微分方程及其分類

1、一、 微分方程的概念 二、二階線性偏微分方程的分類,微分方程及其解法,函數(shù)是研究客觀事物運動規(guī)律的一個重要工具，因此尋求客觀事物運動變化過程中的函數(shù)關(guān)系是十分重要的，然而，在許多問題中，往往不能直接找出所需的函數(shù)關(guān)系。但根據(jù)問題所給的條件，有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這樣的關(guān)系式就是所謂的微分方程。,解,為了便于闡述微分方程的有關(guān)概念，先看下面例子：,例1,對上式兩邊積分有,由于所求曲線通過點,一、微分方程的概念,1.微分方程的定義,凡含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫微分方程。,例,2.微分方程的分類,3.微分方程的階,微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階

2、數(shù)。,例2 判斷下列方程是否為微分方程？若是，是幾階 的微分方程？,解,（1）是，1階；,（2）是，1階；,（3）是，2階；,（4）是，3階；,（5）是，1階；,（6）不是。,4.微分方程的解,任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函數(shù)。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的獨立的常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 當(dāng)微分方程的通解中各任意常數(shù)都取定值時所得的解 （3） 微分方程的初始條件,確定通解中的任意常數(shù)的附加條件。,5.微分方程解的幾何意義,通解的圖象:,積分曲線族.,特解的圖象:,微分方程的積分曲線.,例3,解,又因為這個解

3、中含有兩個獨立的任意常數(shù) ，而方程為二階微分方程，所以,因此方程滿足初始條件的特解為,二階線性偏微分方程的分類,本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化. 特別對于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對后面的偏微分方程求解是十分有用的.,在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場方程這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點,我們在解析幾何中知道對于二次實曲線,其中,為常數(shù)，且設(shè),10.2 數(shù)學(xué)物理方程的分類,則當(dāng),時，上述二次曲線分別為雙,曲線、拋物線和

4、橢圓受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏,微分方程進(jìn)行分類.,下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的,兩個自變量(x, y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為,（10.2.1）,其中,為,的已知函數(shù),定理10.2.1 如果,是方程,(10.2.2),的一般積分，則,是方程,(10.2.3),的一個特解,在具體求解方程(10.2.10)時，需要分三種情況討論判別式,1. 當(dāng)判別式,以求得兩個實函數(shù)解,時，從方程(10.2.10)可,也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實的特征線于是，令,即可使得,同時，根

5、據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定,所以，方程(10.2.6) 即為,(10.2.4),或者進(jìn)一步作變換,于是有,所以,又可以進(jìn)一步將方程(10.2.11)化為,這種類型的方程稱為雙曲型方程我們前面建立的波動方程就屬于此類型,2當(dāng)判別式,時：這時方程,(10.2.10)一定有重根,因而只能求得一個解，例如，,，特征線為,一條實特征線作變換,就可以使,由(10.2.4)式可以得出，一定有,，故可推出,這樣就可以任意選取另一個變換，,只要它和,彼此獨立，即雅可俾式,即可這樣，方程(10.2.6)就化為,此類方程稱為拋物型方程熱傳導(dǎo)（擴散）方程就屬于 這種類型,3. 當(dāng)判別式,面的討論，只不過得到的,

6、時：這時，可以重復(fù)上,和,是一,對共軛的復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是,一對共軛復(fù)函數(shù)族于是,是一對共軛的復(fù)變量進(jìn)一步引進(jìn)兩個新的實變量,于是,所以,方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為,這種類型的方程稱為橢圓型方程拉普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型,綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種類型，只 需討論判別式,即可.,10.3 二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化,對于二階線性偏微分方程,(10.3.1),若判別式為,，則二階,線性偏微分方程分為三類：,時，方程稱為雙曲型;,時，方程稱為拋物型;,時，方程稱

7、為橢圓型;,1.雙曲型偏微分方程,因為雙曲型方程對應(yīng)的判別式,所以特征曲線是兩族不同的實函數(shù)曲線，,設(shè)特征方程的解為,令,(10.3.2),進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?(10.3.3),上式稱為雙曲型偏微分方程的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量 代換，令,或,則偏微分方程又變?yōu)?(10.3.4),上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式,注：上式中的“*”號不代表共軛，僅說明是另外的函數(shù)。如,與,是兩個不同的函數(shù)。,2拋物型偏微分方程,因為拋物型偏微分方程的判別式,線是一族實函數(shù)曲線,，所以特征曲,其特征方程的解為,(10.3.5),因此令,進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?(10.3.

8、6),上式稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,3.橢圓型偏微分方程,橢圓型偏微分方程的判別式,，所以特征曲線是,一組共軛復(fù)變函數(shù)族其特征方程的解為,(10.3.7),若令,(10.3.8),作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?(10.3.9),上式稱為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,10.4 二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡,如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一步化簡下面按三種類型分別介紹化簡的方法,1.雙曲型,對于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還 可進(jìn)一步化簡,注：上式中用小寫字母,代表常系數(shù)，以便與,我們不妨令,大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來, 例如,為了化簡，,從

9、而有,(10.4.2),其中,由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn) 一步化簡,(10.4.3),式中,均為常系數(shù)若令,則有,(10.4.4),(10.4.5),其中,對于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）,（10.4.6）,還可以進(jìn)一步化簡上式中小寫字母,均為常系數(shù),為了化簡，不妨令,從而有,(10.4.7),2.拋物型,3.橢圓型,對于下列第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù)),(10.4.8),還可以進(jìn)一步進(jìn)行化簡上式中小寫字母的,為常系數(shù),為了化簡，不妨令,從而有,(10.4.9),其中,含有兩個自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以寫成下 面的形式：,其中 L 是二階線性偏微分算符，G是x,y的函數(shù),線性偏微分算符有以下兩個基本特征：,10.5 線性偏微分方程解的特征,其中,均為常數(shù)進(jìn)一步有如下結(jié)論：,1.齊次的線性偏微分方程的解有以下特性：,為方程的解時，則,也為方程的解；,(1).當(dāng),為方程的解，則,也是方程的解；,(2)若,2.非齊次的線性偏微分方程的解具有如下特性：,為非齊次方程的特解，,為齊次方程的通解，則,為非齊次方