小升初數(shù)學(xué)銜接班——列方程解應(yīng)用題(二)

1、小升初數(shù)學(xué)銜接班列方程解應(yīng)用題（二）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 通過(guò)學(xué)習(xí)用一元一次方程解決比例問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題、年齡問(wèn)題和數(shù)字問(wèn)題等幾種常見(jiàn)問(wèn)題，繼續(xù)鞏固列方程解應(yīng)用題的方法。2. 通過(guò)例題的講解，使學(xué)生了解如何檢查方程是否正確，學(xué)會(huì)利用圖形和表格等工具分析復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，了解特殊的設(shè)元方法。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握各種數(shù)量關(guān)系的分析方法。三、課程精講1. 知識(shí)回顧上一講我們學(xué)習(xí)了列方程解應(yīng)用題的步驟，知道了解題的關(guān)鍵在于列代數(shù)式和找等量關(guān)系。2. 新知探秘【典型例題】知識(shí)點(diǎn)一 與比和比例有關(guān)的設(shè)元例1. 有兩個(gè)矩形，第一個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬和第二個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬，順次成5：4：3：2的比。第一個(gè)矩形的周長(zhǎng)比第二個(gè)矩形的

2、周長(zhǎng)大72厘米。求這兩個(gè)矩形的面積。思路導(dǎo)航：此題直接設(shè)元不利于列方程，應(yīng)間接設(shè)元。需要注意到這是一個(gè)與比和比列有關(guān)的題目，因此可以根據(jù)比和比例的特點(diǎn)來(lái)設(shè)元。解答：設(shè)第一個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬和第二個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬依次為厘米、厘米、厘米和厘米，則第一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為厘米，第二個(gè)矩形的周長(zhǎng)為厘米，根據(jù)題意，得解得（平方厘米）（平方厘米）答：第一個(gè)矩形的面積為1620平方厘米，第二個(gè)矩形的面積為486平方厘米。點(diǎn)津：已知條件中有比和比例的，可以考慮將一份量設(shè)為未知數(shù)，這樣?？梢院芊奖愕乇硎境龆鄠€(gè)量，使得解答過(guò)程比較簡(jiǎn)便。知識(shí)點(diǎn)二 利用表格分析數(shù)量關(guān)系例2. 一個(gè)三位數(shù)，它的百位上的數(shù)比十位上的數(shù)的2倍大1，個(gè)

3、位上的數(shù)比十位上的數(shù)的3倍小1。如果將這個(gè)三位數(shù)的百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么得到的三位數(shù)比原來(lái)的三位數(shù)大99，求原來(lái)的數(shù)。思路導(dǎo)航：此題的數(shù)量比較多，關(guān)系也比較復(fù)雜，題目采用文字?jǐn)⑹龅姆椒ńo出已知條件，我們需要采用其他適合表達(dá)這種數(shù)量及其關(guān)系的方法來(lái)重新整理。比如，這道題適合用表格表示。解答：設(shè)原數(shù)的十位數(shù)字為，則其他的數(shù)量如下表百位數(shù)字十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字原數(shù)新數(shù)原數(shù)等于，新數(shù)等于，根據(jù)題意，得解得答：原來(lái)的數(shù)為738。點(diǎn)津：有的數(shù)量及其關(guān)系適合用文字?jǐn)⑹?，而有的?shù)量及其關(guān)系適合用表格表示，還有的數(shù)量及其關(guān)系適合用圖形來(lái)表達(dá)。我們應(yīng)該把它們表示為易于理解的形式。另外，對(duì)于十進(jìn)制數(shù)該如何

