以小見大-用好函數定義域

1、以小見大用好函數定義域慈溪市三山高級中學315300黃啟明函數作為高中數學的主線， 貫穿于整個高中數學的始終。 函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域似乎是非常簡單的， 然而在解決問題中不加以注意， 常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的思維品質是十分有益的。本文結合數例談談如何用好函數定義域。1 確定函數定義域的原則當函數 y=f(x)用表格給出時，函數的定義域是指表格中實數x 的集合。當函數 y=f(x)用圖像給出時，函數的定義域是指圖像在x 軸上投影所覆蓋的實數的集合。當函數 y=f(x)用解析式給出時，函數的定義域是指使解析式有意義的

2、實數的集合。當函數 y=f(x)用實際問題給出時，函數的定義域由實際問題的意義確定?；旧峡煞譃樽匀欢x域與限定定義域兩類：如果只給函數的解析式（不注明定義域），其定義域應為使解析式有意義的自變量的取值范圍，稱為自然定義域；如果函數受應用條件或附加條件所制約，其定義域稱為限定定義域。定義域經常作為基本條件（或工具）出現在高考試題中，通過函數性質或函數應用來考查具有隱蔽性，不為人們所注意，即主要求限定定義域，所以在解決函數問題時，必須樹立起“定義域優(yōu)先”的觀點，以先分析定義域來幫助解決問題。2 函數定義域的解題功能2.1導向功能函數的定義域對許多數學問題的求解，有著明顯的導向作用，優(yōu)先考慮定義域

3、，有助于啟迪思路，理順解題線索。2【例 1】解方程 2 x 13 x 12分析：用常規(guī)方法求解，難以奏效，構造函數，從定義域入手，問題不攻自破。簡解：考慮函數f(x)=2 x2 13 x 1 , 定義域為x | x1或 x1當 x 1 時， f(-1)=2當 x1 時，易證f(x) 為增函數，故有f(x)f(1)=13 2 2原方程的解為x11 / 42.2簡化功能巧用函數的定義域，可以避免復雜的變形與討論，使問題簡捷獲解?！纠?2】 判斷函數f(x)=2x2的奇偶性。| x2|2分析：從定義域入手可化簡解析式。簡解： Q 函數的定義域為2,0U 0, 22x2f(x)=xQ f( x) f(

4、x)yf ( x) 為奇函數2.3顯隱功能從函數的定義域出發(fā)，分析題目的結構特征，有助于挖掘隱含在題目中的條件，從而使問題化隱為顯，促成問題的快速解決?！纠?3】 已知 3x22y26x , 求 x2y2 的最大值。分析：已知等式有兩個作用，一是可將y2用 x 表示消元，二是確定x 的取值范圍定義域。簡解：由 3x22 y 26x得 y 23x3 x22Q y203x3 x20得 0 x 2x2y2x23x21x39， x0,23 x222222.4 制約功能函數由定義域和對應法則確定，函數圖案和性質受定義域制約，因此從定義域出發(fā)研究函數問題是一種行之有效的方法?！纠?4】 求函數 f(x)=

5、2cos x的遞減區(qū)間。xsin()分析：三角變形是定義域基礎上的恒等變形。2 / 42sin(x)x簡解： f(x)=2x4cos()sin()4 242其定義域為 x | x22k, kZ減區(qū)間為 (4k, 54k), kZ223 函數定義域的外延3.1數列問題函數的定義域實質是變量的允許值范圍，在高中數學的其他內容也有涉及變量的，都應及時考慮其取值范圍，在數列題中， n 就是一個變量，應關注 n 的取值范圍解題?！纠?5】已知數列n*an滿足Sn2 an(n N ), Sn是 an的前 n 項和，a21Sn。 ，求簡解：當 n2 時， Snn( SnSn 1)2Sn 1n2SnnS2 S

6、3 LSn 11 2 3 Ln 2 ,( n 3)S3S4Sn3 45nS22,( n3)Sn（ n-1 ）nQ S10, S21Snn(n1) (nN * )23.2解析幾何問題在解析幾何求曲線的方程中， 動點 P(x,y) 就是一個變量， 所以在求出的軌跡方程中應考慮其純粹性?！纠?6】設拋物線y24px (p0) 的準線與 x 軸的交點為M，過點 M做直線 l 交拋物線于A，B 兩點，求線段AB中點的軌跡方程。簡解：設P(x,y)3 / 4Q M(-p,0)可設 l ：y=k(x+p)再聯立方程y24 px得到 k2 x2(2 k 2 p 4p) x k 2 p20V (2 k 24p) 24k 4 p216k 2 p216 p20k 211k1且 k 0又 xx1x22pk 2 p2k2y k ( 2 p k 2 pp)2pk2k消去 k 得： y22 p( xp) (xp)3.3 排列組合題在排列數與組合數中，n 也是一個變量，應考慮n 有意義的取值范圍?！纠?7】 求值 Cn5 nCn9 1n簡解：聯立方程5 n09 n 0n 5-nn+1