初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

1、.初中數(shù)學(xué)九大幾何模型1、 手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等（1） 等邊三角形【條件】：OAB和OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：OACOBD；AEB=60；OE平分AED（2） 等腰直角三角形【條件】：OAB和OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：OACOBD；AEB=90；OE平分AED（3） 頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：OAB和OCD均為等腰三角形；且COD=AOB【結(jié)論】：OACOBD；AEB=AOB；OE平分AED2、 模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似（1） 一般情況【條件】：CDAB，將OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中OCDOABOACOBD；延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有BEC=BOA

2、（2） 特殊情況 【條件】：CDAB，AOB=90將OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中OCDOABOACOBD；延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有BEC=BOA；tanOCD；BDAC；連接AD、BC，必有；3、 模型三、對(duì)角互補(bǔ)模型（1） 全等型-90【條件】：AOB=DCE=90；OC平分AOB【結(jié)論】：CD=CE；OD+OE=OC；證明提示：作垂直，如圖2，證明CDMCEN過(guò)點(diǎn)C作CFOC，如圖3，證明ODCFEC當(dāng)DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線于D時(shí)（如圖4）： 以上三個(gè)結(jié)論：CD=CE；OE-OD=OC；（2） 全等型-120【條件】：AOB=2DCE=120；OC平分AOB【結(jié)論】：CD=

3、CE；OD+OE=OC； 證明提示：可參考“全等型-90”證法一；如右下圖：在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，證明OCF為等邊三角形。 （3） 全等型-任意角【條件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【結(jié)論】：OC平分AOB；OD+OE=2OCcos； 當(dāng)DCE的一邊交AO的延長(zhǎng)線于D時(shí)（如右下圖）：原結(jié)論變成： ； ； ?？蓞⒖忌鲜龅诜N方法進(jìn)行證明。請(qǐng)思考初始條件的變化對(duì)模型的影響。對(duì)角互補(bǔ)模型總結(jié)：常見初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；注意OC平分AOB時(shí)，CDE=CED=COA=COB如何引導(dǎo)？4、 模型

4、四：角含半角模型90（1） 角含半角模型90-1【條件】：正方形ABCD；EAF=45；【結(jié)論】：EF=DF+BE；CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD周長(zhǎng)的一半；也可以這樣：【條件】：正方形ABCD；EF=DF+BE；【結(jié)論】：EAF=45；（2） 角含半角模型90-2【條件】：正方形ABCD；EAF=45；【結(jié)論】：EF=DF-BE；（3） 角含半角模型90-3【條件】：RtABC；DAE=45；【結(jié)論】：（如圖1）若DAE旋轉(zhuǎn)到ABC外部時(shí)，結(jié)論仍然成立（如圖2）（4） 角含半角模型90變形【條件】：正方形ABCD；EAF=45；【結(jié)論】：AHE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）DA

5、C=EAF=45，DAH=CAE，又ACB=ADB=45；DAHCAE，AHEADC，AHE為等腰直角三角形模型五：倍長(zhǎng)中線類模型（1） 倍長(zhǎng)中線類模型-1【條件】：矩形ABCD；BD=BE； DF=EF；【結(jié)論】：AFCF模型提?。河衅叫芯€ADBE；平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF；可以構(gòu)造“8”字全等ADFHEF。（2） 倍長(zhǎng)中線類模型-2【條件】：平行四邊形ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【結(jié)論】：EMD=3MEA輔助線：有平行ABCD，有中點(diǎn)AM=DM，延長(zhǎng)EM，構(gòu)造AMEDMF，連接CM構(gòu)造 等腰EMC，等腰MCF。（通過(guò)構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六

6、：相似三角形360旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-倍長(zhǎng)中線法【條件】：ADE、ABC均為等腰直角三角形；EF=CF；【結(jié)論】：DF=BF；DFBF 輔助線：延長(zhǎng)DF到點(diǎn)G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明BDG為等腰直角三角形； 突破點(diǎn)：ABDCBG； 難點(diǎn)：證明BAO=BCG（2）相似三角形（等腰直角）360旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：ADE、ABC均為等腰直角三角形；EF=CF；【結(jié)論】：DF=BF；DFBF輔助線：構(gòu)造等腰直角AEG、AHC；輔助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)化到CG與EF。（3） 任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：OABODC；OAB=