4、表示也應(yīng)該掌握。仿練、一個(gè)三位數(shù)三個(gè)數(shù)字的和是24，十位數(shù)字比百位數(shù)字少2，如果這個(gè)三位數(shù)減去兩個(gè)數(shù)字都與百位數(shù)字相同的一個(gè)兩位數(shù)所得的數(shù)也是三位數(shù)，而這個(gè)三位數(shù)三個(gè)數(shù)字的順序和原來(lái)三位數(shù)的數(shù)字的順序恰好顛倒，求原來(lái)的三位數(shù)。思路導(dǎo)航：此題與上一題類(lèi)型相同，分析方法也相同。解答：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為，則其他數(shù)量如下表所示百位數(shù)字十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字原三位數(shù)新三位數(shù)減去的兩位數(shù)為，根據(jù)題意，得解得答：原來(lái)的三位數(shù)是978。例3. 3年前爺爺?shù)哪挲g是小明年齡的4倍，5年后爺爺?shù)哪挲g是小明年齡的3倍，求爺爺今年的年齡是多少歲？思路導(dǎo)航：此題是年齡問(wèn)題，這里涉及到三個(gè)時(shí)刻兩個(gè)人，共六個(gè)數(shù)據(jù)，關(guān)系比較復(fù)雜

5、。但利用表格表示它們就顯得比較簡(jiǎn)單。解答：設(shè)爺爺今年年齡是歲，則其他數(shù)據(jù)如下表所示3年前今年5年后爺爺小明根據(jù)題意，得解得答：爺爺今年年齡是67歲。點(diǎn)津：通過(guò)利用表格，將數(shù)量關(guān)系的分析變?yōu)閷?duì)表格的填空，填寫(xiě)完畢后，再來(lái)尋找哪個(gè)條件沒(méi)有用到過(guò)，用它列出方程。知識(shí)點(diǎn)三 利用韋恩圖分析數(shù)量關(guān)系例4. 某校100名學(xué)生在一次語(yǔ)、數(shù)、外三科競(jìng)賽中，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有39人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有49人，參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有41人，既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有14人，既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有13人，既參加語(yǔ)文競(jìng)賽又參加外語(yǔ)競(jìng)賽的有9人，有1人三項(xiàng)都沒(méi)有參加，問(wèn)三項(xiàng)都參加的有多少人？思路導(dǎo)航：此題的數(shù)量較多

6、，關(guān)系也比較復(fù)雜，我們可以借助表示集合的韋恩圖來(lái)表示它們。解答：設(shè)三項(xiàng)都參加的有人，則既參加語(yǔ)文又參加數(shù)學(xué)，但不參加外語(yǔ)的有人，其他數(shù)據(jù)見(jiàn)下圖，根據(jù)題意，得解得答：三項(xiàng)都參加的有6人。點(diǎn)津：此題中有8個(gè)數(shù)據(jù)，它們之間的關(guān)系比較復(fù)雜，但是用合適的韋恩圖來(lái)表示就比較清楚了。知識(shí)點(diǎn)四 利用圖形分析數(shù)量關(guān)系例5. 甲河是乙河的支流，甲河水流速度為每小時(shí)3千米，乙河水流速度為每小時(shí)2千米。一艘船沿乙河逆水航行6小時(shí)，行了84千米到達(dá)甲河，在甲河還要順?biāo)叫?33千米。求這艘船一共航行多少小時(shí)？思路導(dǎo)航：此題應(yīng)該將甲河、乙河以及船航行的情況畫(huà)在圖上，幫助我們理解題意。船在兩條河流中航行，速度、時(shí)間、路程都

7、不相同，但是船在靜水中的速度（即船本身的速度）是相同的。解答：設(shè)這艘船在甲河中航行了小時(shí)，則船在乙河中的逆水速度為千米/時(shí)，船在甲河中的順?biāo)俣葹榍?時(shí)，根據(jù)題意，得解得（小時(shí)）答：這艘船一共航行了13小時(shí)。點(diǎn)津：用圖形來(lái)表示數(shù)量關(guān)系也是很重要的一種分析方法。此題也可以根據(jù)船在靜水中的速度相等列出方程：。但是這個(gè)方程的分母中含有未知數(shù)，不是我們學(xué)習(xí)過(guò)的一元一次方程，它是分式方程，關(guān)于它的解法我們以后還要專(zhuān)門(mén)學(xué)習(xí)。知識(shí)點(diǎn)五 如何檢查方程是否正確一個(gè)方程是否解得正確，只要將結(jié)果代入左右兩邊驗(yàn)證即可知道。那么應(yīng)用題的方程是否列得正確該如何檢查呢？只能解出結(jié)果后再代入題目中才能驗(yàn)證嗎？例6. 隨著計(jì)

