2016年人教版九年級上《第21章一元二次方程》單元測試含解析

第 1頁（共 16頁） 第 21章 一元二次方程 一、選擇題 1有下列關于 +bx+c=0， 3x （ x 4） =0， x 2+y 3=0， +x=2， x 3 3x+8=0， 5x+7=0其中是一元二次方程的有（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 2方程 2（ x+1） 2=1化為一般式為（ ） A 2x+2=1 B x= 1 C 2x+1=0 D 2x+1=0 3用配方法解方程 2x 5=0時，原方程應變形為（ ） A（ x+1） 2=6 B（ x+2） 2=9 C（ x 1） 2=6 D（ x 2） 2=9 4方程 x2=x 的解是（ ） A x=1 B x=0 C ， D 1， 5下列方程中，一定有實數(shù)解的是（ ） A =0 B（ 2x+1） 2=0 C（ 2x+1） 2+3=0 D（ x a） 2=a 6若關于 x 的一元二次方程（ k 1） x+1=0有 兩個不相等的實數(shù)根，則 ） A k 5 B k 5，且 k 1 C k 5，且 k 1 D k 5 7一元二次方程 4x+4=0的根的情況是（ ） A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根 C無實數(shù)根 D無法確定 8已知 3是關于 m+1） x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰 ） A 7 B 10 C 11 D 10或 11 二、填空題 9當方程 （ m+1） x 2=0是一元二次方程時， 10已知 x2+x 1=0，則 3x 9= 11若一元二次方程 2016=0有一根為 x= 1，則 a+b= 第 2頁（共 16頁） 12若關于 x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 （寫出一個即可） 13若矩形 7x+12=0的兩個實數(shù)根，則矩形 14某公司在 2014年的盈利額為 200萬元，預計 2016 年的盈利額將達到 242萬元， 若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在 2015年的盈利額為 萬元 三、解答題 15解方程： 1=2（ x+1） 16先化簡，再求值：（ +4） ，其中 x2+x=0的根 17在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算 “ ” ，其規(guī)則為： a b=據(jù)這個規(guī)則： （ 1）求 4 3的值； （ 2）求（ x+2） 5=0中 18已知：關于 x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根 （ 1）求 （ 2）當 合適的方法求該方程的解 19如圖，某農(nóng)場有一塊長 40m，寬 32方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為 1140小路的寬 20已知關于 a+c） 2 a c） =0，其中 a， b， （ 1）若方程有兩個相等的實數(shù)根試判斷 說明理由； （ 2）若 求這個一元二次方程的根 21某商場銷售一批童裝，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定適當降價據(jù)測算，每件童裝每降價 1元，商場平均每天可多售出 2件若商場每天要盈利 1200元，且要讓顧客有更多的實惠，則每件童裝應降價多少元？ 第 3頁（共 16頁） 22為進一步發(fā)展基礎教育，自 2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入， 2014 年該縣投入教育經(jīng)費 6000萬元 2016年投入教育經(jīng)費 8640萬元假設該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同 （ 1）求這兩年該縣投 入教育經(jīng)費的年平均增長率； （ 2）若該縣教育經(jīng)費的投入還將保持相同的年平均增長率，請你預算 2017年該縣投入教育經(jīng)費多少萬元 23閱讀材料：如果 bx+c=0 的兩根，那么有 x1+ ， 這是一元二次方程根與系數(shù)的關系，我們利用它可以用來解題，例 x 3=0的兩根，求法可以這樣： x1+ 6， 3則 x1+2 2 6） 2 2 （3） =42 請你根據(jù)以上解法解答下題：已知 4x+2=0的兩根，求： （ 1） 的值； （ 2）（ 2的值 第 4頁（共 16頁） 第 21章 一元二次方程 參考答案與試題解析 一、選擇題 1有下列關于 +bx+c=0， 3x （ x 4） =0， x 2+y 3=0， +x=2， x 3 3x+8=0， 5x+7=0其中是一元二次方程的有（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】一元二次方程的定義 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到在所給的方程中是一元二次方程的有 3x（ x 4） =0， 5x+7=0 【解答】解：下列關于 +bx+c=0， 3x （ x 4） =0， x 2+y 3=0， +x， x 3 3x+8=0， 5x+7=0其中是一元二次方程為 3x（ x 4） =0， 5x+7=0 故選 A 【點評】本題考查了一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為 2的整式方程叫一元二次方程 2方程 2（ x+1） 2=1化為一般式為（ ） A 2x+2=1 B x= 1 C 2x+1=0 D 2x+1=0 【考點】一元二次方程的一般 