7、ODC=90；BE=CE；【結(jié)論】：AE=DE；AED=2ABO輔助線：延長(zhǎng)BA到G，使AG=AB，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)H使DH=CD，補(bǔ)全OGB、OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化AE與DE到CG與BH，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化AED。（4） 任意相似直角三角形360旋轉(zhuǎn)模型-倍長(zhǎng)法【條件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【結(jié)論】：AE=DE；AED=2ABO輔助線：延長(zhǎng)DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明AMDABO，此為難點(diǎn)，將AMDABC繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明ABMAOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在證明ABM=AOD模型七：最短路程模型（1） 最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖

8、為常見的軸對(duì)稱類最短路程問(wèn)題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；特點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)在直線上；起點(diǎn)，終點(diǎn)固定（2） 最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：OC平分AOB；M為OB上一定點(diǎn)；P為OC上一動(dòng)點(diǎn)；Q為OB上一動(dòng)點(diǎn)；【問(wèn)題】：求MP+PQ最小時(shí)，P、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于OC對(duì)稱點(diǎn)Q，轉(zhuǎn)化PQ=PQ，過(guò)點(diǎn)M作MHOA，則MP+PQ=MP+PQMH(垂線段最短）（3） 最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問(wèn)題】：n為何值時(shí)，最??？求解方法：x軸上取C(2,0),使sinOAC=；過(guò)B作BDAC，交y軸于點(diǎn)E，即為所求；tanEBO=t

9、anOAC=，即E（0，1）（4） 最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：線段OA=4，OB=2；OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360旋轉(zhuǎn)；【問(wèn)題】：AB的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OB 【條件】：線段OA=4，OB=2；以點(diǎn)O為圓心，OB，OC為半徑作圓； 點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若PA的最大值為10，則OC= 6 ；若PA的最小值為1，則OC= 3 ； 若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是 0PC2 【條件】：RtOBC，OB

10、C=30；OC=2；OA=1；點(diǎn)P為BC上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=；PA的最小值為如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長(zhǎng)。模型八：二倍角模型【條件】：在ABC中，B=2C；輔助線：以BC的垂直平分線為對(duì)稱軸，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AA、BA、CA、 則BA=AA=CA(注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1） 相似三角形模型-基本型平行類：DEBC； A字型 8字型 A字型結(jié)論：(注意對(duì)應(yīng)邊要對(duì)應(yīng)）（2） 相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，AED=ACB=90；【結(jié)論】：AE

11、AB=ACAD【條件】：如右圖，ACE=ABC；【結(jié)論】：AC2=AEAB第四個(gè)圖還存在射影定理：AEEC=BCAC；BC2=BEBA；CE2=AEBE；（3） 相似三角形模型-一線三等角型【條件】：（1）圖：ABC=ACE=CDE=90； （2）圖：ABC=ACE=CDE=60； （3）圖：ABC=ACE=CDE=45；【結(jié)論】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一線三等角模型也經(jīng)常用來(lái)建立方程或函數(shù)關(guān)系。（4） 相似三角形模型-圓冪定理型【條件】：（2）圖：PA為圓的切線；【結(jié)論】：（1）圖：PAPB=PCPD； （2）圖：PA2=PCPB; （3）圖：PAPB=PCPD；以上結(jié)論均可以通

12、過(guò)相似三角形進(jìn)行證明。清代“紅頂商人”胡雪巖說(shuō)：“做生意頂要緊的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外國(guó)，就能做外國(guó)的生意?！笨梢?，一個(gè)人的心胸和眼光，決定了他志向的短淺或高遠(yuǎn)；一個(gè)人的希望和夢(mèng)想，決定了他的人生暗淡或輝煌。人生能有幾回搏，有生不搏待何時(shí)！所有的機(jī)遇和成功，都在充滿陽(yáng)光，充滿希望的大道之上！我們走過(guò)了黑夜，就迎來(lái)了黎明；走過(guò)了荊棘，就迎來(lái)了花叢；走過(guò)了坎坷，就走出了泥濘；走過(guò)了失敗，就走向了成功！一個(gè)人只要心存希望，堅(jiān)強(qiáng)堅(jiān)韌，堅(jiān)持不懈，勇往直前地去追尋，去探索，去拼搏，他總有一天會(huì)成功。正如鄭板橋所具有的人格和精神： “咬定青山不放松，立根原在破巖中。千磨萬(wàn)擊還堅(jiān)勁，任爾東南西北風(fēng)?！眽?mèng)想在，希望在，人就有奔頭；愿奮斗，勇拼搏，事就能成功。