2016年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 21 頁） 2016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|2， x Z，則（ ） A M N B N M C MN=0 D M N=N 2已知復(fù)數(shù) z= ，其中 i 為虛數(shù)單位，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 3已知 ） = ，則 ）的值是（ ） A B C D 4已知隨 機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布 N（ 3， 2），且 P（ x 4） = P（ 2 x 4） =（ ） A 不等式組 的解集記為 D，若（ a， b） D，則 z=2a 3b 的最小值是（ ） A 4 B 1 C 1 D 4 6使（ ） n（ n N）展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的 n 的最小值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 7已知函數(shù) f（ x） =2x+） 0 ）的圖象的一個(gè)對稱中心為（ ， 0），則函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A 2， 2（ k Z） B 2， 2（ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 8已知球 O 的半徑為 R， A， B， C 三點(diǎn)在球 O 的球面上，球心 O 到平面 距離為R C=2， 20，則球 O 的表面積為（ ） A B C D 9已知命題 p： x N*，（ ） x （ ） x，命題 q： x N*， 2x+21 x=2 ，則下列命題中為真命題的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 10如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） 第 2 頁（共 21 頁） A 4+6 B 8+6 C 4+12 D 8+12 11已知點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) M 在雙曲線 C： （ 為正常數(shù)）上，過點(diǎn) M 作雙曲線 C 的某一條漸近線的垂線，垂足為 N，則 |值為（ ） A B C D無法確定 12設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?R， f（ x） =f（ x）， f（ x） =f（ 2 x），當(dāng) x 0， 1時(shí)， f（ x） =函數(shù) g（ x） =|x） | f（ x）在區(qū)間 ， 上的所有零點(diǎn)的和為（ ） A 7 B 6 C 3 D 2 二 大題共 4 小題，每小題 5 分 13曲線 f（ x） = +3x 在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 _ 14已知平面向量 與 的夾角為 ， =（ 1， ）， | 2 |=2 則 | |=_ 15已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓 C 的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），點(diǎn) F 關(guān)于直線 y= x 的對稱點(diǎn)在橢圓 C 上，則橢圓 C 的方程為 _ 16在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 的對邊， a+c=4，（ 2 面積的最大值為 _ 三 答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，已知 ， =2（ n N） （ I）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）令 2n 1） 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分折，決定從本班 24 名女同學(xué)， 18 名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 7 的樣本進(jìn)行分析 （ I）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果） （ ）如果隨機(jī)抽 取的 7 名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如表： 學(xué)生序號 i 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學(xué)成績60 65 70 75 85 87 90 物理成績70 77 80 85 90 86 93 （ i）若規(guī)定 85 分以上（包括 85 分）為優(yōu)秀，從這 7 名同學(xué)中抽取 3 名同學(xué)，記 3 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望； 第 3 頁（共 21 頁） （ 據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績 y 關(guān)于數(shù)學(xué)成績 x 的線性回歸方程（系數(shù)精確到 若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績 為 96 分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?