相離的兩圓的公切線的做法

1、相離的兩圓的公切線的做法摘要：我們知道， 相離的兩個(gè)定圓 ( O1 半徑為 r 、 O2 半徑為 R)具有兩條內(nèi)公切線和兩條外公切線。 那么，我們?cè)撊绾芜\(yùn)用尺規(guī)作圖， 作出這些公切線呢？在這里，將介紹幾種做公切線的作法， 分別運(yùn)用了位似的性質(zhì)、 相似三角形的性質(zhì)、構(gòu)造矩形和結(jié)合位似和相似三角形。 其中最主要的原理是直徑所對(duì)的角是直角。一、運(yùn)用位似的性質(zhì)。我們知道任意的兩個(gè)圓都會(huì)位似且最多存在兩個(gè)位似中心 （即位似點(diǎn)），而由位似的定義我們知道， 在兩個(gè)位似的圖形中， 所有具有相同性質(zhì)的點(diǎn)會(huì)交于一個(gè)點(diǎn)，就是位似點(diǎn)。那么， 由位似點(diǎn)引出的一條直線，它與兩個(gè)位似圖形的交點(diǎn)應(yīng)該也具有相同的性質(zhì)。 所以運(yùn)

2、用位似的這一性質(zhì)， 我們可以先找出兩定圓的連心線，并作圓心在連心線上的垂線， 找出了兩個(gè)具有相同性質(zhì)的點(diǎn)， 這兩點(diǎn)所在的直線與連心線的交點(diǎn)， 就是位似中心。 此時(shí)，我們以位似點(diǎn)和某一圓的圓心為直徑作圓 , 由直徑所對(duì)的角為直角，那么我們可以得到該圓的一條切線，又由位似的性質(zhì)知，該切線與另一圓也相切。作法： 1. 連結(jié) O1 O2，并延長(zhǎng)。2. 過 O1、 O2 作 O1O2 的垂線，分別交 O1、 O2 于點(diǎn) A1 A2。（注：當(dāng)作外公切線的時(shí)候 A1A2 取在 O1O2 的同一側(cè)，當(dāng)作內(nèi)公切線的時(shí)候取在 O1 O2 的不同側(cè)）3. 連結(jié) A1 A2 并延長(zhǎng)，交 O1O2 于點(diǎn) O。4. 以

3、OO1為直徑作圓，交 O1 于點(diǎn) B1 、B3。5. 連結(jié) OB1 并延長(zhǎng)交 O2 于點(diǎn) B2，連結(jié) OB3 并延長(zhǎng)交 O2 于點(diǎn) B4 6則 B1 B2、B3B4 為兩圓的公切線B 2A 1B4A 2B2B1B1A 1位似點(diǎn) OO1O2O1 位似點(diǎn) OO2B 3B3B2B4A 2證明：在位似的 O1、 O2 中，已知 A1O1、 A2 O2 都垂直于 O1 O2，則垂線 A1 O1 和垂線 A2O2 的性質(zhì)相同，它們兩端點(diǎn)的連線交于位似點(diǎn)O又 OO1為直徑， OB1O1 =90 OB1B2 在同一直線上B1B2 兩點(diǎn)的性質(zhì)相同 OB1O1 = OB2O2 =90B1B2 為兩圓的公切線，同理

4、B3B4 也為兩圓的公切線。二、運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)我們知道兩個(gè)相似的三角形， 它們的對(duì)應(yīng)角都相等， 所以我們可以嘗試構(gòu)造兩個(gè)相似的直角三角形。 而我們要確定兩個(gè)直角三角形相似， 只需滿足一條直角邊與斜邊的比例相等即可。 我們?cè)谡冶壤€段的時(shí)候， 可以從相似三角形入手， 當(dāng)我們連接兩定圓的連心線， 并作圓心在連心線上的垂線， 會(huì)與圓交于兩點(diǎn)， 這兩.點(diǎn)所在的直線與垂線和連心線就會(huì)形成兩個(gè)相似三角形。 并且它們的相似比就是半徑比，我們?cè)僖詢蓚€(gè)三角形在在連心線上的邊為直徑作圓， 由直徑所對(duì)的角為直角，我們可以得到兩個(gè)直角三角形， 且它們有兩條邊的比都為半徑比， 即兩個(gè)直角三角形相似， 它們的頂角相

5、等， 則它們有一對(duì)直角邊在同一條直線上， 那條直線即為兩圓的公切線。作法： 1.連結(jié) O1、O2，并延長(zhǎng)。2. 過 O1、 O2 作 O1O2 的垂線，分別交 O1、 O2 于點(diǎn) A1A2 。（注：當(dāng)作外公切線的時(shí)候 A1A2 取在 O1O2 的同一側(cè)，當(dāng)作內(nèi)公切線的時(shí)候取在 O1 O2 的不同側(cè)）3. 連結(jié) A1 A2 并延長(zhǎng)，交 O1O2 于點(diǎn) O。4. 以 OO1為直徑作圓，交 O1 于點(diǎn) B1B3，以 OO2為直徑作圓，交 O1 于點(diǎn) B1B4。5. 連結(jié) OB1 、 OB2，連結(jié) OB3 、OB4。6則 B1 B2、B3B4 為兩圓的公切線。B 2A 1B4B 1A 2B 1A 1O

