【畢業(yè)學(xué)位論文】電磁 材料中 多場耦合臨界 態(tài)問題 的研究

分類號密級研究生學(xué)位論文論文題目（中文）電磁材料中多場耦合臨界態(tài)問題的研究論文題目（外文）INVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGS研究生姓名薛存學(xué)科、專業(yè)力學(xué)固體力學(xué)研究方向電磁固體力學(xué)與智能結(jié)構(gòu)學(xué)位級別博士導(dǎo)師姓名、職稱周又和教授論文工作起止年月2012年9月至2016年6月論文提交日期2016年6月論文答辯日期2016年6月學(xué)位授予日期校址甘肅省蘭州市LANZHOUUNIVERSITYINVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGSBYCUNXUEADISSERTATIONSUBMITTEDINPARTIALFULFILLMENTOFTHEREQUIREMENTSFORTHEDEGREEOFDOCTOROFPHILOSOPHYPHDCANDIDATECUNXUESUPERVISORPROFZHOUYOUHEMAJORSOLIDMECHANICSRESEARCHDIRECTIONELECTROMAGNETOSOLIDMECHANICSANDSMARTSTRUCTURESDEPARTMENTOFMECHANICSANDENGINEERINGSCIENCE,COLLEGEOFCIVILENGINEERINGANDMECHANICS,LANZHOUMAY,2016原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明本人所呈交的學(xué)位論文，是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨立進行研究所取得的成果。學(xué)位論文中凡引用他人已經(jīng)發(fā)表或未發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等，均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。對本文的研究成果做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名日期關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下所完成的論文及相關(guān)的職務(wù)作品，知識產(chǎn)權(quán)歸屬蘭州大學(xué)。本人完全了解蘭州大學(xué)有關(guān)保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保存或向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的紙質(zhì)版和電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)蘭州大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用任何復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本人離校后發(fā)表、使用學(xué)位論文或與該論文直接相關(guān)的學(xué)術(shù)論文或成果時，第一署名單位仍然為蘭州大學(xué)。本學(xué)位論文研究內(nèi)容可以公開不宜公開，已在學(xué)位辦公室辦理保密申請，解密后適用本授權(quán)書。（請在以上選項內(nèi)選擇其中一項打“”）論文作者簽名導(dǎo)師簽名日期日期I電磁材料中多場耦合臨界態(tài)問題的研究摘要隨著科技和工業(yè)技術(shù)的發(fā)展，彈塑性材料、壓電材料以及II類超導(dǎo)材料等在人類生活中發(fā)揮越來越重要的作用。而這些材料中都存在著非常相似的非線性效應(yīng)和臨界態(tài)效應(yīng)例如彈塑性材料應(yīng)力屈服效應(yīng)、壓電材料電位移飽和效應(yīng)以及II類超導(dǎo)體臨界電流密度等。臨界態(tài)問題對于系統(tǒng)的演化和發(fā)展起到非常重要的作用。因此，分析和研究這些物理系統(tǒng)的非線性臨界態(tài)問題不僅從基礎(chǔ)研究角度很有意義，而且對于材料的實際工程應(yīng)用也非常重要。本文針對這三類材料中的廣受關(guān)注的非線性臨界態(tài)問題，即彈塑性材料裂紋尖端塑性區(qū)應(yīng)力應(yīng)變場，壓電材料裂紋尖端應(yīng)力塑性區(qū)和電位移飽和區(qū)力電場以及實用II類超導(dǎo)薄帶臨界電流密度等問題等作了進一步的理論研究。首先，對于非線性塑性硬化材料，基于雙折線彈塑性模型，提出了適用于塑性硬化材料裂紋的條帶硬化模型。通過假設(shè)和簡化非線性本構(gòu)方程，并引入了硬化函數(shù)來描述裂紋尖端塑性區(qū)域的硬化程度，消除了裂紋尖端應(yīng)力奇異性，推導(dǎo)出了條帶硬化區(qū)的大小和裂紋尖端張開位移的解析表達式。分析討論了材料硬化參數(shù)對條帶硬化區(qū)大小和裂紋尖端張開位移的影響。結(jié)果表明硬化參數(shù)（TANEE和UY）越大，對應(yīng)的條帶硬化區(qū)域越小。通過條帶硬化模型，我們成功解釋了根據(jù)大量實驗總結(jié)出的COD設(shè)計曲線對于屈服應(yīng)力和極限應(yīng)力比值超過7580的材料不再適用這種現(xiàn)象。此外還推導(dǎo)出了裂紋尖端張開位移和標稱應(yīng)變之間的關(guān)系，通過和實驗區(qū)域進行對比，本文的理論結(jié)果全部落在實驗范圍內(nèi)。其次，對于壓電材料，研究了外加電場對壓電材料裂紋擴展的影響?；诜蔷€性理想彈塑性模型和理想電位移飽和模型，假設(shè)裂紋尖端存在電極化飽和區(qū)和應(yīng)力屈服區(qū)。雙條帶模型消除了應(yīng)力和電位移的奇異性，并將壓電材料的斷裂問題分為兩類情形。我們分別推導(dǎo)出了兩類情形下的裂紋尖端電張開位移和機械張開位移，并進一步提出了新的壓電材料斷裂準則，即裂紋尖端機械張開位移。提出造成實驗觀測上出現(xiàn)常見兩種不同實驗現(xiàn)象的原因可能是由于裂紋前端不同程度的電疇翻轉(zhuǎn)造成了電極化飽和區(qū)和應(yīng)力屈服區(qū)的大小不同。最后，基于場相關(guān)KIM模型研究了超導(dǎo)薄帶在不同物理環(huán)境下的電磁性質(zhì)以及磁滯伸縮等力學(xué)性質(zhì)。