附：回歸直線的方程是： ，其中 b= ， a= 76 83 812 526 19如圖，在多面體 ， 等邊三角形， 等腰直角三角形， 0，平面 平面 平面 （ ）求證： （ ）若 C=2，求直線 平面 成角的正弦值 20已知點(diǎn) F（ 1， 0），點(diǎn) A 是直線 x= 1 上的動(dòng)點(diǎn)，過 A 作直線 段 于點(diǎn) P （ ）求點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ ）若點(diǎn) M， N 是直線 兩個(gè)不同的點(diǎn)，且 內(nèi)切圓方程為 x2+，直線 k，求 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =e x x R） （ ） 當(dāng) a= 1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的最小值； （ ） 若 x 0 時(shí)， f（ x） +x+1） 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）求證： 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請寫清題號 選修 4何證明選講 22如圖， 四邊形 圓 O 的內(nèi)接四邊形， 圓 O 的直徑， D， 延長線與 延長線交于點(diǎn) E，過 C 作 足為點(diǎn) F （ ）證明： 圓 O 的切線； （ ）若 ， ，求 長 第 4 頁（共 21 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）以點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 + = （ ）將曲線 C 和直線 l 化為直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線 l 的距離的最大值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x+1|+|x 2| a） （ ）當(dāng) a=7 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的定義域； （ ）若關(guān)于 x 的不等式 f（ x） 3 的解集是 R，求實(shí)數(shù) a 的最大值 第 5 頁（共 21 頁） 2016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一 大 題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=x|2， x Z，則（ ） A M N B N M C MN=0 D M N=N 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【分析】 N=x|2， x Z= 1， 0， 1，從而解得 【解答】 解： N=x|2， x Z= 1， 0， 1， 故 MN=0， 故選： C 2已知復(fù)數(shù) z= ，其中 i 為虛數(shù)單位 ，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)計(jì)算復(fù)數(shù)的模即可 【解答】 解： z= = = = ， |z|=1， 故選 ： B 3已知 ） = ，則 ）的值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 由已知及誘導(dǎo)公式即可計(jì)算求值 【解答】 解： ） =（ ） =） = ， 故選： A 4已知隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布 N（ 3， 2），且 P（ x 4） = P（ 2 x 4） =（ ） A 考點(diǎn)】 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 【分析】 根據(jù)對稱性，由 P（ x 4） =概率可求出 P（ x 2） =P（ x 4） =可求出 P（ 2 x 4） 【解答】 解： P（ x 4） = 第 6 頁（共 21 頁） P（ x 4） =1 P（ x 2） =P（ x 4） = P（ 2 x 4） =P（ x 4） P（ x 2） =選 B 5不等式組 的解集記 為 D，若（ a， b） D，則 z=2a 3b 的最小值是（ ） A 4 B 1 C 1 D 4 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由題意作平面區(qū)域，從而可得當(dāng) a= 2， b=0 時(shí)有最小值，從而求得 【解答】 解：由題意作平面區(qū)域如下， ， 結(jié)合圖象可知， 當(dāng) a= 2， b=0，即過點(diǎn) A 時(shí)， z=2a 3b 有最小值為 4， 故選： A 6使（ ） n（ n N）展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的 n 的最小值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令 x 的冪指數(shù)等于 0，求出 n 與 r 的關(guān)系值，即可求得 n 的最小值 【解答】 解：（ ） n（ n N）展開式的通項(xiàng)公式為 = 5r， 令 2n 5r=0，求得 2n=5r，可得含有常數(shù)項(xiàng)的 n 的最小值是 5， 故選： C 第 7 頁（共 21 頁） 7已知函數(shù) f（ x） =2x+） 0 ）的圖象的一個(gè)對稱中心為（ ， 0），則函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ） A 2， 2（ k Z） B 2， 2（ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由題意和函數(shù)的對稱性待定系數(shù)可得函數(shù)解析式，可得單調(diào)遞減區(qū)間 【解答】 解：由題意可得 2 +） =0，故 2 += 解得 =， k Z，由 0 可得 = ， f（ x） =2x+ ）， 由 2 2x+ 2可得 x ， 函數(shù) f（ x）的單凋遞減區(qū)間為 ， ， k Z 故選： D 8已知球 O 的半徑為 R， A， B， C 三點(diǎn)在球 O 的球面上，球心 O 到平面 距離為R C=2， 20，則球 O 的表面積為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 利用余弦定理求出 長，進(jìn)而由正弦定理求出平面 球所得圓的半徑，結(jié)合球心距，求出球的半徑，代入球的表面積公式，可得答案 【解答】 解：在 ， C=2， 20， =2 ， 由正弦定理可得平面 球所得圓的半徑（即 外接圓半徑）， r= =2， 又 球心到平面 距離 d= R， 球 O 的半徑 R= ， 第 8 頁（共 21 頁） 故球 O 的表面積 S=4， 故選： D 9已知命題 p： x N*，（ ） x （ ） x，命題 q： x N*， 2x+21 x=2 ，則下列命題中為真命題的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真 假 【分析】 命題 p：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：是真命題；命題 q：由 2x+21 x=2 ，化為：（ 2x） 2 2 2x+2=0，解得 2x= ， x= ，即可判斷出真假，再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命題 p： x N*，（ ） x （ ） x，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：是真命題； 命題 q：由 2x+21 x=2 ，化為：（ 2x） 2 2 2x+2=0，解得 2x= ， x= ，因此 q 是假命題 則下列命題中為真命題的是 P （ q）， 故選： C 10如圖，網(wǎng)格紙上的 小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A 4+6 B 8+6 C 4+12 D 8+12 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)三視圖知幾何體是組合體：下面是半個(gè)圓柱、上面是一個(gè)以圓柱軸截面為底的四棱錐，并求出圓柱的底面半徑、母線，四棱錐的高和底面邊長，代入體積公式求值即可 【解答】 解：根據(jù)三視圖知幾何體是組合體， 下面是半個(gè)圓柱、上面是一個(gè)以圓柱軸截面為底的四棱錐， 圓柱的底面半徑為 2，母線 長為 3；四棱錐的高是 2，底面是邊長為 4、 3 的矩形， 該幾何體的體積 V= =6+8， 故選： B 11已知點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) M 在雙曲線 C： （ 為正常數(shù)）上，過點(diǎn) M 作雙曲線 C 的某一條漸近線的垂線，垂足為 N，則 |值為（ ） A B C D無法確定 第 9 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) M（ m， n） ，即有 ，求出雙曲線的漸近線為 y= x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理可得 |化簡整理計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：設(shè) M（ m， n），即有 ， 雙曲線的漸近線為 y= x， 可得 | ， 由勾股定理可得 | = = ， 可得 | = = 故選： B 12設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)?R， f（ x） =f（ x）， f（ x） =f（ 2 x），當(dāng) x 0， 1時(shí)， f（ x） =函數(shù) g（ x） =|x） | f（ x）在區(qū)間 ， 上的所有零點(diǎn)的和為（ ） A 7 B 6 C 3 D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 根據(jù) f（ x）的對稱性和奇偶性可知 f（ x）在 ， 上共有 3 條對稱軸， x=0，x=1， x=2，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可知 y=|x） |也關(guān)于 x=0， x=1， x=2 對稱，故而 g（ x）在 ， 上 3 條對稱軸，根據(jù) f（ x）和 y=|x） |在 0， 1上的函數(shù)圖象，判斷 g（ x）在 ， 上的零點(diǎn)分布情況，利用函數(shù)的對稱性得出零點(diǎn)之和 【解答】 解： f（ x） =f（ 2 x）， f（ x）關(guān)于 x=1 對稱， f（ x） =f（ x）， f（ x）根與 x=0 對稱， f（ x） =f（ 2 x） =f（ x 2）， f（ x） =f（ x+2）， f（ x）是以 2 為周期的函數(shù)， f（ x）在 ， 上共有 3 條對稱軸，分別為 x=0， x=1， x=2， 又 y=|x）關(guān)于 x=0， x=1， x=2 對稱， x=0， x=1， x=2 為 g（ x）的對稱軸 作出 y=|x） |和 y= 0， 1上的函數(shù)圖象如圖所示： 第 10 頁（共 21 頁） 由圖象可知 g（ x）在（ 0， ）和（ ， 1）上各有 1 個(gè)零點(diǎn) g（ x）在 ， 上共有 6 個(gè)零點(diǎn)， 設(shè)這 6 個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為 則 于 x=0 對稱， 于 x=1 對稱， 于 x=2 對稱 x1+， x +， x5+， x1+x2+x +x4+x5+ 故選： B 二 大題共 4 小題，每小題 5 分 13曲線 f（ x） = +3x 在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y=x+4 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） = +3， 則 f（ 1） = 2+3=1，即切線斜率 k=1， f（ 1） =2+3=5， 切點(diǎn)坐標(biāo) 為（ 1， 5）， 則切線方程為 y 5=x 1，即 y=x+4， 故答案為： y=x+4 14已知平面向量 與 的夾角為 ， =（ 1， ）， | 2 |=2 則 | |= 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 對 | 2 |=2 兩邊平方得出關(guān)于 | |的方程，即可解出 【解答】 解： | |=2， =| | | |， | 2 |=2 ， （ ） 2= ， 第 11 頁（共 21 頁） 即 4| |2 4| |+4=12，解得 | |=2 故答案為： 2 15已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓 C 的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），點(diǎn) F 關(guān)于直線 y= x 的對 稱點(diǎn)在橢圓 C 上，則橢圓 C 的方程為 + =1 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)橢圓的方程為 + =1（ a b 0），由題意可得 c=1，設(shè)點(diǎn) F（ 1， 0）關(guān)于直線 y= x 的對稱點(diǎn)為（ m， n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，以及中點(diǎn)坐 標(biāo)公式，解方程可得 a， b，進(jìn)而得到橢圓方程 【解答】 解：設(shè)橢圓的方程為 + =1（ a b 0）， 由題意可得 c=1，即 ， 設(shè)點(diǎn) F（ 1， 0）關(guān)于直線 y= x 的對稱點(diǎn)為（ m， n）， 可得 = 2，且 n= ， 解得 m= ， n= ，即對稱點(diǎn)為（ ， ） 代入橢圓方程可得 + =1， 解得 ， ， 可得橢圓的方程為 + =1 故答案為： + =1 16在 ， a， b， c 分別為內(nèi)角 A， B， C 的對邊， a+c=4，（ 2 面積的最大值為 