離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差考情分析考點(diǎn)新知離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差和概率的計(jì)算問(wèn)題結(jié)合在一起進(jìn)行考查，這是當(dāng)前高考命題的熱點(diǎn)，因?yàn)楦怕蕟?wèn)題不僅具有很強(qiáng)的綜合性，而且與實(shí)際生產(chǎn)、生活問(wèn)題密切聯(lián)系，能很好地考查分析、解決問(wèn)題的能力了解取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的意義會(huì)求離散型隨機(jī)變量的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.1. (選修23P67習(xí)題4改編)某單位有一臺(tái)電話交換機(jī)，其中有8個(gè)分機(jī)設(shè)每個(gè)分機(jī)在1h內(nèi)平均占線10min，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則任一時(shí)刻占線的分機(jī)數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)答案：解析：每個(gè)分機(jī)占線的概率為，XB，即X服從二項(xiàng)分布，所以期望E(X

2、)8.2. (選修23P66例2改編)有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200件商品，設(shè)其中次品數(shù)為X，則E(X)_，V(X)_.答案：21.98解析：XB(200, 0.01)，所以期望E(X)2000.012，V(X)2000.01(10.01)1.98.3. (選修23P71習(xí)題4改編)某人進(jìn)行射擊，每次中靶的概率均為0.8，現(xiàn)規(guī)定：若中靶就停止射擊，若沒(méi)中靶，則繼續(xù)射擊，如果只有3發(fā)子彈，則射擊數(shù)X的均值為_(kāi)(填數(shù)字)答案：1.24解析：射擊次數(shù)X的分布列為X123P0.80.160.04E(X)0.810.1620.0431.24.4. (選修23P71習(xí)題1改編

3、)隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E(X)，則方差V(X)的值是_答案：解析：a、b、c成等差數(shù)列，有2bac，又abc1，E(X)1a1cca.得a，b，c， V(X)222.5. 一高考考生咨詢中心有A、B、C三條咨詢熱線已知某一時(shí)刻熱線A、B占線的概率均為0.5，熱線C占線的概率為0.4，各熱線是否占線相互之間沒(méi)有影響，假設(shè)該時(shí)刻有條熱線占線，則隨機(jī)變量的期望為_(kāi)答案：1.4解析：隨機(jī)變量可能取的值為0、1、2、3.依題意，得P(0)0.15, P(1)0.4，P(2)0.35，P(3)0.1 的分布列為0123P0.150.40.350.1 它的期望

4、為E()00.1510.420.3530.11.4.1. 均值(1) 若離散型隨機(jī)變量的分布列為：x1x2xnPp1p2pn則稱E()x1p1x2p2xnpn為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望(2) 離散型隨機(jī)變量的期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(3) 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(c)c，E(ab)aEb(a、b、c為常數(shù))2. 方差(1) 若離散型隨機(jī)變量所有可能的取值是x1，x2，xn且這些值的概率分別是p1，p2，pn，則稱：V()(x1E()2p1(x2E()2p2(xnE()2pn為的方差(2) ，叫標(biāo)準(zhǔn)差(3) 隨機(jī)變量的方差反映了取值的穩(wěn)定性(4) 方差的性質(zhì)a、b為常數(shù)，則V(ab)a

5、2V.3. 若B(n，p)，則E()np，V()np(1p)4. 期望與方差的關(guān)系均值(期望)反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則表現(xiàn)了隨機(jī)變量所取的值對(duì)于它的均值(期望)的集中與離散的程度，因此二者的關(guān)系是十分密切的，且有關(guān)系式V()E(2)(E()2.備課札記題型1離散型隨機(jī)變量的期望例1已知離散型隨機(jī)變量1的概率分布為11234567P離散型隨機(jī)變量2的概率分布為23.73.83.944.14.24.3P求這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差解：E(1)1274；V(1)(14)2(24)2(74)24，12.E(2)3.73.84.34；V(2)0.04，2)0.2.甲、乙兩射手在同

6、一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2，0.6，0.2；射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4，0.2，0.4.用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平解：E180.290.6100.29，V(1)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；同理有E(2)9，V(2)0.8.由上可知，E(1)E(2)，V(1)V(2)所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)的次數(shù)多些題型2離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例2某工藝廠開(kāi)發(fā)一種新工藝品，頭兩天試

7、制中，該廠要求每位師傅每天制作10件，該廠質(zhì)檢部每天從每位師傅制作的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天該師傅的產(chǎn)品不能通過(guò)已知李師傅第一天、第二天制作的工藝品中分別有2件、1件次品(1) 求兩天中李師傅的產(chǎn)品全部通過(guò)檢查的概率；(2) 若廠內(nèi)對(duì)師傅們制作的工藝品采用記分制，兩天全不通過(guò)檢查得0分，通過(guò)1天、2天分別得1分、2分，求李師傅在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望解：(1) 設(shè)李師傅產(chǎn)品第一天通過(guò)檢查為事件A；第二天產(chǎn)品通過(guò)檢查為事件B.則有P(A)，P(B)，由事件A、B獨(dú)立， P(AB)P(A)P(B).答：李師傅這兩天產(chǎn)品全部通過(guò)檢查的概率為.(2) 記得分為，則的可能值

8、為0，1，2. P(0)；P(1)；P(2). E()012.答：李師傅在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學(xué)期望為.一盒中裝有零件12個(gè)，其中有9個(gè)正品，3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果每次取出次品就不再放回去，再取一個(gè)零件，直到取得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望解：設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0，1，2，3當(dāng)0時(shí)，即第一次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(0).當(dāng)1時(shí)，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(1).當(dāng)2時(shí)，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(2).當(dāng)3時(shí)，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗(yàn)停止，則P(3).所以，E()0123.

9、題型3期望、方差的性質(zhì)及應(yīng)用例3某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為P(i)(i1，2，12)；設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元如銷售不出，則每臺(tái)每月需花保管費(fèi)100元. 問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使月平均收益最大？解：設(shè)x為電器商每月初購(gòu)進(jìn)的冰箱的臺(tái)數(shù)，依題意，只需考慮1x12的情況設(shè)電器商每月的收益為y元， 則y是隨機(jī)變量的函數(shù)，且y于是電器商每月獲益的平均數(shù)，即為數(shù)學(xué)期望Ey300x(PxPx1P12)300100(x1)P12300100(x2)P2(x1)300100Px1300x(12x1)(2x238x)因?yàn)閤N*，所以

10、當(dāng)x9或x10時(shí)， 數(shù)學(xué)期望最大故電器商每月初購(gòu)進(jìn)9或10臺(tái)電冰箱時(shí)，月收益最大，最大收益為1500元 課后練習(xí)1. (2013廣東)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望E(X)_答案：解析：E(X)123.2. (2013湖北理)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X，則X的均值為E(X)_答案：解析：用分布列解決這個(gè)問(wèn)題，根據(jù)題意易知X0，1，2，3.列表如下：X0123所以E(X)0123.3. (2013上海理)設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，x19的公差，隨機(jī)變量等可能地取值x1，x2，x3，x19，則方差V()_答案：|d|解析：Ex10，V()|d|.4. (2013浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1) 當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此兩球所得分?jǐn)?shù)之和，求分布列；(2) 從該袋子中任取(且每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E()，V()，求abc.解：(1) 由已知得到：當(dāng)兩次摸到的球分別是紅紅時(shí)2，