高中數(shù)學(xué)-離散型隨機(jī)變量的分布列

1、教師版第五單元第4講 離散型隨機(jī)變量的分布列（6課時）一.基本理論(一)基本概念(1) 隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量來表示, 隨機(jī)變量常用希臘字母等表示.(2) 離散型隨機(jī)變量:如果對于隨機(jī)變量可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.例如,射擊命中環(huán)數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量.(3) 連續(xù)型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機(jī)變量叫連續(xù)型隨機(jī)變量.（二）離散型隨機(jī)變量的分布列 1.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為,取每一個值的概率,則稱下表 P 為隨機(jī)變量的概率分布,簡稱為的分布列.分布列的表達(dá)式可以是如

2、下的幾種(A)表格形式; (B)一組等式 (C)壓縮為一個帶的形式.2.由概率的性質(zhì)知,任一離散型隨機(jī)變量的分布列具有下列二個性質(zhì):(A) (B)3. 求分布列三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量分布列；(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量分布列；(3)由互斥事件、獨(dú)立事件的概率求出離散型隨機(jī)變量分布列4.離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地,若離散型隨機(jī)變量的概率分布列為 P 則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù).或均值.為的均方差.簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差.性質(zhì): (1) (2) (3) （三）幾種常見的隨機(jī)變量的分布1.兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0p1，q1p，則稱離散型隨機(jī)變量X服

3、從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布2.二項分布 在一次隨機(jī)試驗中,某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生,在次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量.若在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,則在次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生次的概率是得到隨機(jī)變量的概率分布如下 0 1 P 稱隨機(jī)變量服從二項分布,記作B(n,p),并記=b(k;n,p)3. 超幾何分布一般地,在含有M件次品中的N件產(chǎn)品中,任取件,其中恰有X件次品數(shù),則事件發(fā)生的概率為其中稱分布列 0 1 P 4. 幾何分布(1)若，則 (2) 若，則二.題型分析題型1.由統(tǒng)計數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的分布列題1. (2011北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名

4、同學(xué)的植樹棵數(shù)分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)(1)求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)y的分布列；(2)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學(xué)獲得錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望審題視點(diǎn) 本題解題的關(guān)鍵是求出Y的取值及取每一個值的概率，注意用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗解(1)分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)的方法種數(shù)是4416，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的取值分別為17,18,19,20,21，P(Y17) P(Y18) P(Y19) P(Y20)P(Y21)則隨機(jī)變量Y的分布列是：Y1718192021P(2)由(1)知E(Y)19，設(shè)這名同學(xué)獲得錢數(shù)為X元，則X10Y，則E(X)10E(Y)190.題2. 【2012高考真題

5、廣東理17】（本小題滿分13分）某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區(qū)間是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100（1）求圖中x的值；（2）從成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數(shù)記為，求得數(shù)學(xué)期望【答案】本題是在概率與統(tǒng)計的交匯處命題，考查了用樣本估計總體等統(tǒng)計知識以及離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，難度中等?！窘馕觥款}型2 由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列題3. （2012年韶關(guān)二模）有一個345的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. 現(xiàn)將這個長方體鋸成

6、60個111的小正方體，從這些小正方體中隨機(jī)地任取1個，設(shè)小正方體涂上顏色的面數(shù)為. （）求的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（）60個111的小正方體中，沒有涂上顏色的有6個， （3分）（）由（1）可知； （7分）分布列0123p （10分） E=0+1+2+3= （12分）題4. 【2012高考真題浙江理19】已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球的2分，取出一個黑球的1分現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會均等)3個球，記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和()求X的分布列；()求X的數(shù)學(xué)期望E(X)【答案】本題主要考察分布列，數(shù)學(xué)期望等知識點(diǎn)。() X的可能取值有：3，4

7、，5，6 ； ； 故，所求X的分布列為X3456P () 所求X的數(shù)學(xué)期望E(X)為：E(X)題型3.由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列題5. 【2012高考真題重慶理17】甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一票.約定甲先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.（） 求甲獲勝的概率；（）求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望【答案】 題6. 【2012高考真題全國卷理19】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得

8、0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.（）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；（）表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求的期望.【答案】題型4.兩點(diǎn)分布題7. 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項目，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192次8次則該公司一年后估計可獲收益的期望是_解析設(shè)該公司一年后估計可獲得的錢數(shù)為X元，則隨機(jī)變量X的取值分別為50 00012%6 000(元)，50 00050%25 000(元)

9、由已知條件隨機(jī)變量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000(25 000)4 760答案4 760題型4.二項分布題8. （廣東省惠州市2010屆高三第三次調(diào)研理科）在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實(shí)驗，過圓錐高的中點(diǎn)有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實(shí)驗區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗區(qū)，圓臺體叫第二實(shí)驗區(qū)，且兩個實(shí)驗區(qū)是互通的。假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的。（1）求蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)的概率；（3）記為落入第一實(shí)