采用保角變換方法得到了II類超導(dǎo)薄帶在外加電流、外加磁場、以及外加電流和磁場同時加載三種情形下的電流密度和磁場分布，推II導(dǎo)出了適用任意場相關(guān)臨界態(tài)模型的積分方程組。對于小電流和小磁場情形，得到了問題的解析表達式，證明場相關(guān)臨界態(tài)模型的結(jié)果和BEAN模型的結(jié)果之間存在簡單的比例因子，從而避免求解復(fù)雜的積分方程組。分析了磁場和電流同時加載時類電流分布和類磁場分布特點，并給出了它們的分界線?；贐EAN模型和KIM模型，進一步計算了超導(dǎo)帶材在外加磁場上升階段和下降階段的體力、應(yīng)力、位移分布，以及在一個周期外加磁場下的磁滯伸縮回線，并對兩種模型的結(jié)果進行了一一對比。最后，根據(jù)場相關(guān)KIM模型研究了不同橫截面形狀的超導(dǎo)帶材對臨界外加電流的影響。給出了任意橫截面形狀的超導(dǎo)薄帶的臨界電流的計算方法。在不同外加磁場下，討論并對比了超導(dǎo)帶材橫截面形狀參數(shù)對臨界外加電流的影響。關(guān)鍵詞臨界態(tài)問題，塑性硬化材料，壓電材料，II類超導(dǎo)帶材，應(yīng)力屈服，應(yīng)變硬化，電位移飽和，臨界電流密度，裂紋尖端張開位移，BEAN模型，KIM模型，磁滯伸縮。IIIINVESTIGATIONSONCRITICALSTATEPROBLEMSINELECTROMAGNETICMATERIALSWITHMULTIFIELDCOUPLINGSABSTRACTWITHTHEDEVELOPMENTOFSCIENCEANDTECHNOLOGY,THEELASTOPLASTICMATERIALS、PIEZOELECTRICMATERIALSANDTYPEIISUPERCONDUCTORSPLAYMOREANDMOREIMPORTANTROLESINOURLIFETHEREARESIMILARNONLINEARANDCRITICALEFFECTAMONGTHESEMATERIALS,SUCHASTHESTRESSYIELDINGEFFECTINELASTOPLASTICMATERIALS,POLARIZATIONSATURATIONINPIEZOELECTRICMATERIALSANDCRITICALCURRRENTDENSITYINTYPEIISUPERCONDUCTORS,ETCTHECRITICALPROBLEMSISIMPORTANTTOTHEEVOLUTIONOFTHESYSTEMSINTHISCASE,ITISNECESSARYANDIMPORTANTTOINVESTIGATETHENONLINEARCRITICALPROBLEMSOFTHESEMATERIALSINVIEWOFFOUNDATIONALRESEARCHANDENGINEERINGAPPLICATIONSTHENONLINEARCRITICALPROBLEMSOFSTRESSSTRAINFIELDSINPLASTICZONENEARTHECRACKTIPSINELASTOPLASTICMATERIALS,THESTRESSELECTRICFIELDSINSTRESSYIELDINGZONEANDPOLARIZATIONSATURATIONZONENEARCRACKTIPSINPIEZOELECTRICMATERIALSANDCRITICALCURRENTDENSITYANDFLUXPENETRATIONINTYPEIISUPERCONDUCTORSAREINVESTIGATEDTHEORETICALLYINTHEPRESENTTHESISFIRSTLY,WEPROPOSEDTHESTRIPHARDENINGMODELTOSTUDYTHECRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTINELASTOPLASTICMATERIALSBASEDONTHEPIECEWISELINEARSTRESSSTRAINRELATIONTHEHARDENINGFUNCTIONISINTRODUCEDTODESCRIBETHEDEGREEOFAVERAGEHARDENINGINPLASTICZONENEARTHECRACKTIPTHESTRIPHARDENINGMODELISSOLVEDBYSIMPLYIGTHENONLINEARSTRESSSTRAINRELATIONTHESINGULARITYOFSTRESSATTHECRACKTIPSISALSOELIMINATEDTHESIZEOFSTRIPHARDENINGZONEANDCRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTCTODAREDERIVEDANDTHEDEPENDENCEOFSTRIPHARDENINGZONESIZEANDCTODONHARDEINGPARAMENTERSISALSODISCUSSEDITISFOUNDTHATTHELARGERTHEHARDENINGPARAMETERSTANEEANDUYARE,THESMALLERTHESTRIPHARDENINGSIZEISTHESTRIPHARDENINGMODELISALSOSUCCESSFULLYUSEDTOINTERPRETTHEEXPERIMENTALRESULTS,WHICHSUGGESTTHECODDESIGNCURVEISNOTVALIDFORTHEMATERIALSWITHTHERATIOOFYIELDSTRESSANDULTIMATESTRESSBEYOND7580THEREAFTER,THERELATIONSHIPBEWEENCTODANDOVERALLSTRAINISALSODERIVEDBYCOMPARISON,THETHEORETICALRESULTSAREINAGREEMENTWITHTHEEXPERIMENTSSECONDLY,THEEFFECTOFAPPLIEDELECTRICFIELDONCRACKPROPAGATIONINPIEZOELECTRICMATERIALSISINVESTIGATEDITISASSUMEDTHATBOTHPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPAPPEARSNEARCRACKTIPSBASEDONTHEIDEALSTRESSYIELDINGMODELANDPOLARIZATIONSATURATIONMODEL,WHICHISUSEDTOELIMINATETHESINGULARITYOFSTRESSANDELECTRICDISPLACEMENTATCRACKTIPSTHEELECTRICCRACKTIPOPENDINGDISPLACEMENTECTODANDMECHANICALCRACKTIPOPENINGDISPLACEMENTMCTODAREDERIVEDINTWOCASESBASEDONTHESIZEOFPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPIVANEWFRACTURECRITERION,IE,MCTODISPROPOSEDFORTHEPIEZOELECTRICMATERIALSTHEMCTODFRACTURECRITERIONPREDICTSTHATTHEEXISTINGCONTRARYEXPERIMENTSMAYBEINDUCEDBYTHEDIFFERENTSIZEOFPOLARIZATIONSATURATIONSTRIPANDSTRESSYIELDINGSTRIPBECAUSEOFDIFFERENTELECTRICDOMAINSWITCHINGFINALLY,THEELECTROMAGNETICPROPERTIESANDMAGNETOELASTICBEHAVIORSOFTYPEIISUPERCONDUCTINGSTRIPINDIFFERENTPHYSICALFIELDSARECONDISEREDBASEDONFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELTHECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONSINSUPERCONDUCTINGSTRIPISDERIVEDBYCONFORMALMAPPINGINTHREEDIFFERENTCASES,IE,TRANSPORTCURRENT,APPLIEDMAGNETICFIELD,ANDINTHESIMULTANEOUSPRESENCEOFAPPLIEDFIELDANDTRANSPORTCURRENTTHEADVANTAGEOFTHEMETHODISTHATTHEINTEGRALEQUATIONSAREVALIDFORARBITRARYFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELSFORTHESPECIALCASESWITHSMALLTRANSPIRTCURRENTORAPPLIEDFIELD,ANALYTICALRESULTSAREOBTAINEDRATHERTHANSOLVINGTHECOMPLICATEINTEGRALEQUATIONSITISDEMONSTRATEDTHATTHECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONS,ANDPENETRATIONDEPTHOFFIELDDEPENDENTCRITICALSTATEMODELCANBEDERIVEDFROMTHERESULTSOFBEANMODELBYASCALINGFACTORTHECHARACTERISTICOFCURRENTLIKEANDFIELDLIKECURRENTDENSITYANDMAGNETICFIELDDISTRIBUTIONSISDISCUSSEDTHEBODYFORCE,STRAIN,DISPLACEMENTATFIELDASCENTANDDESCENTBRANCHSANDMAGNETOSTRICTIONLOOPSAREOBTAINEDBASEDONKIMMODELANDBEANMODELINTHELAST,THEINFLUENCEOFGEOMETRYONCRITICALCURRENTINTHINHIGHTCSUPERCONDUCTINGTAPEISALSOSTUDIEDBASEDONKIMMODELTHENUMERICALPROCEDURETOCALCULATETHECRITICALTRANSPORTCURRENTOFSUPERCONDUCTINGSTRIPWITHARBITRARYGEOMETRYISPRESENTEDTHEDEVELOPMENTOFCRITICALCURRENTINDIFFERENTTYPESOFSUPERCONDUCTINGSTRIPISALSODISCUSSEDINTHETHESISKEYWORDSCRITICALSTATEPROBLEMS,ELASTOPLASTICMATERIALS,PIEZOELECTRICMATERIALS,TYPEIISUPERCONDUCTORS,STRESSYIELDING,STRAINHARDENING,POLARIZATIONSATURATION,CRITICALCURRENTDENSITY,CRACKTIPOPENINGDISPLACEMENT,BEANMODEL,KIMMODEL,MAGNETOSTRICTION目錄摘要IABSTRACTIII第一章緒論111研究背景1111塑性材料的應(yīng)力屈服現(xiàn)象1112壓電材料的電位移飽和現(xiàn)象1113超導(dǎo)材料的基本特性和臨界態(tài)模型3114系統(tǒng)中的臨界態(tài)效應(yīng)和非線性效應(yīng)612研究現(xiàn)狀及進展7121塑性材料和壓電材料的斷裂力學(xué)7122實用II類超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)10123實用II類的力學(xué)性質(zhì)1313本文主要工作14第二章非線性塑性材料硬化效應(yīng)對裂紋擴展的影響1621非線性彈塑性本構(gòu)模型和基本斷裂準則16211彈塑性應(yīng)力應(yīng)變模型17212常見斷裂準則18213DUGDALE模型與裂紋尖端張開位移2122條帶硬化模型24221線性硬化材料的簡化本構(gòu)方程24222條帶硬化模型和裂紋尖端張開位移27223應(yīng)變硬化對裂紋尖端張開位移的影響3023本章小結(jié)36第三章電場對壓電材料裂紋擴展的影響3831壓電材料斷裂在實驗和理論方面的研究現(xiàn)狀38311電場對斷裂韌性的影響實驗結(jié)果38232幾種壓電材料斷裂準則4132壓電材料斷裂準則裂紋尖端機械張開位移44321應(yīng)力條帶屈服電極化條帶飽和模型45322壓電材料裂紋尖端機械張開位移斷裂準則5033壓電材料反平面斷裂問題51331壓電材料力學(xué)反平面條帶電極化飽和模型52332電位移松弛模型求解電極化飽和區(qū)5534本章小結(jié)56第四章場相關(guān)臨界態(tài)模型下超導(dǎo)薄帶電磁響應(yīng)及力學(xué)變形5741實用II類超導(dǎo)體基本問題57411平行磁場和垂直磁場下超導(dǎo)薄帶問題57412超導(dǎo)體場相關(guān)臨界態(tài)模型5942場相關(guān)臨界態(tài)模型下超導(dǎo)薄帶的解60421垂直磁場下的超導(dǎo)薄帶61422外加電流下的超導(dǎo)薄帶68423外加磁場和電流同時加載下超導(dǎo)薄帶7343基于場相關(guān)臨界態(tài)模型超導(dǎo)薄帶磁彈性問題79431物理模型和基本方程79432超導(dǎo)薄帶在垂直磁場下磁彈性結(jié)果討論8144本章小結(jié)86第五章橫截面形狀對超導(dǎo)帶材臨界電流的影響8751超導(dǎo)薄帶厚度對臨界外加電流的影響8752不同橫截面形狀超導(dǎo)帶材的電流密度分布和臨界外加電流90521物理模型和基本方程90522結(jié)果和討論9253本章小結(jié)97第六章結(jié)束語98附錄101參考文獻114在學(xué)期間的研究成果126致謝128蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論1第一章緒論材料在制備過程和實際工程應(yīng)用中，內(nèi)部不可避免出現(xiàn)裂紋等缺陷，對于像低碳鋼等塑性材料來說，由應(yīng)力集中造成裂紋尖端出現(xiàn)一定范圍的塑性區(qū)，而非線性塑性變形對于裂紋的擴展有很大影響。