怎樣探討軌跡的純粹性人教

怎樣探討軌跡的純粹性 求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本知識(shí)，課本在談到曲線的方程和方程的曲線時(shí)，指出兩個(gè)關(guān)系： 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 其中我們叫曲線方程的完備性；叫曲線的方程的純粹性。在求軌跡方程時(shí)，教材強(qiáng)調(diào)分五步求軌跡方程，“除個(gè)別情況外?；?jiǎn)過(guò)程都是同解變形過(guò)程，步驟5（即證明）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明?！彼^予以說(shuō)明，就是要探討軌跡方程的純粹性很多學(xué)生對(duì)此缺乏規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，以至心有余而力不足，那么，解決軌跡方程的純粹性問(wèn)題應(yīng)該怎樣進(jìn)行呢?筆者總結(jié)了一首歌訣： 純粹性，看轉(zhuǎn)換，以等價(jià)，找特征；條件顯，看方程，條件隱，畫圖形。 下面就幾個(gè)實(shí)例來(lái)研究一下。 一、顯性條件的制約 例1、設(shè)動(dòng)直線軸，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，P是上滿足的點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形?解：列方程的主要依據(jù)是，由AB軸可設(shè)，且A、B在橢圓上，若設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為， 即，即。代入條件得：，即。 又，即。故軌跡方程為或。 點(diǎn)評(píng)：很多學(xué)生到此為止，不再考慮條件限制。這道題屬于顯性條件約束P點(diǎn)軌跡是因AB移動(dòng)而產(chǎn)生的，即，而有范圍：-22（由橢圓決定）。故必有-22。又當(dāng)時(shí)，A，B兩者重合于一點(diǎn)（原已知橢圓的頂點(diǎn)），不滿足題意，因此為必備條件，顯然所求軌跡中的超過(guò)了這個(gè)范圍，應(yīng)該剔除不合條件的點(diǎn)，“純粹”所求軌跡。正確的結(jié)論是：或，軌跡圖形是兩個(gè)橢圓夾在直線間的部分。 總結(jié)：本題條件顯然，因此“純粹性”的討論不是很棘手，直接由原已知橢圓的幾何性質(zhì) “范圍”可以得出，如已自身滿足，因此可以不標(biāo)明。這正是：條件顯，看方程。 例2、ABC 一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B（0，6）和C（0，一6），另兩邊斜率的積是，求頂點(diǎn)A的軌跡。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)A，由兩邊斜率之積為。 列方程，整理為。點(diǎn)評(píng)：這道題的約束條件是顯性的，頂點(diǎn)A必須滿足與B，C構(gòu)成ABC。即剔除A，B，C三點(diǎn)共線的情況（），反映到方程中也可以表示成，正確解答如前，只需在所求方程后附加條件：（y 6或y 0，即且。 即M點(diǎn)必須在大圓內(nèi)、小圓外，如果去解不等式得出范圍太繁雜了，顯然當(dāng)M（8，0）時(shí)，要舍去。綜合各方面因素，最終仍是結(jié)論：條件隱，畫圖形。 總體看來(lái)，“純粹”軌跡方程既可以從方程的等價(jià)性入手，也可以從結(jié)論本身入手，畫出軌跡圖形再剔除不滿足題意的點(diǎn)。至于條件的隱顯只是相對(duì)而言，關(guān)鍵還是看學(xué)生有沒(méi)有軌跡方程的“純粹”意識(shí)。在此基