8、算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，電腦的價(jià)格不斷降低，某品牌電腦按原價(jià)降低元后，又降低20%，現(xiàn)售價(jià)為元，設(shè)該電腦的原售價(jià)為元。有A、B、C、D四個(gè)同學(xué)分別列出了下列方程，其中哪些是正確的？哪些是錯(cuò)誤的？請(qǐng)你幫他們檢查一下。A.B.C.D.思路導(dǎo)航：實(shí)際上，要檢查方程是否列得正確，只要能正確解釋方程左右兩邊的代數(shù)式的實(shí)際含義，就能知道兩邊是否真的相等。解答：A方程左邊，代數(shù)式表示原價(jià)降低元后的價(jià)格，而表示再次降價(jià)時(shí)減少的部分，并不是降價(jià)后的價(jià)格，與左邊的當(dāng)然不相等！B方程左邊，代數(shù)式表示原價(jià)降低元之前的20%，與題目意思不符合！C方程左邊，代數(shù)式表示降價(jià)20%后，再減價(jià)元，而題目順序相反！D方程左邊，代數(shù)式表示

9、原價(jià)降低元后的價(jià)格，而表示又降價(jià)20%后的價(jià)格，當(dāng)然與相等。點(diǎn)津：對(duì)列出的代數(shù)式的實(shí)際含義進(jìn)行解釋?zhuān)湍軝z查出代數(shù)式是否正確，方程左右兩邊是否相等。在后續(xù)將要學(xué)習(xí)的用方程組、不等式、函數(shù)等工具來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，這一方法依然適用。四、知識(shí)提煉導(dǎo)圖五、目標(biāo)期望通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們復(fù)習(xí)鞏固數(shù)字問(wèn)題、年齡問(wèn)題、流水問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題等類(lèi)型題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握分析數(shù)量及其關(guān)系的幾種方法，了解對(duì)比和比例問(wèn)題的設(shè)元。六、下講預(yù)告前幾講我們學(xué)習(xí)的都是代數(shù)的內(nèi)容，下一講我們將要在小學(xué)所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上重新來(lái)研究幾何圖形。【同步練習(xí)】（答題時(shí)間：35分鐘）1. 火眼金睛：（1）甲比乙大15歲，5年前甲的年

10、齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是（ ）A. 10歲B. 15歲C. 20歲D. 30歲（2）甲、乙二人去商店買(mǎi)東西，他們所帶錢(qián)數(shù)之比是7:6，甲用掉50元，乙用掉60元，二人余下的錢(qián)數(shù)之比是3:2，則二人余下的錢(qián)數(shù)分別是（ ）A. 140元，120元B. 60元，40元C. 90元，60元D. 80元，80元（3）一個(gè)三位數(shù)，三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是16，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小1，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大2，則十位上的數(shù)字是（ ）A. 4B. 8C. 7D. 5（4）將55分成四個(gè)數(shù)，如果第一個(gè)數(shù)加上1，第二個(gè)數(shù)減去1，第三個(gè)數(shù)除以2，第四個(gè)數(shù)乘以3，所得的數(shù)都相同，那么這四個(gè)數(shù)分別是

11、（ ）A. 9，11，5，30B. 9，12，4，30C. 9，11，6，29D. 9，11，7，28（5）一船由甲地開(kāi)往乙地，順?biāo)叫幸?小時(shí)，逆水航行比順?biāo)叫卸嘤?0分鐘，已知船在靜水中的速度為16千米/時(shí)，求水流速度。解題時(shí)，若設(shè)水流速度為千米/時(shí)，那么下列方程中正確的是（ ）A. B. C. D. 2. 對(duì)號(hào)入座：（1）一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字比十位數(shù)字小1，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字小2，把數(shù)字順序顛倒所成的新數(shù)與原數(shù)和為585，則這個(gè)三位數(shù)是_；（2）一商店把貨物按標(biāo)價(jià)的九折出售，仍可獲利20%；若該貨物進(jìn)價(jià)為每件21元，則每件的標(biāo)價(jià)應(yīng)為_(kāi)元；（3）甲、乙、丙三個(gè)工人每天生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)的比是3