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 使用半角公式化簡條件式，利用正弦定理得出 a， b， c 的關(guān)系，使用海倫公式和基本不等式得出面積的最大值 【解答】 解：在 ， （ 2 （ 2 = 第 12 頁（共 21 頁） 即 2 2b=a+c=4， b=2 a+c=4， a=4 c S= = （ 3 c）（ c 1） =1， S 故答案為： 三 答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17設(shè) 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，已知 ， =2（ n N） （ I）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）令 2n 1） 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出； （ 用 “錯(cuò)位相減法 ”與等比數(shù)列的其前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：（ I） =2， 當(dāng) n 2 時(shí)， 1+3， （ 1） =2為 =3 數(shù)列 等比數(shù)列， 首項(xiàng)為 3，公比為 3 n （ 2n 1） 2n 1） 3n， 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 +3 32+5 33+（ 2n 1） 3n， 32+3 33+（ 2n 3） 3n+（ 2n 1） 3n+1， 2+2（ 32+33+3n）（ 2n 1） 3n+1= 3（ 2n 1） 3n+1=（ 22n） 3n+1 6， n 1） 3n+1+3 18班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分 折，決定從本班 24 名女同學(xué)， 18 名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為 7 的樣本進(jìn)行分析 （ I）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果） （ ）如果隨機(jī)抽取的 7 名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如表： 學(xué)生序號 i 1 2 3 4 5 6 7 數(shù)學(xué)成績60 65 70 75 85 87 90 物理成績70 77 80 85 90 86 93 （ i）若規(guī)定 85 分以上（包括 85 分）為優(yōu)秀，從這 7 名同學(xué)中抽取 3 名同 學(xué)，記 3 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望； （ 據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績 y 關(guān)于數(shù)學(xué)成績 x 的線性回歸方程（系數(shù)精確到 若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?96 分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?第 13 頁（共 21 頁） 附：回歸直線的方程是： ，其中 b= ， a= 76 83 812 526 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；線性回歸方程；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論 （ ）（ i） 的取值為 0， 1， 2， 3，計(jì)算出相應(yīng)的概率，即可得 的分布列和數(shù)學(xué)期望 （ 據(jù)條件求出線性回歸方程，進(jìn)行求解即可 【解答】 （ ）解：依據(jù)分層抽樣的方法， 24 名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 名， 18 名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 18=3 名， 故不同的樣本的個(gè)數(shù)為 （ ） （ ）解： 7 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為 3 名， 的取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列為 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = （ ）解： b= a= =83 75= 線性回歸方程為 = x=96 時(shí)， =96+6 可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?96 分 19如圖，在多面體 ， 等邊三角形， 等腰直角三角形， 0，平面 平面 平面 （ ）求證： （ ）若 C=2，求直線 平面 成角的正弦值 第 14 頁（共 21 頁） 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ I）取 中點(diǎn) O，連接 可證 D 平面 是 （ O 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出 和平面 法向量 ，則直線 平面 成角的正弦值為 | | 【解答】 （ ）證明：取 中點(diǎn) O，連接 等邊三角形， 等腰直角三角形， 0， 平面 平面 面 面 D， 面 平面 又 平面 O， M， A， B 四點(diǎn)共面 M=O， 面 面 平面 平面 （ ）作 足為 N，則 B 等邊三角形， ， ， 在 ， 等腰直角三角形， 0， N+N+ 以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 坐標(biāo)軸軸建立空間直角坐標(biāo)系 O 則 M（ 0， 0， 1）， ， D（ 1， 0， 0）， ， ， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 由 n ， n ， ， 令 y=1，得 = 設(shè)直線 平面 成角為 ， 第 15 頁（共 21 頁） 則 = = 直線 平面 成角的正弦值為 20已知點(diǎn) F（ 1， 0），點(diǎn) A 是直線 x= 1 上的動(dòng)點(diǎn)，過 A 作直線 段 于點(diǎn) P （ ）求點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ ）若點(diǎn) M， N 是直線 兩個(gè)不同的點(diǎn)，且 