集合知識(shí)點(diǎn)歸納78020.doc

1、集合的基礎(chǔ)知識(shí)一、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1集合的有關(guān)概念一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合，集合里的各個(gè)對(duì)象叫做集合的元素集合中的元素具有以下的特性確定性：任給一元素可確定其歸屬即給定一個(gè)集合,任何一個(gè)對(duì)象是不是這個(gè)集合的元素也就確定了.例如，給出集合1，2，3，4，它只有1、2、3、4四個(gè)元素，其他對(duì)象都不是它的元素；而“所有的好人”、“視力比較差的全體學(xué)生”、“我國(guó)的所有小河流”就不能視為集合，因?yàn)榻M成它們的對(duì)象是不能確定的. 互異性：集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，也就是說(shuō)，集合中的元素必須是互不相同的（即沒(méi)有重復(fù)現(xiàn)象），相同的元素在集合中只能算作一個(gè).例如，不能有1，1，2，而必須寫(xiě)成1，2.

2、 無(wú)序性：集合中的元素間是無(wú)次序關(guān)系的.例如，1，2，3與3，2，1表示同一個(gè)集合.（2）集合的元素某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.若a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作aA.不含任何元素的集合叫做空集，記作.（3）集合的分類(lèi)：有限集與無(wú)限集.（4）集合的表示法：列舉法、描述法和圖示法.列舉法：將所給集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)里，元素與元素之間用逗號(hào)分開(kāi)，常用于表示有限集.描述法：將所給集合中全部元素的共同特性和性質(zhì)用文字或符號(hào)語(yǔ)言描述出來(lái)常用于表示無(wú)限集.使用描述法時(shí)，應(yīng)注意六點(diǎn)：寫(xiě)清集合中元素的代號(hào)；說(shuō)明該集合中元素的性質(zhì)；不能出現(xiàn)未

3、被說(shuō)明的字母；多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”，“或”；所有描述的內(nèi)容都要寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)；用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、確切.圖示法：畫(huà)一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合，常用于表示又需給具體元素的抽象集合，對(duì)已給出了具體元素的集合當(dāng)然也可用圖示法來(lái)表示.如：A=1，2，3，4例1、設(shè)集合A=a，a+b, a+2b,B=a,ac,ac2 ,且A=B，求實(shí)數(shù)c值分析：欲求c值，可列關(guān)于c的方程或方程組，根據(jù)兩集合相等的意義及集合元素的互異性，有下面兩種情況：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac兩種情況解析：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a

4、+ ac2-2ac=0a=0時(shí)，集B中三元素均為零，根據(jù)集合元素互異性舍去a=0c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1時(shí)，B中的三個(gè)元素也相同，舍去c=1，此時(shí)無(wú)解（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0a=0時(shí)，集B中三元素均為零，根據(jù)集合元素互異性舍去a=02c2-c-1=0，即c=1或，但 c=1時(shí)，B中的三個(gè)元素也相同，舍去c=1，點(diǎn)評(píng)： 兩集合相等的意義是兩集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值時(shí)，可能產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢驗(yàn)，去偽存真（5）常用數(shù)集及專(zhuān)用記號(hào)（1）非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）N=0，1，2，（2）正整數(shù)集N*

5、（或N）=1，2，3，（3）整數(shù)集Z=0，1，2，（4）有理數(shù)集Q=整數(shù)與分?jǐn)?shù)（5）實(shí)數(shù)集R=數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù).強(qiáng)調(diào)：實(shí)數(shù)集不可記為R或?qū)崝?shù)集，0 ，0，空集.強(qiáng)調(diào)：排除0和負(fù)數(shù)的數(shù)集也可表示為R*、Z*、Q*或R、Z、Q2基本運(yùn)算1. 交集（1）定義：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組合的集合叫A與B的交集記作，即，且（2）交集的圖示上圖陰影部分表示集合A與B的交集（3）交集的運(yùn)算律， ，2. 并集（1）定義：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，記作，即，或（2）并集的圖示以上陰影部分表示集合A與B的并集（3）并集的運(yùn)算律 ，3、補(bǔ)集（1）定義：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一

6、個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）.記作，即 CSA=（2）補(bǔ)集的圖示4、常用性質(zhì)AA=A，A=，AB=BA，ABA， ABBAA=A，A=A，AB=BA，ABA，ABB，例2、集合，且，AU，BU，且4，5，1，2，3，6，7，8，求集合A和B分析：利用集合圖示較為直觀解：由4，5，則將4，5寫(xiě)在中，由1，2，3，則將1，2，3寫(xiě)在集A中，由6，7，8，則將6，7，8寫(xiě)在A、B之外，由與中均無(wú)9，10，則9，10在B中，故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9，105、容斥原理：有限集A的元素個(gè)數(shù)記作card(A).對(duì)于兩個(gè)有限集A，B，有card(A