而對于像壓電、鐵電材料來說，由于力電耦合效應(yīng)以及非線性電位移飽和等效應(yīng)，復(fù)雜的物理環(huán)境對于材料內(nèi)裂紋的擴展值得去深入考慮。另外，超導(dǎo)材料由于其具有不同于常規(guī)導(dǎo)電材料的特殊物理性質(zhì)一直是研究的熱點。伴隨對超導(dǎo)基本物理問題的研究和各種超導(dǎo)材料的制備與發(fā)展，尤其是高溫超導(dǎo)材料的發(fā)現(xiàn)，極大地推動了超導(dǎo)在電能輸送、磁流體發(fā)電、超導(dǎo)強磁體等多個領(lǐng)域的應(yīng)用1,2。因此，研究實用II類超導(dǎo)體在外加電流、外加磁場等復(fù)雜物理環(huán)境下的電磁場分布以及力學(xué)變形對于超導(dǎo)的實際工程應(yīng)用非常重要。11研究背景111塑性材料的應(yīng)力屈服現(xiàn)象對于像低碳鋼這樣的塑性材料，如圖11（A）所示，其單軸拉伸曲線可以分為線彈性階段，塑性屈服階段、強化階段和局部頸縮階段3。在外加力比較小的時候，材料處于線彈性階段，服從胡克定律，當(dāng)外加力卸載時，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以原路返回到無應(yīng)力狀態(tài)。但是當(dāng)外加力超過比例極限后，材料發(fā)生一定的塑性變形，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再滿足胡克定律。因此，當(dāng)材料內(nèi)部含有裂紋時，即使外加載荷比較小，但是由于裂紋尖端存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，所以裂紋前端的應(yīng)力首先達到屈服應(yīng)力，形成一定范圍的塑性區(qū)域；隨著外加載荷的不斷變大，達到屈服應(yīng)力的范圍越來越大。當(dāng)假設(shè)理想彈塑性關(guān)系時，塑性區(qū)域的應(yīng)力始終等于屈服應(yīng)力，處于臨界狀態(tài)。隨著外加應(yīng)力的增加，由于塑性區(qū)所有點的應(yīng)力已經(jīng)達到臨界狀態(tài)，不可能再增加，因此應(yīng)力屈服范圍不斷擴大。由于塑性區(qū)應(yīng)力處于臨界狀態(tài)，所以如果塑性區(qū)內(nèi)部的應(yīng)力分布發(fā)生變化，會影響到整個塑性區(qū)范圍的改變。如果不是理想彈塑性模型，例如考慮材料硬化，即塑性區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變有關(guān)，此時裂紋尖端的塑性區(qū)的應(yīng)力同樣處于一種臨界狀態(tài)，只是臨界值不再是一個常數(shù)（屈服應(yīng)力）。112壓電材料的電位移飽和現(xiàn)象壓電材料作為一種特殊的智能材料，廣泛地應(yīng)用于傳感器，轉(zhuǎn)化器、制動器蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論2和智能機器人等現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中47。除了壓電效應(yīng)，壓電鐵電材料還有一個重要的物理特性電極化特性。電介質(zhì)在外加電場作用下，內(nèi)部質(zhì)點的正負電荷的中心會發(fā)生分裂，轉(zhuǎn)變成偶極子，這種極化叫做位移極化。如果電介質(zhì)本身就有極化分子，沒有外加電場，極化相互抵消；但是在外加電場作用下，極化分子取向發(fā)生轉(zhuǎn)動，使極化軸趨向于電場方向，這種極化稱為取向極化。對于鐵電材料來說，其內(nèi)部自發(fā)極化取向相同的微小區(qū)域稱為電疇。而且在沒有外電場的情況下，這些電疇都有自己的極化方向，由于電疇取向雜亂無章，所以總體上相互抵消，沒有極化強度。但是在外加電場的作用下，有些電疇的方向開始發(fā)生改變，稱為電疇翻轉(zhuǎn)。隨著外加電場的增大，鐵電材料內(nèi)部的電疇的取向越來越趨向于電場方向，從而導(dǎo)致宏觀的極化強度7，如圖12（A）所示。圖11（A）塑性材料的單軸拉伸曲線和（B）裂紋尖端塑性區(qū)8圖12無外加電場和有外加電場下鐵電材料的電疇示意圖；典型鐵電陶瓷的電滯回線7圖12（B）給出了鐵電材料在外加電場下的電極化曲線。我們可以看到，電滯回線和磁滯回線很類似，如圖所示，當(dāng)外加電場超過一定強度以后，所有的電疇都發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，而且取向和外加電場基本一致，此時的極化已經(jīng)接近飽和，整個鐵電材料成為一個單疇，宏觀上表現(xiàn)出飽和極化強度，對應(yīng)的電位移為飽和電位移。在電極化曲線上就表現(xiàn)出電位移在一定的電場強度之后逐漸趨向于水平直線，不會隨著外加電場而變化。由于電位移飽和現(xiàn)象，本構(gòu)方程不再是簡單的蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論3線性關(guān)系，電位移和電場之間是非線性的關(guān)系，這種現(xiàn)象與理想彈塑性本構(gòu)模型類似。113超導(dǎo)材料的基本特性和臨界態(tài)模型1911年，ONNES9采用液氦作為低溫源在研究汞等材料的電阻隨著溫度的變化規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)隨著溫度下降到42K后汞的電阻突然消失，由此開啟了凝聚態(tài)物理的一個新篇章超導(dǎo)電性。隨后發(fā)現(xiàn)金屬鉛也是超導(dǎo)材料，如圖13所示，采用傳統(tǒng)四接線法測得的金屬鉛的臨界溫度為72K左右。由于超導(dǎo)體具有零電阻特性，因此在超導(dǎo)體內(nèi)部的電流就不會產(chǎn)生損耗而衰減。