影部分正方形的面積為,所以,四個(gè)直角三角形的面積和為,即,由于是較小的銳角,則,所以,因此,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦值的計(jì)算,考查幾何概型概率的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵就是求出和的值,并通過(guò)二倍角升冪公式求出的值,考查計(jì)算能力,屬于中等題。三、解答題:共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟,第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答(一)必考題:共60分 17.甲乙兩校分別有120名和100名學(xué)生參加了某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)組織的自主招生培訓(xùn),考試結(jié)果出來(lái)以后,培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步了解各校所培訓(xùn)學(xué)生通過(guò)自主招生的情況,從甲校隨機(jī)抽取60人,從乙校隨機(jī)抽取50人進(jìn)行分析,相關(guān)數(shù)據(jù)如下表通過(guò)人數(shù)末通過(guò)人數(shù)總計(jì)甲校乙校30總計(jì)60(1)完成上面列聯(lián)表。并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為自主招生通過(guò)情況與學(xué)生所在學(xué)校有關(guān);(2)現(xiàn)從甲、乙兩校通過(guò)的學(xué)生中采取分層抽樣的方法抽取5人,再?gòu)乃槿〉?人中隨機(jī)抽取2人,求2人全部來(lái)自乙校的概率.參考公式:參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有;(2).【解析】【分析】(1)完成表中數(shù)據(jù)計(jì)算可得的觀測(cè)值,與臨界值比較,即可得出結(jié)論;(2)設(shè)抽取5人中,甲校2名學(xué)生分別為、,乙校3名同學(xué)分別為,利用列舉法能根據(jù)古典概型概率公式可求出這2人來(lái)自乙校的概率【詳解】(1)列聯(lián)表如下:通過(guò)人數(shù)未通過(guò)人數(shù)總計(jì)甲校204060乙校302050總計(jì)5060110由上表數(shù)據(jù)算得:.所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過(guò)情況與所在學(xué)校有關(guān).(2)按照分層抽樣的方法,應(yīng)從甲校中抽2人,乙校中抽3人,甲校2人記為A,B,乙校3人記為,從5人中任取2人共有 10種情況,其中2人全部來(lái)自乙校的情況有共3種,所以所求事件的概率為 .【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查古典概型概率公式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題18.已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且,內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列.(1)求b的值;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)3;(2) .【解析】分析】(1)由三角形三內(nèi)角、成等差數(shù)列,可得,再由正弦定理得到b的值(2)由正弦定理邊化角結(jié)合角A的范圍求值域.【詳解】(1)由成等差數(shù)列,可求得,由已知及正弦定理可求得.(2)三角形的周長(zhǎng)為,,所以周長(zhǎng)的取值范圍是 .【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用,正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題19.如圖,在多面體中,為等邊三角形,F(xiàn)為EB的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求多面體的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】【分析】(1)取中點(diǎn),連接,由三角形中位線定理,知,結(jié)合已知,易得四邊形為平行四邊形,所以,再由線面平面的判定定理,可得平面;(2)由已知利用勾股定理可知結(jié)合可以證得平面進(jìn)而有平面平面,所以過(guò)作的垂線,即為四棱錐的高,進(jìn)而由體積公式可得解.【詳解】(1)取中點(diǎn),連結(jié) 四邊形AFMD為平行四邊形 。又平面,平面,平面. (2),又平面平面平面平面,過(guò)作的垂線,垂足為,則為四棱錐的高。由題知底面四邊形為直角梯形,其面積 , .【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,多面體體積的求法,熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系(平行和垂直)的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在過(guò)點(diǎn)直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且滿足若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1);(2)存在這樣的直線,直線方程為:.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件利用及即可求得橢圓的方程;(2)根據(jù),利用向量坐標(biāo)化可得,再分類(lèi)討論,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,即可求得直線的方程【詳解】解:(1)由已知點(diǎn)代入橢圓方程得由得可轉(zhuǎn)化為由以上兩式解得所以橢圓C的方程為:.(2)存在這樣的直線.當(dāng)l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足,所以設(shè)所求直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得: .,設(shè)所求直線與橢圓相交兩點(diǎn)由已知條件可得,綜合上述式子可解得符合題意,所以所求直線方程為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題21.已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),試判斷方程是否有實(shí)數(shù)根?并說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)沒(méi)有.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論與0的關(guān)系分析函數(shù)的單調(diào)性即可;(2)通過(guò)分析的導(dǎo)數(shù)求出 ,令,求出的最大值小于的最小值,從而判斷無(wú)解【詳解】解:(1)由已知可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí),所以在為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)當(dāng)時(shí),由(1)可知知在為增函數(shù),在為減函數(shù).所以,所以.令,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,所以,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)恒成立問(wèn)題,屬于中檔題(二)選考題:共10分,請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分. 選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)
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