7、B)= card(A)+card(B)- card(AB)二、難點(diǎn)知識(shí)剖析1、要注意區(qū)分一些容易混淆的符號(hào)（1）與的區(qū)別：表示元素與集合之間的關(guān)系，例如1N，-1N等；表示集合與集合之間的關(guān)系，例如NR，等（2）a與a的區(qū)別：一般在，a表示一個(gè)元素，a而表示只有一個(gè)元素a的集合例如，00,11,2,3等，不能寫(xiě)成0=0，11,2,3，11,2,3（3）0與的區(qū)別：是含有一個(gè)元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此0但不能寫(xiě)成=0，0例3、已知集合M=x|x3，集合P=x|x2，設(shè)，則下列關(guān)系式中正確的一個(gè)是（）A、PM B、aMC、PMD、a3P解析：集合M、P都是部分實(shí)數(shù)組成的集合，而a是一

8、個(gè)具體的實(shí)數(shù)，故M、P間的關(guān)系應(yīng)用“包含”，“不包含”來(lái)確定，而對(duì)a與集合M、P的關(guān)系只能用“屬于”，“不屬于”來(lái)確定，比較實(shí)數(shù)的大小，易判斷C正確.小結(jié)：正確使用集合的符號(hào)是正確分析、解答問(wèn)題的關(guān)鍵2理解集合所表示的意義（1）對(duì)由條件給出的集合，要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什么范圍如yR|y=表示的為函數(shù)y=中y的取值范圍，故yR|y=yR|y;而xR|y=表示y=的x的取值范圍，故xR|y=R（2）用集合表示不等式（組）的解集時(shí)，要注意分辨是交集還是并集，結(jié)合數(shù)軸或韋恩圖的直觀性幫助思維判斷空集是任何集合的子集，但因?yàn)椴缓糜庙f恩圖表示，容易被忽視，如在關(guān)系式BA中，易漏掉B=的情

9、況例4、 設(shè)A=，B=（1）若AB=B，求的值；（2）若AB=B，求的值分析： 明確AB=B和A B=B的含義，根據(jù)問(wèn)題的需要，將AB=B和AB=B轉(zhuǎn)化為等價(jià)的關(guān)系式：和，是解決本題的關(guān)鍵解析：首先化簡(jiǎn)集合A，得A=-4，0（1）由于A B=B，則有可知集合B或?yàn)榭占蛑缓懈?或-4若B=，由得若，代入得：，當(dāng)時(shí)，B=，合題意當(dāng)時(shí)，B=，也符合題意若，代入得：，當(dāng)時(shí)，中已討論，合題意當(dāng)時(shí)，B=不合題意由、得，（2）因?yàn)锳B=B，所以，又A=-4，0，而B(niǎo)至多只有兩個(gè)根，因此應(yīng)有A=B由（1）知，【點(diǎn)評(píng)】：一般對(duì)于AB=B和AB=B這種類(lèi)型的問(wèn)題，都要注意轉(zhuǎn)化為等價(jià)的關(guān)系式：和 ，且在包含關(guān)

10、系中，注意不要漏掉B=的情況并且當(dāng)A、B中的元素的個(gè)數(shù)相同時(shí)，還存在或的情況時(shí)，只有A=B這一種情況子集（1）子集定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說(shuō)集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。記作： 讀作：A包含于B或B包含A 當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作：A B或B A性質(zhì)： （任何一個(gè)集合是它本身的子集） （空集是任何集合的子集）【置疑】能否把子集說(shuō)成是由原來(lái)集合中的部分元素組成的集合？【解疑】不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合因?yàn)锽的子集也包括它本身，而這個(gè)子集是由B的全體元素組成的空集也是B的子

11、集，而這個(gè)集合中并不含有B中的元素由此也可看到，把A是B的子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合是不確切的（2）集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，記作A=B。例： ，可見(jiàn)，集合 ，是指A、B的所有元素完全相同（3）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果 ，并且 ，我們就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作： （或 ），讀作A真包含于B或B真包含A?！舅伎肌磕芊襁@樣定義真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集”集合B同它的真子集A之間的關(guān)系，可用文

12、氏圖表示，其中兩個(gè)圓的內(nèi)部分別表示集合A，B【提問(wèn)】（1） 寫(xiě)出數(shù)集N，Z，Q，R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示。（2） 判斷下列寫(xiě)法是否正確 A A A A性質(zhì)：（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A ，則 A；（2）如果 ， ，則 例1 寫(xiě)出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集【注意】（1）子集與真子集符號(hào)的方向。 （2）易混符號(hào)“ ”與“ ”：元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與集合之間是包含關(guān)系。如 R，1 1，2，30與 ：0是含有一個(gè)元素0的集合， 是不含任何元素的集合。 如： 0。不能寫(xiě)成 =0， 0例3 判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)加以改正（1） 表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3） 不是 ；（4） 的所有子集是 ；（5）如果 且 ，那么B必是A的真子集；（6） 與 不能同時(shí)成立 解：（1） 不表示空集，它表示