1956年COLLINS通過實驗證明了超導(dǎo)線圈內(nèi)的電流經(jīng)過兩年半后依舊和初始電流相同。除了超導(dǎo)的零電阻特性之外，MEISSNER和OCHSENFELD10還發(fā)現(xiàn)超導(dǎo)體的另一個重要的特性完全抗磁性（內(nèi)部0B）。即當(dāng)外加磁場低于臨界磁場時，磁場被完全排斥在超導(dǎo)體以外，而且他們發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象與外加磁場的加載歷史沒有關(guān)系。當(dāng)超導(dǎo)體零場冷卻后，給超導(dǎo)體施加磁場，會在超導(dǎo)的邊緣誘導(dǎo)出了邁斯納電流，產(chǎn)生了和外加磁場大小相同方向相反的磁場，從而產(chǎn)生了完全抗磁性。當(dāng)超導(dǎo)體在一定的外加磁場冷卻后，超導(dǎo)體表面同樣會即刻產(chǎn)生邁斯納電流，從而完全排斥磁場。而且隨著磁場的降低，邁斯納電流也會隨之減小，最后隨著外加磁場的消失而減小到零。我們可以看到，超導(dǎo)零電阻性質(zhì)并不能推出超導(dǎo)體的MEISSNER效應(yīng)。因此，超導(dǎo)體的零電阻特性和MEISSNER效應(yīng)是超導(dǎo)體兩個相互獨立的性質(zhì)。圖13采用四接線方法測得金屬鉛的電阻隨著溫度的變化曲線和臨界溫度1935年，LONDON兄弟11給出了第一個描述超導(dǎo)現(xiàn)象的理論，即LONDON方程。根據(jù)LONDON方程，磁場在超導(dǎo)體表面有一定的穿透深度（L），而且在超導(dǎo)體內(nèi)磁場時按照指數(shù)衰減的。一般來說，磁場的穿透深度相對于超導(dǎo)體的宏觀蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論4尺寸來說很小。1950年，金茲堡和朗道12根據(jù)朗道二級相變理論提出了唯象的金茲堡朗道方程（GL方程），用來描述超導(dǎo)體的物理性質(zhì)。GL方程中序參量的模表示超導(dǎo)電子的密度，當(dāng)完全超導(dǎo)態(tài)時，序參量模等于1；當(dāng)變成正常態(tài)時，序參量為零。ABRIKOSOV13根據(jù)GL方程，從理論上預(yù)測存在完全不同的兩類超導(dǎo)體。當(dāng)12（，其中和分別為磁場穿透深度和相干長度）時，超導(dǎo)界面能是正的，此時超導(dǎo)體稱為I類超導(dǎo)體。如圖14（A）所示，此類超導(dǎo)體只有兩種態(tài)，即邁斯納態(tài)和正常態(tài)。當(dāng)12的超導(dǎo)體稱為II類超導(dǎo)體，此時的界面能為負的。如圖14（B）所示，II類超導(dǎo)體分成三種態(tài)，當(dāng)外加磁場小于下臨界場1CH時，超導(dǎo)體處于邁斯納態(tài)，此時磁場被完全排斥在超導(dǎo)體外；當(dāng)外加磁場介于下臨界場1CH和上臨界場2CH時，超導(dǎo)體處于混合態(tài)，此時磁通以量子化的渦旋（0）形式進入超導(dǎo)體，磁通渦旋之間的相互作用是排斥的，而且在超導(dǎo)體內(nèi)部排列成規(guī)則的晶格結(jié)構(gòu)。隨著磁場的升高，進入超導(dǎo)體的渦旋磁通越來越多。如果磁場超過上臨界磁場，超導(dǎo)體變成正常態(tài)。圖14TYPEI和TYPEII超導(dǎo)體的HT相圖1957年，BARDEEN，COOPER和SHRIEFFER14以近自由電子模型為基礎(chǔ)發(fā)現(xiàn)了解釋超導(dǎo)現(xiàn)象的微觀機理（BCS理論），即在超導(dǎo)態(tài)，金屬中自旋和動量相反的電子可以配對結(jié)合成COOPER電子對，COOPER電子對通過交換聲子相互作用。在晶格當(dāng)中可以無損耗的運動，形成超導(dǎo)電流。1959年，GORKOV15證明BCS理論在接近臨界溫度附近可以推導(dǎo)出GL理論。1986年，BEDNORZ和MULLER16發(fā)現(xiàn)了鑭鋇銅氧體系超導(dǎo)體，其臨界溫度達到了35K，隨后掀起了研究高溫超導(dǎo)體的熱潮，更多的高溫超導(dǎo)體（如YBCO和BSCCO）隨后被發(fā)現(xiàn)，不僅改變了人們對高溫超導(dǎo)的認識，而且將超導(dǎo)體的臨界溫度提高到了液氮溫區(qū)，從而改變了只能用昂貴的液氦來研究超導(dǎo)性質(zhì)的局面。2006年以來，日本科學(xué)家首先發(fā)蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論5現(xiàn)了鐵基超導(dǎo)體17，隨后中國學(xué)者對對鐵基超導(dǎo)體進行了廣泛地研究，不斷刷新鐵基超導(dǎo)體的臨界溫度。2015年，研究人員發(fā)現(xiàn)硫化氫在高壓下出現(xiàn)了超導(dǎo)電性，而且其臨界溫度高達203K18。圖15（A）釘扎中心釘扎渦旋過程19；（B）理想和非理想II類超導(dǎo)體渦旋排布示意圖20對于理想II類超導(dǎo)體，由于洛倫茲力作用，很小的外加電流就可以驅(qū)使渦旋運動，所以其臨界電流和臨界磁場很小，很難在實際工程中應(yīng)用。但是如果對超導(dǎo)體進行急速淬火、用快中子進行輻照或者摻入雜質(zhì)，從而在超導(dǎo)體內(nèi)部引入缺陷等釘扎中心，如圖15（A）所示，這些缺陷會對渦旋有一定的釘扎作用（釘扎效應(yīng)），此類超導(dǎo)體稱為非理想II類超導(dǎo)體。如圖15（B）所示，在理想II類超導(dǎo)體內(nèi)的磁通渦旋會排列成理想的渦旋晶格結(jié)構(gòu)，但是在非理想II類超導(dǎo)體內(nèi)，絕大多數(shù)渦旋會在會被釘扎在缺陷內(nèi)。因此在外加電流下，由于這些缺陷對渦旋有一定的釘扎力，從而平衡電流對渦旋產(chǎn)生的洛倫茲力。一般需要很大的電流才能驅(qū)使渦旋脫離釘扎，因此，一般非理想II類超導(dǎo)體具有很高的臨界電流和臨界磁場。實驗上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)退去外加磁場或者外加電流時，超導(dǎo)體內(nèi)部會有剩余磁場，這是因為渦旋被釘扎在超導(dǎo)內(nèi)部，因此出現(xiàn)了穩(wěn)定的磁通俘獲現(xiàn)象。而且實驗上觀測到非理想II類超導(dǎo)體的磁化曲線不再是可逆的，而是出現(xiàn)了磁滯回線現(xiàn)象，從而伴隨有交流損耗出現(xiàn)。釘扎中心越多，對渦旋運動的阻力就越大，在磁化曲線上造成的滯后就越大。為了解釋非理想II類超導(dǎo)體的磁化現(xiàn)象，BEAN21,22提出了宏觀的臨界態(tài)模型用來描述實用超導(dǎo)體在磁場或者外加電流下的磁通穿透過程。