第03講-等腰三角形和等邊三角形

讓我們?yōu)槿Υ蛟旄拭C名校甘肅省華亭縣皇甫學校而共同努力吧！第3講 等腰三角形和等邊三角形幾何學是在不準確的圖形上進行正確推理的藝術。 波利亞知識方法掃描有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一種軸對稱圖形，它的底角相等，它的底邊上的高和中線，頂角的平分線重合。三邊相等的三角形叫等邊三角形，等邊三角形三個內角都是60。在出現(xiàn)等腰三角形的題目中，常用的輔助線作出等腰三角形底邊上的高（對稱軸）。這樣可以得到一對全等的直角三角形。根據題目的條件與結論，選取合適的對稱軸往往是解題的突破口。此外，在有一個角是60的情況下，構造等邊三角形也是常用的方法。經典例題解析例1（2003年重慶市初中數(shù)學競賽決賽試題）在等邊三角形ABC所在平面內確定一點P,使、都是等腰三角形。則滿足條件的點P共有（）（A）1個 （B）4個 （C）7個 （D）10個解 除了等邊三角形ABC的中心外，我們考察BC垂直平分線上的點：P1是A點上方的點，A P1等于等邊三角形ABC的邊長；P1是BC下方的點，A P2等于等邊三角形ABC的邊長；P3也是BC下方的點，三角形P3BC是等邊三角形。在AB，AC的垂直平分線上也各有3個點，一共是3+3+3+1=10個點。選D。例2（2003年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）如圖，AA，BB分別是EAB，DBC的平分線，若AABBAB，則BAC的度數(shù)為_。解 設BAC的度數(shù)為x。因ABBB，所以BBD2x，CBD4x。又ABAA，故AABABACBD4x。因AAB（180x），所以（180x）4x4x180。解之得 x12。評注 本題的結果告訴我們：兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。例3（2002年河南省初中數(shù)學競賽試題）如圖，D為等邊三角形ABC內一點，BF=AB，DBF=DBC，求BFD的度數(shù)。解 因ABC是等邊三角形，故AC=BC=AB，ACB=60。連結CD。在ACD和BCD中，AC=BC，DA=DB，CD=CD，于是ACDBCD，ACD=BCD=ACB=30，BF=BC。所以BF=BC。 在BFD和BCD中，BF=BC，DBF=DBC，BD=BD，于是BFDBCD，故BFD=BCD=30。例4（1999年重慶市初中數(shù)學競賽試題）如圖，等腰直角ABC中，BAC=90, AD=AE，AFBE交BC于F，過F作FGCD交BE延長線于點G，求證：BG=AF+FG證明 過C作AB的平行線交AF的延長線于P.在ABE和APC中，因AFBE，故ABE=CAP。又因CPAC,AB=AC，故ABEAPC. 則有BE=AP. 在ABE和ACD中，因AB=AC，AE=AD，BAC=CAB，所以，ABEACD，有ABE =ACD因AEB和CMF分別是ABE和ACD的余角，所以AEB=CMF，則CMF=P。因ACB=45，故FCP=90-45=45，有MCF=FCP。又FC=FC，所以MCFPCF，則MF=PF。 又因AEB=CMF，知MGE為等腰三角形，所以EG=MG。 由知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG即 BG=AF+FG。例5（1997年荊州市初中數(shù)學競賽試題）如圖所示，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC為等腰三角形，頂角BDC=120，M,N分別是線段AB,AC上的點，且MDN=60，延長AC到T，使CT=BM. （1）求證：CTD=BMD;（2）求AMN的周長。解 (1)BDC是頂角BDC=120的等腰三角形。DBC=DCB=30.又ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60.MBD=NCD=TCD=90.又DB=DC,MB=TC,MBDTCD.故CTD=BMD.(2) 由上 MBDTCD得 CDT=BDM,且DT=DM.而 BDC=BDM+MDN+NDC=120,MDN=60,BDM+NDC=60,NDT=CDT+NDC=60=NDM.NDTNDM. MN=NT=NC+CT=NC+MB.故 AMN的周長=AM+MN+AN =AM+NC+MB+AN =AB+AC=1+1=2.例6（第5屆希望杯數(shù)學邀請賽試題）如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，連接AD求證：AD平分CDE證明 延長DE到F， 使得EF=BC，連結AF，AC。