形式 【分析】利用完全平方公式把括號展開，化為 bx+c=0的形式即可 【解答】解：把方程左邊兩式相乘得 2x+2=1 整理得， 2x+1=0 故選 C 【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，即一般地，任何一個關于 能化成如下形式 bx+c=0（ a 0）這種形式叫一元二次方程的一般形式 3用配方法解方程 2x 5=0時，原方程應變形為（ ） 第 5頁（共 16頁） A（ x+1） 2=6 B（ x+2） 2=9 C（ x 1） 2=6 D（ x 2） 2=9 【 考點】解一元二次方程 【專題】方程思想 【分析】配方法的一般步驟： （ 1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （ 2）把二次項的系數(shù)化為 1； （ 3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方 【解答】解：由原方程移項，得 2x=5， 方程的兩邊同時加上一次項系數(shù) 2的一半的平方 1，得 2x+1=6 （ x 1） 2=6 故選： C 【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為 1，一次項的系數(shù)是 2的倍數(shù) 4方程 x2=x 的解是（ ） A x=1 B x=0 C ， D 1， 【考點】解一元二次方程 【專題】計算題 【分析】方程移項后提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為 0，兩因式中至少有一個為 0轉化為兩個一元一次方程來求解 【解答】解：方程移項得： x=0， 分解因式得： x（ x 1） =0， 可得 x=0或 x 1=0， 解得： ， 故選 C 【點評】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵 5下列方程中 ，一定有實數(shù)解的是（ ） 第 6頁（共 16頁） A =0 B（ 2x+1） 2=0 C（ 2x+1） 2+3=0 D（ x a） 2=a 【考點】解一元二次方程 【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和直接開平方法解方程進行判斷 【解答】解： A、由原方程得到： 1 0，故本方程無解； B、直接開平方得到： 2x+1=0，由此可以求得 本方程有實數(shù)解； C、由原方程得到：（ 2x+1） 2= 3 0，故本方程無解； D、當 a 0時，本方程無解 故選： B 【點評】本題考查了解一元二次方程直接開平方法形如 x2=p 或（ nx+m） 2=p（ p 0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程 6若關于 x 的一元二次方程（ k 1） x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 ） A k 5 B k 5，且 k 1 C k 5，且 k 1 D k 5 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義 【分析】根據(jù)方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數(shù)根，結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于 不等式組即可得出結論 【解答】解： 關于 k 1） x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ，即 ， 解得： k 5且 k 1 故選 B 【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是得出關于 題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)方程根的個數(shù)結合一元二次方程的定義以及根的判別式得出不等式組是關鍵 7一元二次方程 4x+4=0的根的情況是（ ） A有兩個不相等的實數(shù)根 B有兩個相等的實數(shù)根 C無實數(shù)根 D無法確定 【考點】根的判別式 第 7頁（共 16頁） 【分析】將方程的系數(shù)代入根的判別式中，得出 =0，由此即可得知該方程有兩個相等的實數(shù)根 【解答】解：在方程 4x+4=0中， =（ 4） 2 4 1 4=0， 該方程有兩個相等的實數(shù)根 故選 B 【點評】本題考查了根的判別式，解題的關鍵是代入方程的系數(shù)求出 =0本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的判別式得正負確定方程解得個數(shù)是關鍵 8已知 3是關于 m+1） x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰 ） A 7 B 10 C 11 D 10或 11 【考點】解一元二次方程 元二次方程的解；三角形三邊關系；等腰三角形的性質(zhì) 【分析】把 x=3代入已知方程求得 后通過解方程求得該方程的兩根，即等腰 三角形三邊關系和三角形的周長公式進行解答即可 【解答】解：把 x=3代入方程得 9 3（ m+1） +2m=0， 解得 m=6， 則原方程為 7x+12=0， 解得 ， ， 因為這個方程的兩個根恰好是等腰 當 ，底邊為 3時，則 +4+3=11； 當 ，底邊為 4時，則 +3+4=10 綜上所述，該 0 或 11 故選： D 【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根也考查了三角形三邊的關系 二、填空題 9當方程 （ m+1） x 2=0是一元二次方程時， 1 第 8頁（共 16頁） 