10、驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。解：（1）記“蜜蜂落入第一實(shí)驗區(qū)”為事件, “蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)”為事件.1分依題意， 3分 蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)的概率為。 4分（2）記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)”為事件，則 5分 恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗區(qū)的概率. 8分（3）因為蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，所以變量滿足二項分布，即 10分隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望=40=5 12分題9. （2012年茂名二模）在我市“城鄉(xiāng)清潔工程”建設(shè)活動中，社會各界掀起凈化美化環(huán)境的熱潮.某單位計劃在小區(qū)內(nèi)種植四棵風(fēng)景樹，受本地地理環(huán)境的影響，兩棵樹的成活的概率均為，

11、另外兩棵樹為進(jìn)口樹種，其成活概率都為，設(shè)表示最終成活的樹的數(shù)量.（1）若出現(xiàn)有且只有一顆成活的概率與都成活的概率相等，求的值；（2）求的分布列（用表示）；（3）若出現(xiàn)恰好兩棵樹成活的的概率最大，試求的取值范圍.解：（1）由題意，得，. 2分（2）的所有可能取值為0,1,2,3,4. 3分 4分 5分 6分 7分 8分得的分布列為： 9分01234（3）由，顯然, 10分 11分 12分由上述不等式解得的取值范圍是.13分題型5.超幾何分布題10. 某校組織一次冬令營活動，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項特殊任務(wù)，記其中有X

12、名男同學(xué).（1）求X的概率分布；（2）求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.解 （1）X的可能取值為0，1，2，3.根據(jù)公式P（X=m）=算出其相應(yīng)的概率，即X的概率分布為X0123P（2）去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P（X=1）+P（X=2）=+=.題型6. 離散型隨機(jī)變量的均值和方差題11. (2011北京)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示(1)如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn

13、)2，其中為x1，x2，xn的平均數(shù))解(1)當(dāng)X8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：；方差為：s2(8)2(8)2(9)2(10)2.(2)當(dāng)X9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4416種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y17).同理可得P(Y18)；P(Y19)；P(Y20)；P(Y21).所以隨機(jī)

14、變量Y的分布列為：Y1718192021PEY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)171819202119.題12. (2011福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨

15、機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：(1)產(chǎn)品的“性價比”；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性審題視點(diǎn) (1)利用分布列的性質(zhì)P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判斷解(1)因為E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，

16、即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為1.2.據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性離散型隨機(jī)變量的

17、分布列作業(yè) 班次 姓名 1.一袋中裝有編號為1，2，3，4，5，6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，以X表示取出的最大號碼.（1）求X的概率分布；（2）求X4的概率.解 （1）X的可能取值為3，4，5，6，從而有：P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=.故X的概率分布為X3456P（2）P（X4）=P（X=5）+P（X=6）=.2.(2011浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)

18、變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.審題視點(diǎn) 分別求出隨機(jī)變量X取每一個值的概率，然后求其期望解析由已知條件P(X0)即(1P)2，解得P，隨機(jī)變量X的取值分別為0,1,2,3.P(X0)，P(X1)222，P(X2)22，P(X3)2.因此隨機(jī)變量X的分布列為X0123PE(X)0123.答案3. （廣東省江門市2010屆高三數(shù)學(xué)理科3月質(zhì)量檢測試題）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率， （I）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望E； （II）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率4. 某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)

19、學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的概率分布. 解 依題意隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以P（X=k）=（k=0，1，2，3，4）.4分P（X=0）=,P(X=1)= =,P(X=2)= =,P(X=3)= =,P(X=4)= =,9分X的概率分布為X01234P 14分5.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用X表示取球終止時所需要的取球次數(shù)(1)求袋中原有白球的個數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率審題

20、視點(diǎn) 對變量的取值要做到不重不漏，計算概率要準(zhǔn)確解(1)設(shè)袋中白球共有x個，根據(jù)已知條件，即x2x60，解得x3，或x2(舍去)(2)X表示取球終止時所需要的次數(shù)，則X的取值分別為：1,2，3,4,5.因此，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).則隨機(jī)變量X的分布列為：X12345P (3)甲取到白球的概率為P.6. (2011江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對，則月工資定為3 500元；

21、若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望解(1)X的所有可能取值為：0,1,2,3,4，P(Xi)(i0,1,2,3,4)，則X01234P(2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500，則P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，E(Y)3 5002 8002 1002 280，所以此員工月工資的期望為2 280元7. （2008湖北理，17）袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（n=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號.（1）