當(dāng)外加磁場超過下臨界磁場后，磁場會以磁通量子渦旋的形式一個一個地進入到超導(dǎo)體內(nèi)部。但是剛進去的磁通渦旋碰到缺陷后就被釘扎住了，不能繼續(xù)往超導(dǎo)體內(nèi)部運動。但是隨著磁場的增加，作用在磁通渦旋上的洛倫茲力越來越大，當(dāng)洛倫茲力超過釘扎力后，渦旋脫離釘扎繼續(xù)運動，在碰到更里面的缺陷后又被釘扎住，而新穿蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論6透進來的磁通渦旋也會被釘扎在后面的區(qū)域。如圖16所示，隨著外加磁場的增加，磁通渦旋不斷脫離當(dāng)?shù)氐尼斣瑢?dǎo)內(nèi)部運動，而且越靠近超導(dǎo)邊緣，磁通渦旋的密度越大，遠離超導(dǎo)邊界磁通渦旋的密度越小。在超過一定深度的超導(dǎo)體內(nèi)部區(qū)域，還沒有磁通渦旋進入，這個區(qū)域仍舊保持完全抗磁狀態(tài)，磁場等于零，而磁通渦旋穿透的區(qū)域的深度稱為磁場的穿透深度。當(dāng)外加磁場給定之后，磁通渦旋在超導(dǎo)內(nèi)部有一個分布規(guī)律，不再隨著時間而變化。此時被釘扎住的渦旋都處于一種臨界狀態(tài)，主要稍微增加一點磁場，磁通渦旋就會脫離釘扎繼續(xù)往內(nèi)部運動。BEAN提出了渦旋分布不隨時間變化的臨界條件，即作用在每個磁通渦旋上的驅(qū)動力和阻力相等。例如，在磁場穿透區(qū)域，作用在渦旋上的最大釘扎力密度和實際超導(dǎo)體的材料以及內(nèi)部缺陷密度等相關(guān)，一旦給定超導(dǎo)材料，那么相當(dāng)于最大阻力分布形式就確定了。圖16非理想II類超導(dǎo)體在磁場下的渦旋分布示意圖23由于缺陷分布的隨機性，一般很難確切給出最大釘扎力的分布形式，另一方面，目前沒有實驗方法能能夠直接測出超導(dǎo)體內(nèi)的臨界電流密度分布，只能通過間接實驗方法（如測磁場分布）推導(dǎo)出電流密度分布。因此BEAN首先假設(shè)在磁場穿透區(qū)域，臨界電流密度是一個常數(shù)（CJCONSTANT），那么在作用在渦旋線上的洛倫茲力密度為LCFBJ，一般可以通過臨界態(tài)模型計算的結(jié)果與實驗磁化曲線對比來確定超導(dǎo)臨界電流密度。后來發(fā)現(xiàn)，BEAN假設(shè)的常數(shù)形式的臨界電流密度分布只能定性的解釋實驗現(xiàn)象，很不精確。因此，在BEAN模型之后，出現(xiàn)了很多類型的臨界電流形式，如KIM模型24,25，指數(shù)模型26,27，線性形式28和冪函數(shù)形式29,30等等。有了這些臨界態(tài)模型，理論上可以計算出任意形式的超導(dǎo)體在外加磁場和外加電流下的電流和磁場分布。精確計算超導(dǎo)體的電流和磁場分布是進一步計算超導(dǎo)體交流損耗，磁化曲線，磁致伸縮行為的基礎(chǔ)，從而為超導(dǎo)體的實際應(yīng)用提供理論依據(jù)。114系統(tǒng)中的臨界態(tài)效應(yīng)和非線性效應(yīng)將超導(dǎo)體的臨界態(tài)模型與前面的彈塑性本構(gòu)模型與電位移飽蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論7和模型對比分析，我們可以看到，盡管它們是屬于不同的物理系統(tǒng)，但是其中的數(shù)學(xué)問題確實非常相似的，都是屬于一個區(qū)域內(nèi)臨界態(tài)問題。對于彈塑性材料來說，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力等于屈服應(yīng)力（或者某種形式的應(yīng)力形式）；對于鐵電材料來說，飽和區(qū)域內(nèi)電位移等于飽和電位移值；對于超導(dǎo)材料來說，磁通穿透區(qū)域內(nèi)的電流密度等于臨界電流密度。因此，從數(shù)學(xué)上看，這些現(xiàn)象都是物理系統(tǒng)在某個區(qū)域內(nèi)某物理量（應(yīng)力，電位移，電流密度）達到了一個臨界值，該區(qū)域處于臨界物理狀態(tài)，由于臨界狀態(tài)的限定，該區(qū)域的這些物理量不能超過臨界值，而是臨界區(qū)域的擴張問題。當(dāng)物理系統(tǒng)發(fā)展到特定狀態(tài)時，相關(guān)的物理量將隨之發(fā)生突變，我們將此物理量的值叫做臨界值，對應(yīng)的特定物理狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。因此，臨界狀態(tài)可以看做物理系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)質(zhì)變的轉(zhuǎn)折點。一個系統(tǒng)里不同物理量之間一般存在相互制約的關(guān)系，其中當(dāng)某個或者某些物理量的變化達到極限狀態(tài)或極值時，就會伴隨臨界現(xiàn)象的產(chǎn)生。臨界問題對于系統(tǒng)的演化和發(fā)展起到非常重要的作用。上面介紹的這些物理現(xiàn)象不僅具有相似的臨界值效應(yīng)，而且這些物理系統(tǒng)還表現(xiàn)出了很強的非線性效應(yīng)。具體來說，對于彈塑性材料，隨著外加載荷增大，裂紋尖端便會出現(xiàn)塑性區(qū)域，塑性區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再滿足線性胡克定律，而是具有非線性效應(yīng)。對于壓電材料，當(dāng)電位移區(qū)域飽和時，電位移與外加電場不再是線性關(guān)系，而隨著外加電場增加會趨于飽和值。對于實用II類超導(dǎo)材料來說，一個傾斜磁場下的超導(dǎo)體電流和磁場分布問題不能采用疊加原理將傾斜磁場分解為水平磁場和垂直磁場再疊加進行求解。因此，分析和研究這些物理系統(tǒng)的非線性臨界態(tài)問題不僅從基礎(chǔ)研究角度很有意義，而且對于材料的實際工程應(yīng)用也非常重要。12研究現(xiàn)狀及進展PRIGOZHIN31從數(shù)學(xué)角度研究分析了沙堆、河流網(wǎng)、II類超導(dǎo)體、彈塑性材料等不同物理系統(tǒng)的臨界態(tài)問題存在著相似性。下面我們介紹塑性材料、壓電材料中斷裂問題和II類超導(dǎo)材料與臨界態(tài)問題相關(guān)的力電磁方面的研究進展。121塑性材料和壓電材料的斷裂力學(xué)由于材料制備工藝和實際應(yīng)用過程中材料疲勞都會導(dǎo)致材料內(nèi)部出現(xiàn)不同大小的裂紋。