【考點】一元二次方程的定義 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，列方程和不等式解答 【解答】解：因為原式是關于 所以 =2， 解得 m= 1 又因為 m 1 0， 所以 m 1， 于是 m= 1 故答案為： 1 【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是： bx+c=0（ a， b， a 0）特別要注意 a 0的條件這是在做題過程中容易忽視 的知識點本題容易忽視的條件是 m 1 0 10已知 x2+x 1=0，則 3x 9= 6 【考點】代數(shù)式求值 【專題】計算題 【分析】已知等式變形求出 x2+式變形后把 x2+ 【解答】解：由 x2+x 1=0，得到 x2+x=1， 則原式 =3（ x2+x） 9=3 9= 6 故答案為： 6 【點評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵 11若一元二次方程 2016=0有一根為 x= 1，則 a+b= 2016 【考點】 一元二次方程的解 【分析】由方程有一根為 1，將 x= 1代入方程，整理后即可得到 a+ 【解答】解：把 x= 1代入一元二次方程 2016=0 得： a+b 2015=0， 即 a+b=2016 故答案是： 2016 【點評】此題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，關鍵是把方程的解代入方程 第 9頁（共 16頁） 12若關于 x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則 0 （寫出一個即可） 【考點】根的判別式 【專題】開放型 【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式 =40，建立關于 出 【解答】解： 一元二次方程 x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根， =1 4m 0， 解得 m ， 故 ， 故答案為 0 【點評】本題考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0， a， b， 根的判別式 =4 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當 =0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0時，方程沒有實數(shù)根 注意本題答案不唯一，只需滿足 m 即可 13若矩形 7x+12=0的兩個實數(shù)根，則矩形 5 【考點】矩形的性質(zhì)；解一元二次方程 股定理 【專題】壓軸題 【分析】首先解方程求得方程的兩個根，即可求得矩形的兩邊長，然后利用勾股定理即可求得對角線長 【解答】解：方程 7x+12=0，即（ x 3）（ x 4） =0， 則 x 3=0， x 4=0， 解得： ， 則矩形 =5 故答案是： 5 【點評】本題考查了一元二次方程的解法以及矩形的性質(zhì)，正確解方程求得矩形的邊長是關鍵解一元二次方程的基本思想是降次 第 10頁（共 16頁） 14某公司在 2014年的盈利額為 200萬元，預計 2016 年的盈利額將達到 242萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，那么該公司在 2015年的盈利額為 220 萬元 【考點】一元二次方程的應用 【專題】增長率問題 【分析】可通過設出營業(yè)額增長的百分率 x，根據(jù)等量關系 “2016 年的營業(yè)額等于 2014年的營業(yè)額乘（ 1+增長的百分率）乘（ 1+增長的百分率） ” 列出一元二次方程求解增長的百分率，再通過一元一次方程解得： 2015年的盈利額等于 2014年的營業(yè)額乘（ 1+增長的百分率） 【解答】解：設盈利額增長的百分率為 x，則該公司在 2015年的盈利額為 200（ 1+x）； 由題意得， 200（ 1+x） 2=242， 解得 x=合題意，舍去）， 故 x= 該公司在 2015年的盈利額為： 200（ 1+x） =220萬元 故答案為： 220 【點評】此題考查增長率的定義 ，同學們應加強培養(yǎng)對應用題的理解能力，判斷出題干信息，列出一元二次方程去求解 三、解答題 15解方程： 1=2（ x+1） 【考點】解一元二次方程 【分析】首先把 1化為（ x+1）（ x 1），然后提取公因式（ x+1），進而求出方程的解 【解答】解： 1=2（ x+1）， （ x+1）（ x 1） =2（ x+1）， （ x+1）（ x 3） =0， 1， 【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關鍵是提取公因式（ x+1），此題難度不大 16先化簡，再求值：（ +4） ，其中 x2+x=0的根 第 11頁（共 16頁） 【考點】分式的化簡求值；解一元二次方程 【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再根據(jù) 2x=0 的根求出 【解答】解：（ +4） ， = ， =x+2 x2+x=0的根， ， ， x 0， 當 x=1時，原式 =1+2=3 【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵 17在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算 “ ” ，其規(guī)則為： a b=據(jù)這個規(guī)則： （ 1）求 4 3的值； （ 2）求（ x+2） 5=0中 【考點】解一元二次方程 【專題】新定義 【分 析】（ 1）根據(jù)規(guī)則為： a b=入相應數(shù)據(jù)可得答案； （ 