內(nèi)切圓方程為 x2+，直線 k，求 的取值范圍 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ ）點(diǎn) P 到點(diǎn) F（ 1， 0）的距離等于 它到直線 距離，從而點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn)F 為焦點(diǎn)，直線 x= 1 為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線 C 的方程 （ ）設(shè) P（ 點(diǎn) M（ 1， m），點(diǎn) N（ 1， n），直線 方程為（ m） x（ ） y+（ m） +m（ ） =0， 內(nèi)切圓的方程為 x2+，圓心（ 0， 0）到直線 距離為 1，由 1，得（ 1） ） =0，同理，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、直線斜率，結(jié)合已知條件能求出 的取值范圍 【解答】 解：（ ） 點(diǎn) F（ 1， 0），點(diǎn) A 是直線 x= 1 上的動(dòng)點(diǎn)，過 A 作直線 l1段 垂直平分線與 于點(diǎn) P， 點(diǎn) P 到點(diǎn) F（ 1， 0）的距離等于它到直線 距離， 點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn) F 為焦點(diǎn)，直線 x= 1 為準(zhǔn)線的拋物線， 曲線 C 的方程為 x （ ）設(shè) P（ 點(diǎn) M（ 1， m），點(diǎn) N（ 1， n）， 直線 方程為： y m= （ x+1）， 化簡，得（ m） x（ ） y+（ m） +m（ ） =0， 內(nèi)切圓的方程為 x2+， 圓心（ 0， 0）到直線 距離為 1，即 =1， = ， 第 16 頁（共 21 頁） 由題意得 1， 上式化簡，得（ 1） ） =0， 同理，有 ， m， n 是關(guān)于 t 的方程（ 1） y t（ ） =0 的兩根， m+n= ， ， |m n|= = ， ， |2 ， | =2 ， 直線 斜率 ，則 k=| |= ， = = ， 函數(shù) y=x 在（ 1， +）上單調(diào)遞增， ， ， 0 的取值范圍是（ 0， ） 21已知函數(shù) f（ x） =e x x R） （ ） 當(dāng) a= 1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的最小值； （ ） 若 x 0 時(shí)， f（ x） +x+1） 1，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）求證： 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值； （ ）得到 ex+ax+x+1） 1 0（ *）令 g（ x） =ex+ax+x+1） 1，通過討論 a 的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的 a 的具體范圍即可； 第 17 頁（共 21 頁） （ ）令 a=2，得到 ，從而證出結(jié)論 【解答】 解：（ ）當(dāng) a= 1 時(shí)， f（ x） =e x+x， 則 1 分 令 f（ x） =0，得 x=0 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 0； 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 0 2 分 函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ ， 0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞增 當(dāng) x=0 時(shí)，函數(shù) f（ x）取得最小值，其值為 f（ 0） =1 3 分 （ ）若 x 0 時(shí)， f（ x） +x+1） 1， 即 ex+ax+x+1） 1 0（ *） 令 g（ x） =ex+ax+x+1） 1， 則 若 a 2，由（ ）知 e x+x 1，即 e x 1 x，故 1+x 4 分 函數(shù) g（ x）在區(qū)間 0， +）上單調(diào)遞增 g（ x） g（ 0） =0 （ *）式成立 5 分 若 a 2，令 ， 則 函數(shù) （ x）在區(qū)間 0， +）上單調(diào)遞增 由于 （ 0） =2+a 0， 6 分 故 （ 0， a），使得 （ =0 7 分 則當(dāng) 0 x ， （ x） （ =0，即 g（ x） 0 函數(shù) g（ x）在區(qū)間（ 0， 單調(diào)遞減 g（ g（ 0） =0，即（ *）式不恒成立 8 分 綜上所述，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2， +） 9 分 （ ）證明：由（ ）知，當(dāng) a= 2 時(shí)， g（ x） =2x+x+1） 1 在 0， +）上單調(diào)遞增 則 ，即 10 分 11 分 ，即 12 分 第 18 頁（共 21 頁） 四 2、 23、 24 三題中任選一題作答， 如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請寫清題號 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 圓 O 的內(nèi)接四邊形， 圓 O 的直徑， D， 延長線與 延長線交于點(diǎn) E，過 C 作 足為點(diǎn) F （ ）證明： 圓 O 的切線； （ ）若 ， ，求 長 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的判定定理的證明 【分析】 （ ）連接 明： 用 得 可證明圓 O 的 切線； （ ）由割線定理： B=A，且 ，得 ，利用勾股定理求 長 【解答】 （ ）證明：連接 D， 1 分 圓 O 的直徑， A 2 分 3 分 4 分 圓 O 的切線 5 分 （ ）解： 圓 O 的直徑， 0，即 點(diǎn) C 為 中點(diǎn) E= 6 分 由割線定理： B=A，且 7 分 得 8 分 在 ， E， F 為 中點(diǎn) 9 分 在 ， 10 分 第 19 頁（共 21 頁） 長為 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）以點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 + = （ ）將曲線 C 和直線 l 化為直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)