一元二次方程的四種解法

做教育 做良心 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家 龍文教育個(gè)性化輔導(dǎo)教案提綱 教師: 陳燕玲 學(xué)生: 年級(jí) 九 日期: 星期: 時(shí)段: 課 題一元二次方程的概念及解法學(xué)情分析教學(xué)目標(biāo)與考點(diǎn)分析1. 掌握一元二次方程的概念及其一般形式，能指出一元二次方程的各項(xiàng)及其系數(shù)。2 能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法。體會(huì)解決問(wèn)題方法的多樣性。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn): 掌握常用四種一元二次方程的解法。教學(xué)難點(diǎn): 靈活選用適當(dāng)方法解一元二次方程教學(xué)方法講解法 合作探究法教學(xué)過(guò)程一、一元二次方程的概念： 問(wèn)題（1）有一面積為54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x，那么原來(lái)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是_，寬是_，根據(jù)題意，得：_ 整理，得：_ 歸納： （1）只含一個(gè)未知數(shù)x；（2）最高次數(shù)是2次的；（3）整式方程 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng) 例1將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng) 注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào). 例2將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng) 練習(xí):判斷下列方程是否為一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程 練習(xí): 一、選擇題 1在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 2方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，63px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp為任意實(shí)數(shù) 二、填空題 1方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi) 2一元二次方程的一般形式是_ 3關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是_ 三、綜合提高題 1、a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2、關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 3、方程（2a4）x22bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 4、當(dāng)m為何值時(shí),方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方程二、一元二次方程的解：復(fù)習(xí)：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，又叫方程的根） 例1下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 例2.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a0)的一個(gè)根,求代數(shù)式2007(a+b+c)的值練習(xí):關(guān)于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一個(gè)根為0,則求a的值例3你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0三、一元二次方程的解法（一）、直接開(kāi)平方法 問(wèn)題1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2問(wèn)題2：目前我們都學(xué)過(guò)哪些方程?二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過(guò)哪些降次的方法？ 方程x2=9，根據(jù)平方根的意義，直接開(kāi)平方得x=3，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接開(kāi)平方的方法求解呢？ 例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1 例2市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率 解一元二次方程的共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程這種思想稱(chēng)為“降次轉(zhuǎn)化思想” 由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p（p0），那么x=轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無(wú)解 練習(xí)：一、選擇題 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C3 D無(wú)實(shí)數(shù)根 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、綜合提高題 1解關(guān)于x的方程（x+m）2=n （二）、配方法 1、解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7 上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9嗎? 2、要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？ 轉(zhuǎn)化： x2+6x-16=0移項(xiàng)x2+6x=16兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左邊寫(xiě)成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以驗(yàn)證：x1=2，x2= -8都是方程的根,但場(chǎng)地的寬不能使負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2m，常為8m.像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法通過(guò)配方使左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程化為一般形式；（2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-pq；如果q0,方程無(wú)實(shí)根 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 例2解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0例3求證:無(wú)論y取何值時(shí),代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0 例4、用配方法解方程 ：ax2+bx+c=0（a0） 練習(xí)： 一、選擇題 1將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 2已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ） 3如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或94配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=5下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 6已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2 二、填空題 1方程x2+4x-5=0的解是_2代數(shù)式的值為0，則x的值為_(kāi)3如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_ 4已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開(kāi)，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_(kāi) 三、綜合提高題1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x 2已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值3已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng) 4如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值 5、求證：無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是正數(shù) （三）公式法 由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過(guò)的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。) （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根A x2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 例2某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問(wèn)題 若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟:1）將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a0.2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)。3)計(jì)算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解，4）若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。 練習(xí)： 一、選擇題 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空題 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，條件是_ 2當(dāng)x=_時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4 3若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_ 三、綜合提高題 1用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1x2=； （2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 四、因式分解法:例題：Eg1、3x2x=0 Eg2、 Eg3、 Eg4、 Eg5、 Eg6Ex1、(1)x2=(1+)x ex2、 ex3、 ex4、2x2+7x=4五、選用適當(dāng)?shù)姆椒? 2(x1)2=8 2x2+4x=0 4(2x+1)2=3(4x21) (x5