12、:4:5，已知丙工人生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)比甲乙二人生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)之和少932個(gè)，則甲每天生產(chǎn)_個(gè)零件；（4）一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流速度是3千米/時(shí)，順?biāo)叫行?小時(shí)，逆水航行需3小時(shí)。則兩個(gè)碼頭之間的航程為_(kāi)千米；（5）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈(zèng)送。先由A給B、C，所給的豆數(shù)分別等于B、C原來(lái)各有的豆數(shù)。依相同的方式再由B給A、C現(xiàn)有的豆數(shù)，最后由C給A、B現(xiàn)有的豆數(shù)?；ニ秃驛、B、C每人的豆數(shù)恰好相等。如果A、B最初的豆數(shù)分別為104粒、56粒，則C最初有豆_粒。3. 牛刀小試：（1）一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字的3倍還少3。若十位數(shù)字加5，個(gè)位數(shù)字減4，所得的新數(shù)比原數(shù)在十位數(shù)

13、字與個(gè)位數(shù)字之間添加7后的三位數(shù)的2倍少863，求這個(gè)兩位數(shù)。（2）一艘輪船，航行于甲、乙兩地之間，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行比順?biāo)叫卸嘤?0分鐘，已知輪船在靜水中速度是每小時(shí)26千米，求水流的速度。（3）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價(jià)是400元，銷(xiāo)售價(jià)為510元。為了進(jìn)一步擴(kuò)大市場(chǎng)，該企業(yè)決定在降低銷(xiāo)售價(jià)的同時(shí)降低生產(chǎn)成本。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，預(yù)測(cè)下季度這種產(chǎn)品每件銷(xiāo)售價(jià)降低4%，銷(xiāo)售量將提高10%，要使銷(xiāo)售利潤(rùn)（銷(xiāo)售利潤(rùn) = 銷(xiāo)售收入-成本）保持不變，該產(chǎn)品每件的成本價(jià)應(yīng)降低多少元?【試題答案】1. 火眼金睛：（1）C解答：設(shè)乙現(xiàn)在的年齡為歲，則現(xiàn)在甲的年齡為歲，5年前甲的年齡為歲，乙的年齡

14、為歲，由題意得解得（2）C解答：設(shè)甲、乙二人余下的錢(qián)數(shù)分別為元、元，則他們?cè)瓉?lái)的錢(qián)數(shù)分別為元、元，由題意得解得所以，（3）D解答：設(shè)十位數(shù)字為，則百位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，由題意得解得（4）A解答：設(shè)這個(gè)相同的數(shù)為，則這四個(gè)數(shù)分別為，由題意得解得所以，（5）A解答：根據(jù)順?biāo)湍嫠叫械穆烦滔嗟葋?lái)列方程。B方程中左邊不是總路程，順?biāo)俣儒e(cuò)誤；C方程中右邊單位換算錯(cuò)誤；D方程中右邊不是總路程，逆水速度錯(cuò)誤。2. 對(duì)號(hào)入座：（1）342解答：設(shè)十位數(shù)字為，則百位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，原數(shù)為，新數(shù)為，根據(jù)題意，得解得（2）28解答：設(shè)每件的標(biāo)價(jià)應(yīng)為元，則售價(jià)為元，每件利潤(rùn)為元，根據(jù)題意，得解得（3）1398解答：設(shè)甲、乙、丙每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)分別為，個(gè)，由題意，得解得（4）36解法一：設(shè)兩個(gè)碼頭之間的航程為千米，則該船的順流速度為千米/時(shí)，逆流速度為千米/時(shí)，由靜水速度 = 順?biāo)俣?- 水速 = 逆水速度 + 水速，得：解此方程，得解法二：設(shè)船在靜水中的速度為千米/時(shí)，則兩個(gè)碼頭之間的航程可表示為千米或千米，則可得解此方程，得（5）32解答：設(shè)C最初有豆粒，則ABC開(kāi)始