我們知道在缺陷附近會存在明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，根據(jù)材料線性本構(gòu)方程，可以得出應(yīng)力在裂紋尖端會有奇異性（應(yīng)力無限大）。為了描述和刻畫不同幾何形狀的材料和不同外加載荷下不同的應(yīng)力奇異性，IRWIN提出了應(yīng)力強度因子，0LIM2RKRR，并證明了在線彈性情況下，應(yīng)力強度因子K和裂紋蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論8尖端能量釋放率G是等價的。根據(jù)應(yīng)力強度因子K和能量釋放率G建立了裂紋是否擴展的判據(jù)，即當(dāng)應(yīng)力強度因子K（或能量釋放率G）大于材料的臨界應(yīng)力強度因子或斷裂韌性CK（或CG）時，裂紋就開始擴展。但是，以應(yīng)力強度因子為標志建立的線彈性斷裂力學(xué)只能適用于脆性材料和低外加載荷下的塑性材料，即當(dāng)裂紋尖端的塑性區(qū)域相對于裂紋長度來說很小才能成立。材料的極限應(yīng)力不可能無限大，實際上裂紋尖端應(yīng)力超過屈服應(yīng)力后，隨著外加載荷的增加，在裂紋擴展之前裂紋前端的塑性區(qū)域會不斷擴大。IRWIN等人32最早考慮了一個簡單的塑性模型，提供了第一個定量描述裂紋尖端塑性區(qū)理論。因此，他們假設(shè)裂紋尖端的應(yīng)力分布不再是根據(jù)線彈性模型計算出來的那種奇異性的分布形式，而是由于在較小的范圍內(nèi)塑性變形的存在使得材料出現(xiàn)了一定的應(yīng)力松弛。RICE和CHEREPANOV33,34提出的J積分，理論上J積分適用于沒有卸載的任意彈塑性材料，本構(gòu)方程可以是線性的也可以是非線性的。因此J積分奠定了彈塑性斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)。J積分描述了流向裂紋尖端區(qū)域的能量多少。因此，裂紋尖端的應(yīng)力和應(yīng)變奇異性也可以用J來表達，尤其是對于線彈性材料，J積分和能量釋放率是等價的。HUTCHINSON35與RICE和ROSENGREN36根據(jù)冪次本構(gòu)方程建立了著名的非線性HRR場，結(jié)果表明裂紋尖端還是存在應(yīng)力奇異性，只是應(yīng)力奇異性的規(guī)律和本構(gòu)方程中的冪指數(shù)有關(guān)系。從此開始，在這方面不少學(xué)者在實驗和理論兩方面做出了很多有意義的工作。BEGLEY和LANDES3739基于J積分建立了彈塑性力學(xué)的基本判據(jù)。RICE等人40根據(jù)含有深裂紋的彎曲試樣，提出了采用單試樣測量臨界J積分方法。TUNNER41引入了與幾個形狀有關(guān)的參數(shù)（因子）。LARSSON和CARLSSON42采用有限元方法研究了非奇異應(yīng)變項和試件尺寸對彈塑性裂紋尖端屈服區(qū)域的影響。RICE43進一步研究闡釋了裂紋尖端形變的非奇異應(yīng)力。MCMEEKING和PARKS44，SHIH和GERMAN45的研究表明，對于應(yīng)變硬化材料裂紋尖端的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場與材料的幾何形狀和加載速率相關(guān)。對于裂紋尖端塑性區(qū)域比較大情形時，ODOWD和SHIH46提出了裂紋尖端雙參數(shù)斷裂準則，即J和Q準則。根據(jù)HRR場的分析方法，在隨后的研究中，李堯臣和王自強建立了裂紋頂端彈塑性高階場的基本方程，求得了平面應(yīng)變問題的二階場，證實了二階場的幅值系數(shù)在中心裂紋頂端彈塑性場起著非常重要的作用47。XIA、WANG和SHIH48以及YANG等人49進一步研究了裂紋尖端高階場，即將應(yīng)力勢函數(shù)展開為五項，得到了前五項的完整結(jié)果，證明了本征級數(shù)前五項展開式只含有3個獨立的參數(shù)?；诟唠A場的分析結(jié)果，魏悅廣和王自強提出了2JK雙參數(shù)斷裂準則50，該準則給出了斷裂韌性上、下限曲線，能夠很好的預(yù)示KIRK等人51的實驗結(jié)果。蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論9圖17裂紋張開位移和裂紋尖端頸縮區(qū)域示意圖在彈塑性斷裂力學(xué)里面，另一個為人所熟知的理論就是DUGDALE提出的條帶應(yīng)力屈服模型52，以及根據(jù)條帶屈服模型提出的裂紋尖端張開位移作為斷裂判據(jù)5355。但是條帶塑性模型一般忽略了材料的硬化作用，尤其是當(dāng)外加力超過半個屈服應(yīng)力時，條帶屈服模型基本失去了意義。根據(jù)HRR奇異性場并采用冪次應(yīng)變硬化模型，SHIH56數(shù)值計算了裂紋張開位移（COD，如圖17A所示）并研究了COD和J積分之間的關(guān)系。當(dāng)薄板在拉伸應(yīng)力作用下，SCHAEFFER等人57實驗上觀察到了裂紋前端存在一個條狀的頸縮區(qū)域（如圖17B所示）。因為存在著材料的硬化作用，所以頸縮區(qū)的大小要比根據(jù)DUGDALE計算出來的條帶屈服區(qū)域小很多。由于壓電材料力電耦合特性，外加電場會影響裂紋尖端的應(yīng)力場分布，從而會影響到裂紋擴展。上個世紀70年代，KUDRIAVTSES、PARTON、CHEREPANOV等人開始研究壓電材料斷裂問題5861。到了80年代，DEEG建立了含共線型位錯和電荷偶極線模型，采用GREEN函數(shù)方法研究了壓電材料含一般缺陷的力學(xué)問題62。SOSA和PAK利用本征函數(shù)展開法研究了無限大壓電裂紋問題，得到裂紋尖端電場和應(yīng)力有相同的1/2R奇異性63。PAK求解了反平面的III型裂紋問題，將守恒積分推廣到壓電材料的斷裂問題中，并且提出了電位移強度因子和電場強度因子64。ZHANG和TONG65通過復(fù)電勢計算得到了橢圓孔附近的應(yīng)力應(yīng)變場和電場的解。1992年，SUO等人對前人做的壓電斷裂問題進行了總結(jié)66，通過分析發(fā)現(xiàn)了一類新的奇異性，從而在裂紋尖端有兩類奇異性，即1/2RI和1/2R奇異性。這一結(jié)論被OU等人的數(shù)值和理論結(jié)果驗證67,68，他們并且發(fā)現(xiàn)橫觀各項同性壓電介質(zhì)，兩類奇異性不能同時存在。為了解釋已有的理論與PAK和SUN的實驗69不符，GAO等人6將DUGDALE模型12推廣到壓電斷裂中，提出了條帶電極化飽和模型PS模型，通過簡化方程求解了無限大壓電體平面裂紋問題。2000年，WANG采用PS模型求解了各向異性壓電體同樣的裂紋問題70。在GAO之后不少研究者采用PS模型通過傅里葉變換方法和積分變化方法求解了不同的裂紋問題7178。