因ABC+AED=180，而AEF+AED=180，所以ABC=AEF。在ABC與AEF中，AB=AE，ABC=AEF， BC = EF，所以ABCAEF，于是AC=AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。在ACD與AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以ACDAFD，于是ADC=ADF，即AD平分CDE評注 由上面的證法可以看出：題目中的條件BAE=BCD=120是多余的。 例7（第6屆“祖沖之杯”初中數(shù)學邀請賽試題）在等腰ABC中，AB=AC，A20，頂角在AB上取一點D，使AD=BC，求BDC的度數(shù)解 因AD=BC，A20，故ABC=ACB=80。如圖作EADABC，連結EC。則EAD=EDA=80，AED20 AE=DE=AB=AC。因EAC=EAD-CAB=60， 故AEC是等邊三角形。AECACE60。DEC=CEA-AED=40，而ED=EA=EC，故EDC=ECD=70。 于是BDC=180 -EDC-ADE=180 -70-80=30。評注 構造等邊三角形來解題，是一種重要的解題方法。例8等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分線，求證：AE+ BE=BC證法1 由已知條件不難算出：1=2=20，5=60，7=40 延長BE到G，使BG=BC，連結CG，不難得到G=80，8=40,6=60。 在BC上截取BF=BA，連結EF，易證ABEFBE,從而3=5=60，EF=AE在EFC與EGC中，4=180-（5+3）=60=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，從而EG=AEAE+BE=EG+BE=BG=BC. AE+BE=EG+BE=BG=BC.證法2 由已知條件可以算出：1=2=20，5=60,C=40，在BC上截取BG=BE，連結EG，計算后可知7 =BEG=80，4=7-C=40，于是4=C，EG=GC 又在BC上截取BF=BA，連結EF.顯然ABEFBE，從而5=3，于是3=60，又AE=EF. 因6=3+1=60 +20= 80 =7，故EF=EG，從而AE= GC AE+BE=GC+BG=BC.證法3 在BC上截取BG=BE，連結EG易求得4=40，7=80，從而5=100=A 過E作EFBC交AB干F，顯然AEF也是等腰三角形，從而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.證法4 延長BE到G，使EG=EA.不難算出1=2=20，4=60。，從而G=5=300， 再過A作AMBC，M為垂足，由等腰三角形性質知M是BC的中點 連結GA，過B作BNGA，垂足為N，GBN=90-G=60，3= GBN-2=60-20=40 =ABC.又AB是公共邊，故有RtABNRtABM，從而BN=BM.但BN=BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.同步訓練一 選擇題1（2002年河南省初二數(shù)學競賽試題）如圖，在RtABC中，ACB=900，D、E點在AB上，AC=AD，BE=BC，則DCE的大小是 ( )(A) 600 (B)450 (C) 300 (D) 隨A的大小而變化2（1997年安徽省初中數(shù)學競賽試題）如圖，在ABC中，ABC= 60，ACB= 45，AD， CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD，CF于Q，S，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是（ ）(A)2 (B) 3 (C)4 (D)53（2000年北京市初二數(shù)學競賽試題）已知是等邊三角形的一個底角，是頂角為30的等腰三角形的一個底角，是等腰直角三角形的一個底角，則（A）（B）（C）（D） CDAD，O為AB中點，AOD=COB=60求證：CD+ADBC. 12（1992年“漢江杯”初中數(shù)學競賽試題）如圖，ABD=ACD=60 ADB=90-BDC，求證：AB=AC.13(1986年武漢市初中數(shù)學競賽試題)P是等邊三角形ABC的BC邊上任一點，連AP，以P為頂點作APQ=60 ，PQ交C的外角平分線于Q，那么APQ是什么三角形？證明你的結論。14如圖，ABC中，C=90，CAB=