函數(shù)的周期性和對稱性(解析版)——王彥文

1、.專題二：函數(shù)的周期性和對稱性【高考地位】函數(shù)的周期性和對稱性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。在高中數(shù)學(xué)中，研究一個函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱），并且在高考中也經(jīng)?？疾楹瘮?shù)的對稱性和周期性，以及它們之間的聯(lián)系。因此，我們應(yīng)該掌握一些簡單常見的幾類函數(shù)的周期性與對稱性的基本方法?！痉椒c(diǎn)評】一、函數(shù)的周期性求法使用情景：幾類特殊函數(shù)類型解題模板：第一步 合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危?第二步 準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期性； 第三步 運(yùn)用函數(shù)的周期性求解實(shí)際問題.例1 (1) 函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若，則（ ）A B C D【答案】D考點(diǎn)：函數(shù)的周期性(2) 已知在R上

2、是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，則（ ）A、-12 B、-16 C、-20 D、0【答案】A試題分析：因?yàn)椋?，的周期為，因?，故選A 考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的解析式及單調(diào)性【點(diǎn)評】(1)函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值(2)求函數(shù)周期的方法【變式演練1】已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）A B C D【答案】B【變式演練2】定義在上的函數(shù)滿足時，則的值為（ ）A.-2 B.0 C.2 D.8【答案】A試題分析： 由已知可得的周期，故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性.【變式演練3】定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，則下列

3、不等式成立的是（ ）A B C D【答案】B試題分析：因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，又，所以考點(diǎn)：1偶函數(shù)的性質(zhì)；2函數(shù)的周期性二、函數(shù)的對稱性問題使用情景：幾類特殊函數(shù)類型解題模板：記住常見的幾種對稱結(jié)論：第一類 函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱； 第二類 函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱； 第三類 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.例2 （從對稱性思考）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ )A B C D【答案】B【易錯點(diǎn)晴】函數(shù)滿足則函數(shù)關(guān)于中心對稱，,則函數(shù)關(guān)于軸對稱，常用結(jié)論：若在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)以為周期.本題中，利用此結(jié)論可得周期為，進(jìn)而，需要回到

4、本題利用題干條件賦值即可. 例3 已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱, 且滿足,又,則（ ）A B C D【答案】D試題分析：由得，又，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，由可得，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)的周期性；函數(shù)的對稱性例4 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖像上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；方程的有解問題.【變式演練4】定義在上的奇函數(shù)，對于，都有，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】或試題分析：由，因此函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又是奇函數(shù)，因此它也是周期函數(shù)，且，即，解得.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性.【高考再現(xiàn)】1. 【2016高考新課標(biāo)

5、2理數(shù)】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則（ ）（A）0 （B） （C） （D）【答案】C試題分析：由于，不妨設(shè)，與函數(shù)的交點(diǎn)為，故，故選C.考點(diǎn)： 函數(shù)圖象的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱軸；如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱中心.2. 【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x0時， ；當(dāng) 時，；當(dāng) 時， .則f(6)= （ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2【答案】D考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性與周期性；2.分段函數(shù).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性與周期性，是高考?？贾R內(nèi)容.本題具備一定難度.解答此類問題，關(guān)鍵

6、在于利用分段函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)特征，進(jìn)行函數(shù)值的轉(zhuǎn)化.本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力等.3. 【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，則= .【答案】-2考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和周期性.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可5. 【2016高考江蘇卷】設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中 若 ，則的值是 .【答案】【解析】，因此考點(diǎn)：分段函數(shù)，周期性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重對應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期

7、性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上.解決此類問題時，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值.【反饋練習(xí)】1. 【2016屆云南昆明一中高三仿真模擬七數(shù)學(xué)，理4】設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象（ ）A關(guān)于直線對稱 B關(guān)于直線對稱C關(guān)于直線對稱 D關(guān)于直線對稱【答案】D2【 2017屆河南夏邑縣第一高級中學(xué)高三文一輪復(fù)習(xí)周測二數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù)是定義在內(nèi)的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，則（ ）A-2 B2 C-98 D98【答案】A試題分析：由得的周期，故選A.考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的周期性.3. 【2017屆河南新鄉(xiāng)一中高三9月月考數(shù)學(xué)，文8】定

8、義在上的偶函數(shù)滿足，對且，都有，則有（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，及是周期為的函?shù)，結(jié)合是偶函數(shù)可得，再由且，得在上遞增，因此，即，故選A考點(diǎn)：1、函數(shù)的周期性；2、奇偶性與單調(diào)性的綜合4. 【2017屆安徽合肥一中高三上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試卷，文12】已知定義在上的函數(shù)滿足：的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時恒有，當(dāng)時，則（ ）A B C D【答案】A試題分析：的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則關(guān)于原點(diǎn)對稱. 當(dāng)時恒有即函數(shù)的周期為.所以. 考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、周期性與奇偶性，分段函數(shù)5. 【2016-2017學(xué)年貴州遵義四中高一上月考一數(shù)學(xué)試卷，理11】已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的

9、點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】考點(diǎn)：構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍.6. 【2017屆河北武邑中學(xué)高三上周考8.14數(shù)學(xué)試卷，理9】若對正常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立，則下列說法正確的是（ ）A函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為 B函數(shù)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)C函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為 D函數(shù)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)【答案】C考點(diǎn)：函數(shù)的周期性7. 【2017屆四川成都七中高三10月段測數(shù)學(xué)試卷，文10】 函數(shù)的定義域?yàn)?，以下命題正確的是（ ）同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，對于任意，又有，則的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)對于任意，滿

10、足關(guān)系式，則函數(shù)是奇函數(shù).A B C D【答案】D【解析】試題分析：正確，因?yàn)楹瘮?shù)與關(guān)于軸對稱，而和都是與向右平移1個單位得到的，所以關(guān)于直線對稱；正確，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以，而，所以，即，又根據(jù)，可得函數(shù)的周期,又有，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱；正確，因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，而函數(shù)是函數(shù)向左平移3個單位得到，所以函數(shù)是奇函數(shù).故3個命題都正確，故選D.考點(diǎn)：抽象函數(shù)的性質(zhì)8. 【2015-2016學(xué)年東北育才學(xué)校高二下段考二試數(shù)學(xué)，文12】函數(shù) 的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有（ ）對A. 0 B. 2 C. 3 D. 無數(shù)個【答案】B試題分析：作出函數(shù)的圖象如圖所示，再作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，記為曲線.容易發(fā)現(xiàn)與曲線有且只有兩個不同的交點(diǎn)，所以滿足條件的對稱