ZHANG等人對壓電材料的斷裂行為和破壞模型進行了研究和總結(jié)79,80。陳增濤和余壽文采用積分變換技術(shù)，得到不同壓電介質(zhì)界面上的反平面運動裂紋問題的分析解81。蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論10對于電場是如何影響壓電材料擴展的，目前實驗上主要報道了兩種截然不同的實驗結(jié)果7，（I）正電場降低斷裂韌性，而負電場增加斷裂韌性69,82,83；（II）正負電場都是降低壓電材料的斷裂韌性84,85。對于壓電材料斷裂來說，目前研究人員提出了很多種斷裂判據(jù)，例如機械能釋放率69、局部J積分或局部能量釋放率6、修正的應(yīng)力強度因子準則70,86,87、能量密度8890、COD準則等等87。但是目前已有的這些理論判據(jù)只能解釋其中一種實驗結(jié)果，并不能同時解釋兩種以上的實驗現(xiàn)象。122實用II類超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)由于BEAN臨界態(tài)模型簡單，在實際中方便計算超導(dǎo)體處于外加磁場時的電流密度和磁場分布，以及相應(yīng)的交流損耗和交流磁化規(guī)律，因此得到了廣泛地應(yīng)用。當(dāng)外加磁場平行于無限長的超導(dǎo)圓柱或者無限大的超導(dǎo)厚板的側(cè)面時，由于磁場或者磁場線沿著磁場方向沒有變化，因此，對于這些結(jié)構(gòu)來說，不需要考慮退磁效應(yīng)，沿著圓柱徑向或者沿著超導(dǎo)平板厚度方向的磁場穿透分布和電流密度的分布可以直接通過BEAN臨界態(tài)模型計算得到。磁場的梯度等于臨界電流密度大小，而超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度分布要么等于臨界電流0CJ要么等于0。關(guān)于這些結(jié)構(gòu)在平行磁場下的磁場穿透，電流分布和磁化規(guī)律已經(jīng)得到了廣泛的研究9195。但是當(dāng)外加磁場垂直于超導(dǎo)圓盤或者垂直于超導(dǎo)薄帶時，由于這種情況下的超導(dǎo)體具有很強的退磁效應(yīng)，超導(dǎo)圓盤或者超導(dǎo)薄帶磁場和電流密度分布不能再根據(jù)簡單的微分關(guān)系進行求解。SCHUSTER等人96采用BEAN模型給出了當(dāng)磁通全部穿透超導(dǎo)體時的結(jié)果，此時整個超導(dǎo)體全部是臨界電流密度。在磁場部分穿透超導(dǎo)圓盤和超導(dǎo)薄帶時，為了保持內(nèi)部區(qū)域完全抗磁性，超導(dǎo)體內(nèi)部電流密度不再是平行磁場下那種要么是臨界電流密度要么是零的簡單分布，而是在整個超導(dǎo)圓盤或者超導(dǎo)薄帶都會有電流分布；磁場分布也變得非常復(fù)雜，不再是平行磁場下通過簡單的積分就能得到。為了方便區(qū)分，對于垂直磁場下臨界態(tài)模型里面假設(shè)臨界電流密度是常數(shù)的情形，我們?nèi)匀环Q為BEAN模型。NORRIS采用BEAN臨界態(tài)模型通過保角變化方法計算得到了超導(dǎo)薄膜在外加電流下的磁場和電流密度分布公式，并進一步計算得到了超導(dǎo)薄膜交流損耗的公式。SWAN97通過計算得到了和NORRIS相同的磁場和電流密度分布公式。BRANDT等人98根據(jù)BEAN模型研究了外加磁場垂直于II類超導(dǎo)薄膜時電流密度和磁場分布。BRANDT99還研究了超導(dǎo)薄圓盤在垂直外加磁場下的磁場和電流的分布，并且和超導(dǎo)薄帶在垂直磁場下，超導(dǎo)圓柱和超導(dǎo)板在平行外加磁場下的結(jié)果進行了對比。CLEM和SANCHEZ100進一步計算了超導(dǎo)薄盤的磁滯交流損耗和交流磁化系數(shù)。BRANDT和INDENBOM101研究了更復(fù)雜的加載情形，即當(dāng)外加電流和外加垂直磁場同時線蘭州大學(xué)博士學(xué)位論文第一章緒論11性加載時，在不考慮磁場退出的情況下，他們計算得到了電流密度和磁場的分布的解析表達式，電流和磁場分布打破了對稱性分布，而且將電流和磁場的分布形式分為兩類，類電流分布和類磁場分布；并指出即使電流和磁場同時增加，也有可能對應(yīng)一側(cè)的穿透深度會減小，此時數(shù)學(xué)結(jié)果并不會對應(yīng)任何實際物理現(xiàn)象。ZELDOV等人102研究總結(jié)了超導(dǎo)薄帶在各種電流和磁場加載情形下電流密度分布和磁化性質(zhì)，并且和超導(dǎo)薄板在平行磁場下進行了對比。MIKHEENKO和KUZOVLEV103采用BEAN模型研究了無限長的超導(dǎo)圓柱在垂直磁場下的電流和磁場分布，得到了精確的解析結(jié)果。BRANDT104采用BEAN模型給出了有限長的超導(dǎo)圓柱磁場穿透規(guī)律和磁化曲線，當(dāng)圓柱體高度無限薄或者無限長兩種極限情況下，可以退化到相應(yīng)的解析結(jié)果。MIKITIK和BRANDT105同樣采用BEAN模型給出了計算橫截面是扁橢圓形狀的薄超導(dǎo)薄帶在垂直磁場下的電流和磁場分布的近似解析結(jié)果。在橫截面是圓形或者薄帶情形時，結(jié)果可以退化到相應(yīng)的精確解析結(jié)果。MAWATARI和CLEM106研究了無限大超導(dǎo)薄膜附近放一無限長且與超導(dǎo)薄膜表面平行的通電導(dǎo)線情形時，超導(dǎo)薄膜的磁場和電流密度分布等問題，此外還進一步考慮了超導(dǎo)薄膜上面放置兩根平行的導(dǎo)線的情形。CLEM107研究了縱向排列的超導(dǎo)薄帶在外加電流時的磁場、電流分布和交流損耗等問題。MAWATARI和KAJIKAWA108計算得到了放射狀排列的超導(dǎo)薄帶的交流損耗公式，討論了交流損耗隨著排列形式的變化規(guī)律。MAWATARI109考慮了在外加磁場下無限多超導(dǎo)薄帶排列成水平陣列和垂直陣列時磁場和電流分布問題，得到了解析結(jié)果，后來將結(jié)果進一步推廣到了二維超導(dǎo)陣列結(jié)構(gòu)110。對于外加電流圓弧型超導(dǎo)薄膜和垂直外加磁場下的超導(dǎo)薄壁筒兩種情形，MAWATARI111,112進一步采用保角變換方法得到了電流和磁場分布公式以及交流損耗規(guī)律，并進一步得到了圓弧超導(dǎo)膜排列成圓形陣列時的交流損耗等問題。HE等人113考慮了鐵磁基底對圓形陣列的超導(dǎo)線纜交流損耗的影響。對于有限尺寸的超導(dǎo)體，例如正方形，長方形等，目前還沒有求解這些問題的精確解法。對于橫截面具有一定寬度和厚度的長方形，橢圓以及介于兩者之間的任意幾何形狀的超導(dǎo)材料在外加電流情形下，CLEM114給出了計算磁場、電流密度分布以及交流損耗等問題的解析方法和數(shù)值方法。BRAN