6、1O2OO1O2OB 3B 3B2B4A 2證明：已知 A1 O1、 A2 O2 都垂直于 O1 O2，則 OA1O1=OA2O2=90又 A1OO1= A2OO2，則 OA1O1 OA2O2，且 OO1：OO2=A1O1： A2 O2= r ：R由 OO、OO是直徑有 OBO=90、 OOB =90121 12 2又 OO1： OO2= O1B1： O2 B2= r ：R RtOB1O1 Rt OB2O2， OB1O1 = OB2O2 （ HL） OB1B2 在同一直線上 B1B2 為兩圓的公切線，同理 B3B4 也為兩圓的公切線三、構(gòu)造矩形我們知道，公切線會(huì)垂直于兩切點(diǎn)到圓心的連線，如果把

7、公切線沿小圓切點(diǎn)到圓心的方向平移， 就會(huì)得到一個(gè)矩形， 還會(huì)得到一個(gè)直角三角形， 該直角三角形有一條直角邊為公切線的平行線，另一條為大圓與小圓的半徑差（和） ，斜邊為連心線。所以，我們可以先在大圓圓心以半徑差 （和）作圓 , 再以連心線為直徑作圓，交點(diǎn)連結(jié)得到直角三角形，接著作出平行四邊形即可得到公切線。作法： 1. 1. 連結(jié) O1O2，并延長(zhǎng)。2. 以 O2 為圓心， O1、 O2 的半徑差 ( 和) 為半徑作 O3。（注：當(dāng)作外公切線的時(shí)候?yàn)椴?，?dāng)作內(nèi)公切線的時(shí)候?yàn)楹停?. 以 O1 O2 為直徑作圓，交 O3 于點(diǎn) A1、A2 。4. 連結(jié) O2A1、O2A2 并延長(zhǎng)交 O2 于點(diǎn) B

8、2、 B4 , 連結(jié) O1A1、O1A15. 過點(diǎn) B2 取 B2 B1=O1A1 交 O1 于點(diǎn) B1，連結(jié) O1B1 。6B1B2 為兩圓的公切線，同理B3B4 也為兩圓的公切線.B2B 1A 1A 1B 1B4O1O2O1OO2A 2B 3B 2B3A 2B4證明：已知 O1 B1=r 、O2B2=R、O2A1=R-r ， A1B2 =r=O1B1，又 O1A1=B2B1四邊形 O1 A1B2 B1 為平行四邊形又 O1O2 為 O1 O2A1 直徑， O1A1O2 =90 O1A1 B2B1 為矩形， O1 B1B2 = A1B1 B2=90 B1B2 為兩圓的公切線 ，同理 B3B4

9、 也為兩圓的公切線四、結(jié)合位似與相似三角形的由上述證明中，我們知道，公切線與連心線和切點(diǎn)到圓心的連線會(huì)組成兩個(gè)相似的直角三角形， 并且相似比就為半徑比。 我們要作的是公切線， 那么我們只要在連心線上找到兩段線段等于半徑比， 再以這兩段線段為直徑作圓， 就可以作出兩個(gè)相似的直角三角形， 那兩條直角邊同時(shí)所在的直線即為公切線。 而連心線上的兩段線段等于半徑比， 我們可以通過位似的性質(zhì)， 運(yùn)用已知的兩半徑長(zhǎng)度構(gòu)造平行線，找出位似中心從而得到。作法： 1. 連結(jié) O1 O2，并延長(zhǎng)。R和 r ，把 OO 連結(jié)到 R2. 作一條線段平行于 OO，并在線段上截取長(zhǎng)度1212和 r 的和（差）線段 A 1A 2 的端點(diǎn)，兩線會(huì)交與點(diǎn) O3。（注：當(dāng)作外公切線的時(shí)候?yàn)椴?，?dāng)作內(nèi)公切線的時(shí)候?yàn)楹停?. 把 O3 與 r 的兩端點(diǎn) A 2A 1 相連并延長(zhǎng)，會(huì)交連心線 O1O2 于 O1、 O。4. 以 OO1為直徑作圓，交 O1 于點(diǎn) B1B3，以 OO2為直徑作圓，交 O1 于點(diǎn) B1B4。5. 連結(jié) OB1 、 OB2，連結(jié) OB3 、OB4。6則 B1 B2、B3B4 為兩圓的公切線。O3O3AA1A 2rRB2A 1r ARA2B1B 4B1OO1O2O1O2B3OB 4B3B 2證明： AA2O1O2，線段