2）根據(jù)公式可得（ x+2） 5=（ x+2） 2 52=0，再利用直接開平方法解一元二次方程即可 【解答】解：（ 1） 4 3=42 32=16 9=7； （ 2）由題意得（ x+2） 5=（ x+2） 2 52=0， （ x+2） 2=25， 兩邊直接開平方得： x+2= 5， x+2=5， x+2= 5， 解得： ， 7 【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊 ，化成 x2=a（ a 0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解 第 12頁（共 16頁） 18已知：關于 x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根 （ 1）求 （ 2）當 合適的方法求該方程的解 【考點】根的判別式 【分析】（ 1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關于 出 （ 2）從上題中找到 入方程后求解即可 【解答】解：（ 1） 關于 x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根， 0，即 22 4 1 k 0， 解得： k 1； （ 2） 根據(jù)題意，當 k=0時，方程為： x=0， 左邊因式分解，得： x（ x+2） =0， ， 2 【點評】本題考查了根的判別式和因式分解法解方程的知識，總結：一元二次方程根的情況與判別式 的關系： （ 1） 0方程有兩個不相等的實數(shù)根； （ 2） =0方程有兩個相等的實數(shù)根； （ 3） 0方程沒有實數(shù)根 19如圖，某農(nóng)場有一塊長 40m，寬 32方便管理，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各修建一條等寬的小路，要使種植面積為 1140小路的寬 【考點】一元二次方程的應用 【專題】幾何圖形問題 【分析】本題可設小路的寬為 4塊種植地平移為一個長方形，長為（ 40 x） m，寬為（ 32x） m根據(jù)長方形面積公式即可求出小路的寬 【解答】解：設小路的寬為 題意有 （ 40 x）（ 32 x） =1140， 第 13頁（共 16頁） 整理，得 72x+140=0 解得 ， 0（不合題意，舍去） 答：小路的寬應是 2m 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，應熟記長方形的面積公式另外求出 4塊種植地平移為一個長方形的 長和寬是解決本題的關鍵 20已知關于 a+c） 2 a c） =0，其中 a， b， （ 1）若方程有兩個相等的實數(shù)根試判斷 說明理由； （ 2）若 求這個一元二次方程的根 【考點】根的判別式；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理 【分析】（ 1）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根得出 =0，即可得出 a2=b2+據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可； （ 2）根據(jù)等邊進行得出 a=b=c，代入方程化簡，即可求出方程的解 【解答】解： （ 1） 理由是： 關于 a+c） 2 a c） =0 有兩個相等的實數(shù)根， =0， 即（ 2b） 2 4（ a+c）（ a c） =0， a2=b2+ （ 2） a=b=c， 方程（ a+c） 2 a c） =0可整理為 22， x=0， 解得： ， 【點評】此題考查了根的判別式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的應用，用到的知識點是一元二次方程 根的情況與判別式 的關系：（ 1） 0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（ 2） =0方程有兩個相等的實數(shù)根；（ 3） 0方程沒有實數(shù)根；等邊三角形的三邊相等等 第 14頁（共 16頁） 21某商場銷售一批童裝，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定適當降價據(jù)測算，每件童裝每降價 1元，商場平均每天可多售出 2件若商場每天要盈利 1200元，且要讓顧客有更多的實惠，則每件童裝應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用 【專題】銷售問題 【分析】利用每件童裝盈利 平均每天售出的件數(shù) =每天 銷售這種童裝利潤列出方程，解答即可 【解答】解：設每件童裝應降價 每件盈利（ 40 x）元，每天可售出（ 20+2x）件 由題意得（ 40 x）（ 20+2x） =1200， 化簡得 30x+200=0， 解得 x=20或 x=10 為了讓顧客有更多的實惠， 每件童裝應降價 20 元 答：若商場每天要盈利 1200 元，且要讓顧客有更多的實惠，則每件童裝應降價 20元 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，利用基本數(shù)量關系：平均每天售出的件數(shù) 每件盈利 =每天銷售的利潤是解題關鍵 22為進一步發(fā)展 基礎教育，自 2014年以來，某縣加大了教育經(jīng)費的投入， 2014 年該縣投入教育經(jīng)費 6000萬元 2016年投入教育經(jīng)費 8640萬元假設該縣這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率相同 （ 1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費的年平均增長率； （